图解AI数学基础 | 线性代数与矩阵论

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作者:韩信子@ShowMeAI
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1.标量(Scalar)

一个标量就是一个单独的数。只具有数值大小,没有方向(部分有正负之分),运算遵循一般的代数法则。

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  • 一般用小写的变量名称表示。
  • 质量\(m\)、速率\(v\)、时间\(t\)、电阻\(\rho\) 等物理量,都是数据标量。

2.向量(Vector)

向量指具有大小和方向的量,形态上看就是一列数。

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  • 通常赋予向量粗体小写的名称;手写体则在字母上加一个向右的箭头。

  • 向量中的元素是有序排列的,通过索引可以确定每个元素。

  • 以下两种方式,可以明确表示向量中的元素时(注意用方括号)。

  • 可以把向量看作空间中的有向线段,向量的每个组成元素,对应向量在不同的坐标轴上的投影长度。

AI中的应用:在机器学习中,单条数据样本的表征都是以向量化的形式来完成的。向量化的方式可以帮助AI算法在迭代与计算过程中,以更高效的方式完成。

3.矩阵(Matrix)

矩阵是二维数组,其中的每一个元素被两个索引确定。矩阵在机器学习中至关重要,无处不在。

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  • 通常会赋予矩阵粗体大写的变量名称。

AI中的应用:样本以矩阵形态表示:\(m\)条数据/样本,\(n\)个特征的数据集,就是一个\(m \times n\)的矩阵。

4.张量(Tensor)

几何代数中定义的张量,是基于向量和矩阵的推广。

  • 标量,可以视为零阶张量
  • 向量,可以视为一阶张量
  • 矩阵,可以视为二阶张量

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  • 图片以矩阵形态表示:将一张彩色图片表示成一个\(H \times W \times C\)的三阶张量,其中\(H\)是高,\(W\)是宽,\(C\)通常取3,表示彩色图3个颜色通道。
  • 在这个例子的基础上,将这一定义继续扩展,即:用四阶张量(样本,高度,宽度,通道)表示一个包含多张图片的数据集,其中,样本表示图片在数据集中的编号。
  • 用五阶张量(样本,帧速,高度,宽度,通道)表示视频。

AI中的应用:张量是深度学习中一个非常重要的概念,大部分的数据和权重都是以张量的形态存储的,后续的所有运算和优化算法也都是基于张量进行的。

5.范数(Norm)

范数是一种强化了的距离概念;简单来说,可以把『范数』理解为『距离』。

在数学上,范数包括『向量范数』和『矩阵范数』:

  • 向量范数(Vector Norm),表征向量空间中向量的大小。向量空间中的向量都是有大小的,这个大小就是用范数来度量。不同的范数都可以来度量这个大小,就好比米和尺都可以来度量远近一样。

  • 矩阵范数(Matrix Norm),表征矩阵引起变化的大小。比如,通过运算\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}\),可以将向量\(\boldsymbol{X}\)变化为\(\boldsymbol{B}\),矩阵范数就可以度量这个变化的大小。

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向量范数的计算

对于\(\mathrm{p} -\)范数,如果\(\boldsymbol{x}=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{\mathrm{T}}\),那么向量\(\boldsymbol{x}\)\(\mathrm{p} -\)范数就是\(\|\boldsymbol{x}\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\)

L1范数\(|| \boldsymbol{x}||_{1}=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\cdots+\left|x_{n}\right|\)

  • \(\mathrm{p} =1\)时,就是L1范数,是\(\boldsymbol{x}\)向量各个元素的绝对值之和。

  • L1范数有很多的名字,例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。

L2范数\(\|\boldsymbol{x}\|_{2}=\left(\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\left|x_{3}\right|^{2}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{2}\right)^{1 / 2}\)

  • \(\mathrm{p} =2\)时,就是L2范数,是\(\boldsymbol{x}\)向量各个元素平方和的开方。

  • L2范数是我们最常用的范数,欧氏距离就是一种L2范数。

AI中的应用:在机器学习中,L1范数和L2范数很常见,比如『评估准则的计算』、『损失函数中用于限制模型复杂度的正则化项』等。

6.特征分解(Eigen-decomposition)

将数学对象分解成多个组成部分,可以找到他们的一些属性,或者能更高地理解他们。例如,整数可以分解为质因数,通过\(12=2 \times 3 \times 3\)可以得到『12的倍数可以被3整除,或者12不能被5整除』。

同样,我们可以将『矩阵』分解为一组『特征向量』和『特征值』,来发现矩阵表示为数组元素时不明显的函数性质。特征分解(Eigen-decomposition)是广泛使用的矩阵分解方式之一。

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  • 特征向量:方阵\(\boldsymbol{A}\)的特征向量,是指与\(\boldsymbol{A}\)相乘后相当于对该向量进行缩放的非零向量,即\(\boldsymbol{A}\nu =\lambda \nu\)

  • 特征值:标量\(\lambda\)被称为这个特征向量对应的特征值。

使用特征分解去分析矩阵\(\boldsymbol{A}\)时,得到特征向量\(\nu\)构成的矩阵\(\boldsymbol{Q}\)和特征值构成的向量\(\boldsymbol{\Lambda }\),我们可以重新将\(\boldsymbol{A}\)写作:\(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}\)

7.奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)

矩阵的特征分解是有前提条件的。只有可对角化的矩阵,才可以进行特征分解。实际很多矩阵不满足这一条件,这时候怎么办呢?

将矩阵的『特征分解』进行推广,得到一种被称为『矩阵的奇异值分解』的方法,即将一个普通矩阵分解为『奇异向量』和『奇异值』。通过奇异值分解,我们会得到一些类似于特征分解的信息。

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将矩阵\(\boldsymbol{A}\)分解成三个矩阵的乘积\(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{U} \boldsymbol{D} \boldsymbol{V}^{-1}\)

  • 假设\(\boldsymbol{A}\)是一个\(m*n\)矩阵,那么\(\boldsymbol{U}\)是一个\(m*m\)矩阵,\(D\)是一个\(m*n\)矩阵,\(V\)是一个\(n*n\)矩阵。

  • \(\boldsymbol{U} \boldsymbol{V} \boldsymbol{D}\)这几个矩阵都拥有特殊的结构:

    • \(\boldsymbol{U}\)\(\boldsymbol{V}\)都是正交矩阵,矩阵\(\boldsymbol{U}\)的列向量被称为左奇异向量,矩阵\(\boldsymbol{V}\) 的列向量被称右奇异向量。

    • \(\boldsymbol{D}\)是对角矩阵(注意,\(\boldsymbol{D}\)不一定是方阵)。对角矩阵\(\boldsymbol{D}\)对角线上的元素被称为矩阵\(\boldsymbol{A}\)的奇异值。

AI中的应用:SVD最有用的一个性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。而且大家在推荐系统中也会见到基于SVD的算法应用。

8.Moore-Penrose广义逆/伪逆(Moore-Penrose Pseudoinverse)

假设在下面问题中,我们想通过矩阵\(\boldsymbol{A}\)的左逆\(\boldsymbol{B}\)来求解线性方程:\(\boldsymbol{A} x=y\),等式两边同时左乘左逆B后,得到:\(x=\boldsymbol{B} y\)。是否存在唯一的映射将\(\boldsymbol{A}\)映射到\(\boldsymbol{B}\),取决于问题的形式:

  • 如果矩阵\(\boldsymbol{A}\)的行数大于列数,那么上述方程可能没有解;

  • 如果矩阵\(\boldsymbol{A}\)的行数小于列数,那么上述方程可能有多个解。

Moore-Penrose伪逆使我们能够解决这种情况,矩阵\(\boldsymbol{A}\)的伪逆定义为:

\[\boldsymbol{A}^{+}=\lim _{a \rightarrow 0}\left(\boldsymbol{A}^{T} \boldsymbol{A}+\alpha \boldsymbol{I}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{T} \]

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但是计算伪逆的实际算法没有基于这个式子,而是使用下面的公式:

\[\boldsymbol{A}^{+}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{D}^{+} \boldsymbol{V}^{T} \]

  • 矩阵\(\boldsymbol{U}\)\(\boldsymbol{D}\)\(\boldsymbol{V}^{T}\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)奇异值分解后得到的矩阵;

  • 对角矩阵\(\boldsymbol{D}\)的伪逆\(\boldsymbol{D}^{+}\)是其非零元素取倒之后再转置得到的。

9.常用的距离度量

在机器学习里,大部分运算都是基于向量的,一份数据集包含n个特征字段,那每一条样本就可以表示为n维的向量,通过计算两个样本对应向量之间的距离值大小,有些场景下能反映出这两个样本的相似程度。还有一些算法,像KNN和K-means,非常依赖距离度量。

设有两个\(n\)维变量:

\[A=[ x_{11}, x_{12},...,x_{1n} ] ^{T} \]

\[B=[ x_{21} ,x_{22} ,...,x_{2n} ] ^{T} \]

一些常用的距离公式定义如下

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1)曼哈顿距离(Manhattan Distance)

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曼哈顿距离也称为城市街区距离,数学定义如下:

\[d_{12} =\sum_{k=1}^{n}{| x_{1k}-x_{2k} | } \]

曼哈顿距离的Python实现

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

manhaton_dist = np.sum(np.abs(vector1-vector2))
print("曼哈顿距离为", manhaton_dist)

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2)欧氏距离(Euclidean Distance)

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欧氏距离其实就是L2范数,数学定义如下:

\[d_{12} =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{( x_{1k} -x_{2k} ) ^{2} } } \]

欧氏距离的Python实现

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

eud_dist = np.sqrt(np.sum((vector1-vector2)**2))
print("欧式距离为", eud_dist)

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3)闵氏距离(Minkowski Distance)

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从严格意义上讲,闵可夫斯基距离不是一种距离,而是一组距离的定义:

\[d_{12} =\sqrt[p]{\sum_{k=1}^{n}{( x_{1k} -x_{2k} ) ^{p} } } \]

实际上,当\(p=1\)时,就是曼哈顿距离;当\(p=2\)时,就是欧式距离。

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4)切比雪夫距离(Chebyshev Distance)

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切比雪夫距离就是无穷范数,数学表达式如下:

\[d_{12} =max( | x_{1k}-x_{2k} |) \]

切比雪夫距离的Python实现如下

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

cb_dist = np.max(np.abs(vector1-vector2))
print("切比雪夫距离为", cb_dist)

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5)余弦相似度(Cosine Similarity)

余弦相似度的取值范围为[-1,1],可以用来衡量两个向量方向的差异:

  • 夹角余弦越大,表示两个向量的夹角越小;
  • 当两个向量的方向重合时,夹角余弦取最大值1;
  • 当两个向量的方向完全相反时,夹角余弦取最小值-1。

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机器学习中用这一概念来衡量样本向量之间的差异,其数学表达式如下:

\[cos\theta =\frac{AB}{| A | |B | } =\frac{\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}x_{2k} } }{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}^{2} } } \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{x_{2k}^{2} } } } \]

夹角余弦的Python实现

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

cos_sim = np.dot(vector1, vector2)/(np.linalg.norm(vector1)*np.linalg.norm(vector2))
print("余弦相似度为", cos_sim)

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6)汉明距离(Hamming Distance)

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汉明距离定义的是两个字符串中不相同位数的数目。例如,字符串‘1111’与‘1001’之间的汉明距离为2。信息编码中一般应使得编码间的汉明距离尽可能的小。

\[d_{12} = \sum_{k=1}^{n} \left ( x_{1k} \oplus x_{2k}\right ) \]

汉明距离的Python实现

import numpy as np
a=np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0])
b=np.array([1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1])
hanm_dis = np.count_nonzero(a!=b)
print("汉明距离为", hanm_dis)

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7)杰卡德系数(Jaccard Index)

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两个集合\(A\)\(B\)的交集元素在\(A\)\(B\)的并集中所占的比例称为两个集合的杰卡德系数,用符号\(J(A,B)\)表示,数学表达式为:

\[J( A,B ) =\frac{| A\cap B| }{|A\cup B | } \]

杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度的一种指标。一般可以将其用在衡量样本的相似度上。

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8)杰卡德距离(Jaccard Distance)

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与杰卡德系数相反的概念是杰卡德距离,其定义式为:

\[J_{\sigma} =1-J( A,B ) =\frac{| A\cup B | -| A\cap B | }{| A\cup B | } \]

杰卡德距离的Python实现

import numpy as np
vec1 = np.random.random(10)>0.5
vec2 = np.random.random(10)>0.5

vec1 = np.asarray(vec1, np.int32)
vec2 = np.asarray(vec2, np.int32)

up=np.double(np.bitwise_and((vec1 != vec2),np.bitwise_or(vec1 != 0, vec2 != 0)).sum())
down=np.double(np.bitwise_or(vec1 != 0, vec2 != 0).sum())
jaccard_dis =1-(up/down)
print("杰卡德距离为", jaccard_dis)

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