王道数据结构总结笔记--图

树本身就是一个特殊的图。

6.1图的基本概念

定义

逻辑结构的应用

几个概念

图的类型

顶点相关

（强）连通图

子图

（强）连通分量

生成树和生成森林

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。若图中顶点数为n，则它的生成树含有 n-1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通，若加上一条边则会形成一个回路。

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

边的权、带权图/网

几种特殊形态的图

总结

6.2图的存储和基本操作

6.2.1邻接矩阵法

带权图（网）的存储

性能分析：适合用于存储稠密图

性质

设图G的邻接矩阵为A（矩阵元素为0/1），则An
的元素An[i][j]等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目

总结

6.2.2邻接表法（顺序+链式存储）

总结

6.2.3十字链表、邻接多重表

十字链表（只能）存储有向图

邻接多重表（只能）存储无向图

总结

6.2.4图的基本操作

判断图G是否存在边

列出图G中与结点x邻接的边

在图G中插入顶点x

从图G中删除顶点x

若无向边(x, y)或有向边不存在，则向图G中添加该边

若无向边(x, y)或有向边存在，则从图G中删除该边

求图G中顶点x的第一个邻接点，若有则返回顶点号。若x没有邻接点或图中不存在x，则返回-1

假设图G中顶点y是顶点x的一个邻接点，返回除y之外顶点x的下一个邻接点的顶点号，若y是x的最后一个邻接点，则返回-1

获取/设置图G中边(x, y)或对应的权值

总结

6.3图的遍历

6.3.1图的广度优先遍历（BFS）

代码实现

如果是⾮连通图，则⽆法遍历完所有结点

BFS算法（Final版）

对于无向图，调⽤BFS函数的次数=连通分量数

复杂度分析

广度优先生成树

广度优先生成森林

对⾮连通图的⼴度优先遍历，可得到⼴度优先⽣成森林

练习

总结

6.3.2图的深度优先遍历DFS

复杂度分析

深度优先遍历序列

深度优先生成树（森林）

同⼀个图的邻接矩阵表示⽅式唯⼀，因此深度优先遍历序列唯⼀，深度优先⽣成树也唯⼀；
同⼀个图邻接表表示⽅式不唯⼀，因此深度优先遍历序列不唯⼀，深度优先⽣成树也不唯⼀。

图的遍历与图的连通性

总结

6.4

6.4.1最小生成树

定义

Prim 算法（普里姆）

Prim 算法（普⾥姆）：从某⼀个顶点开始构建⽣成树；每次将代价最⼩的新顶点纳⼊⽣成树，直到所有顶点都纳⼊为⽌。

Kruskal 算法（克鲁斯卡尔）

Kruskal 算法（克鲁斯卡尔）：每次选择⼀条权值最⼩的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的就不选）直到所有结点都连通。

对比

Prim 算法的实现思想

Kruskal 算法的实现思想

总结

6.4.2最短路径问题–BFS算法

总结

6.4.3最短路径问题–Dijkstra算法

具体实现

Dijkstra算法的时间复杂度

对⽐：Prim 算法的实现思想

Dijkstra 算法不适⽤于有负权值的带权图

6.4.4最短路径问题–Floyd算法

核心代码

升级版

不能解决的问题

Floyd算法可以⽤于负权值带权图；Floyd 算法不能解决带有“负权回路”的图（有负权值的边组成回路），这种图有可能没有最短路径

总结

6.4.5有向无环图描述表达式

有向⽆环图：若⼀个有向图中不存在环，则称为有向⽆环图，简称DAG图（Directed Acyclic Graph）

栗子

最终变成

解题方法（最好跟着视频走一遍）

6.4.6拓扑排序

AOV网

拓扑排序

拓扑排序：找到做事的先后顺序

实现方法：
① 从AOV⽹中选择⼀个没有前驱（⼊度为0）的顶点并输出。
② 从⽹中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
③ 重复①和②直到当前的AOV⽹为空或当前⽹中不存在⽆前驱的顶点为⽌。（说明有回路）

代码实现？？

逆拓扑排序

对⼀个AOV⽹，如果采⽤下列步骤进⾏排序，则称之为逆拓扑排序：
① 从AOV⽹中选择⼀个没有后继（出度为0）的顶点并输出。
② 从⽹中删除该顶点和所有以它为终点的有向边。
③ 重复①和②直到当前的AOV⽹为空。

代码实现？？

总结

6.4.7关键路径

定义

求关键路径的步骤

① 求所有事件的最早发⽣时间 ve( )

② 求所有事件的最迟发⽣时间 vl( )

③ 求所有活动的最早发⽣时间 e( )

④ 求所有活动的最迟发⽣时间 l( )

⑤ 求所有活动的时间余量 d( ) — d(i)=0的活动就是关键活动, 由关键活动可得关键路径

关键活动、关键路径的特性

总结