算法笔记-贪心算法

贪心算法其实更准确的表述应该是一种算法思想。它的应用非常广泛，比如：霍夫曼编码，Prim，Kruskal 最小生成树以及 Dijkstra 单源最短路径算法。如果证明贪心算法的可行性需要复杂的数学推导，但是通过简单的举例演示更容易让我们理解这种算法思想，有助于我们在实际中运用。

理解“贪心算法”

如果有一个 100 kg的袋子，只允许装 5 种豆子，如何合理的在装满袋子的前提下，让袋子的总价值最大。

豆子的质量以及价格如下表：

物品	质量(kg)	价格(元)
黄豆	100	100
绿豆	30	90
红豆	60	120
黑豆	20	80
青豆	50	75

首先我们会按照豆子的单价由高到低排序：黑豆，绿豆，红豆，青豆，黄豆。之后，我们肯定会先装完价值最大的，然后装价值次之，直到袋子装满。那么，共装黑豆 20kg，绿豆 30kg，红豆 50kg。

这个问题的解决，就是运用了贪心算法。借助该问题，分析贪心算法的分析过程：

第一步：看到类似的问题，优先考虑贪心算法。那么这种问题的特征就是：拥有限制值和期望值。比如上面的问题，限制值就是质量不能大于 100kg，期望值就是希望袋子所装物品最后的价值最大。

第二步：尝试运用贪心算法是否能解决这个问题。在每次选择的时候，选取相同限制值对贡献值最大的数据。例如：相同质量下的豆子，我们当然选择单价更高的豆子。

第三步：举几个例子验证贪心算法的解是否是最优的。如果严格的证明贪心算法是是最优解，则需要复杂严格的推理过程。但是在大部分情况下，贪心算法的解都是显而易见的最优解。完全可以选择其他方法与贪心算法对比，优劣的比较是十分明显的。

如上图，王老师举了一个例子。在加权图中，我们想找到一条从 S 到 T 的权重最小的路径。按照贪心算法，我们从 S 点出发每一步都会选择权重最小的边，最终的路径就是 S-A-E-T，权重之和为：9。但是，实际上 A-B-D-T 这条路径的权重之和为：6。

为什么贪心算法到了这里失效了呢？原因很简单，该过程算法后续执行的每一步受到前一步的影响很大。也就是说，该算法执行的过程中，每个过程并不是独立不受影响的，这就导致了贪心算法的失效。贪心算法工作的前提就是，前一步的选择不会影响到后一步的决定。

贪心算法的举例

1：分糖果

有 m 个糖果，大小不一，从小到大排列是： s1，s2，s3 - - - sm。把这 m 个糖果分给 n 个小孩，这 n 个小孩对糖果大小的渴求度从小到大是：q1，q2，q3 - - - qn。并且：n 大于 m，及小孩人数大于糖果数量。

如何将糖果分配给这些小孩，并且尽量满足更多的人数。

限制值就是糖果的数量 m ，期望值就是满足小孩的人数。在这个过程中，我们优先选择最小的糖，然后用来满足渴望度最小的小孩。也就是每次都从剩下的小孩中选出对糖渴望度最小的小孩，从剩下的糖块中选择满足他渴望的最小糖块。这个过程就保证了尽可能满足更多的小孩。

2：钱币找零

我们有 1，2，5，10，20，50，100 面值的纸币，现在要找零 k 元，希望用最少张纸币满足。

限制值就是找零的 k 元，期望值就是希望用最少的纸张。为了用最少的纸张，我们肯定会先紧着最大值面额的纸币凑够 k 元。如果不够，就用更小一点面额的纸币凑数。

3：区间覆盖

假设有 n 个区间，区间分别是 [l1，r1]，[l2，r2]，[l3，r3] - - - [ln，rn]。然后，从这部分区间中选择部分区间，区间的首位没有交叉重合，最多选取多少区间。

限制值区间首位不能交叉重合，期望值就是选取最多的区间。这类问题经常运用到任务调度，教师排课等等问题上。

首先这些区间中选出最左端的点 lmin，最右端的点 rmax，然后构建区间[lmin，rmax]。然后我们从这些区间中选出不想交的区间将[lmin，rmax]区间覆盖上，最后就完成了最多区间选取的问题的求解。

在选择区间的时候，左端的点不选与前一个区间重合的点，右端的点选距离左端最近的点。这样就可以让剩下的未覆盖区间尽量大，尽量容纳更多的区间。

总结

贪心算法最难的就是如何将问题抽象成贪心算法模型。只要这一步完成了，后续的实现就是水到渠成的事情了。所以，要想深刻理解贪心算法，还需要不断的实践和总结，这样才能熟练运用。

本文创作灵感来源于 极客时间 王争老师的《数据结构与算法之美》课程，通过课后反思以及借鉴各位学友的发言总结，现整理出自己的知识架构，以便日后温故知新，查漏补缺。

初入算法学习，必是步履蹒跚，一路磕磕绊绊跌跌撞撞。看不懂别慌，也别忙着总结，先读五遍文章先，无他，唯手熟尔~
与诸君共勉

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