每日leetcode——4. 寻找两个正序数组的中位数

题目

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

归并排序

利用归并排序的思想，在两个数组开头，设置两个指针，比较两个指针的大小，小的向后移动，直到找到中位数。

这个方法时间复杂度是O(m+n)，达不到题目的要求，且考虑边界情况的代码复杂。

二分法

二分法的思想：一个正序数组的中位数，就是该数组第k小的数。例如数组长度是7，中位数就是第4个数。
寻找中位数，转化成寻找第k个数。
将该数组拆成2个正序数组，就是分别在2个数组中寻找第k/2个数。

如果数组a的第k/2个数，小于数组b的第k/2个数，那么数组a中从开始位置到第k/2的位置的这部分数，可以排除掉，中位数一定不在这些数中
因为，假设中位数在这些数中，最极端的情况就是a的第k/2个数就是中位数，那么数组b的前k/2个数，都应该小于它。
但实际上b的第k/2个数，是大于a的第k/2个数的，所以假设不成立
所以，第k/2个数较小的一方，中位数一定不在它那里。

几个注意点：

1. 每轮循环，k减少的个数，是由被排除的数字个数决定的，而不是直接减半。

2. 查找范围的边界情况：
   如果结束范围超过了数组范围，就去数组末尾作为结束范围
   如果起始范围超过了数组范围，说明该数组被排空了，直接去另一个数组查看剩余的k个数

   例如有以下两个数组：
   A: 1 3 4 9
   B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
   
   两个有序数组的长度分别是4和9，长度之和是13，
   中位数是整个数组中的第7个元素，因此需要找到第 k=7 小的数。
   
   我们在两个数组中，先各自找出第3小的数：
   A: 1 3 4 9
       ↑
   B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
       ↑
   A中第3小的数是4，B中第3小的数是3
   B的第3小

   def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    def getTheKNum(k):
        # 两个指针，初始都在0的位置
        start1,start2 = 0,0
        # 开始二分循环排除
        while True:
            # 4. 当start已经移动到数组最后+1的位置，说明该数组以排空，去另一个数组中查看剩余的k个数
            if start1==m:
                return nums2[start2+k-1]
            if start2==n:
                return nums1[start1+k-1]
            
            # 5. 当k被排除到只剩1个的时候，此时直接比较两个数组start位置的数的大小即可，小的那个就是中位数
            if k==1:
                return min(nums1[start1],nums2[start2])
            
            # 1. 根据k值，确定【理论上】两个数组各自要查看几个数
            halfK = k//2
            
            # 2. 确定end的位置: 从start处开始，查看halfk个数，是否会超过数组范围
            # start是索引，所以start处有start+1个数
            # 从start开始，查看halfk个数，由于包含了start位置的数，所以是halfk-1个数
            # 所以从start开始查看halfk个数，共start+1+halfk-1=start+halfk个数
            # 是否超过数组本身的长度范围 len(nums)，超过了就将end定位到数组末尾，没超过就正常
            # end = min(start+halfk,len)-1
            end1 = min(start1+halfK,len(nums1))-1
            end2 = min(start2+halfK,len(nums2))-1
            
            # 3. 确定好要查看几个数后，开始比较end位置数的大小
            # 小的，排除掉这部分数，重新计算k值，并且移动start
            if nums1[end1] <= nums2[end2]:
                k = k - (end1-start1+1)
                start1 = end1+1
            else:
                k = k - (end2-start2+1)
                start2 = end2+1
                
    m,n = len(nums1),len(nums2)
    totalLen = m+n
    if totalLen%2 == 1:
        return getTheKNum(totalLen//2+1)
    else:
        return ((getTheKNum(totalLen//2))+(getTheKNum(totalLen//2+1)))/2