数据结构 --- 哈夫曼树基础

哈夫曼树（最优树）及其应用

路径长度的概念
1.路径：从一个结点到另一个结点之间的分支序列
2.结点之间的路径长度：从一个结点到另一个结点之间的分支数目
3.树的路径长度（用PL表示）：从树的根到每一个结点的路径长度之和 - - ->深度之和

PL = 0＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋3＝13

PL = 0＋1＋1＋2＋2＋3＋3＋3＝15

结点的权：
给树的每个结点赋予的一个具有某种实际意义的实数。

结点的带权路径长度：
从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。

树的带权路径长度：
树的所有叶结点的带权路径长度之和

WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36

树的带权路径长度记作：
其中：Wi为树中每个叶子结点的权，L i为每个叶子结点到根的路径长度

 WPL最小的二叉树就称作最优二叉树或哈夫曼树

哈夫曼树

       带权路径长度达到最小的扩充二叉树即为哈夫曼树。哈夫曼树中，权值大的结点离根最近。

哈夫曼树的应用

(1)前缀码：如果在一个编码系统中，任一个编码都不是其他任何编码的前缀（最左子串），则称该编码系统中的编码是前缀码。例如，一组编码01，001，010，100，110就不是前缀码，因为01是010的前缀，若去掉01或010就是前缀码。例如，名字中的郑霞、郑霞锦就不是前缀码。
(2)哈夫曼编码：对一棵具有n个叶子的哈夫曼树，若对树中的每个左分支赋予0，右分支赋予1，则从根到每个叶子的通路上，各分支的赋值分别构成一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。

(3)哈夫曼编码主要用于压缩、解缩

哈夫曼树的构建

通过单词出现的次数构建哈夫曼树

原有数据(单词出现的次数)：7 5 2 4

每次从原有数据中挑两个最小的，小的放左边，大的放右边：挑出 2 和 4，构建新节点 6，再把新数据 6 丢到原有数据中，再挑两个最小的出来...从而构建哈夫曼树

哈夫曼编码：往左边走是0，往右边走是1

用堆的实现，小顶堆：每次从原有数据中拿两个最小的，贪心算法的思想

a 字符存储占用一个字节，现在内存中用 0 表示即可

a b c d d d - -> 原来存储占用 6个字节

用二进制去存储所需要的内存：0 10 110 111 111 111，二进制中8位表示一个字节，用 2 个字节就可以完全存储，因此可以用来做压缩，哈夫曼树主要用于做字符串的编码

01 和 0 不能同时存在，假设 0 表示 a，01 表示 b，做拆分时不能做区分是指 a 还是 b：在一个编码系统中，任一个编码都不是其他任何编码的前缀

编码表：a：0，b：10，c：110，d：111

还原字符串：010110111111111，找字符0，01在编码中不存在，因此可以把0拆分开来...101 在编码中不存在，因此，可以拆分出10...