筑巢——树形dp

筑巢

题意：

给定一棵树，每个节点有权值 $a_i$，每条边有权值 $w$。
选取一个非空连通块，使其权值之和最大。
$-10^9\le a_i,w\le 10^9$

分析：

将任意一点看作根节点。
从根节点往下递归，回溯的时候从下往上更新。

定义f[x]： 在以 x 为根的子树中，非空连通块的最大权值。

• 对于一个节点 x，遍历其所有子节点 tx，如果子节点所在子树非空连通块最大权值 f[tx] 加上 连边w 大于0，f[x] += f[tx] + w。
• 加上本身点权，f[x] += a[x] 后，返回给父节点。

为什么最终能够保证连通呢？
因为每次更新的时候都加上和子节点的连边了。

Code：

//https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11222/E
#include
using namespace std;

#define Ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define int long long
#define PII pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'

map<int,int> mp;

const int N = 200010, mod = 1e9+7;
int T, n, m, k;
int a[N], f[N];
vector<PII> e[N];
int ans=-1e9;

int dfs(int x, int fa)
{	
	for(auto it:e[x])
	{
		int tx = it.fi, w = it.se;
		if(tx == fa) continue;
		
		int d = dfs(tx, x);
		if(d+w > 0) f[x] += d+w;
	}
	
	f[x] += a[x];
	ans = max(ans, f[x]);
	
	return f[x];
}

signed main(){
	Ios;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x, y, z;cin>>x>>y>>z;
		e[x].pb({y, z});
		e[y].pb({x, z});
	}
	
	dfs(1, 0);
	
	cout << ans;
	
	return 0;
}

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