微积分、线性代数、概率论，这里有份超详细的ML数学路线图

大学时期学的数学现在可能派上用场了，机器学习背后的原理涉及许多数学知识。深入挖掘一下，你会发现，线性代数、微积分和概率论等都和机器学习背后的算法息息相关。

 

机器学习算法背后的数学知识你了解吗？在构建模型的过程中，如果想超越其基准性能，那么熟悉基本细节可能会大有帮助，尤其是在想要打破 SOTA 性能时，尤其如此。

机器学习背后的原理往往涉及高等数学。例如，随机梯度下降算法建立在多变量微积分和概率论的基础上。因此掌握基础的数学理论对于理解机器学习模型很重要。但如果你是没有数学基础的初学者，这里有一份学习路线图，带你从零开始深入理解神经网络的数学原理。

大多数机器学习都建立在三种数学理论的基础上：线性代数、微积分和概率论，其中概率论的理论又基于线性代数和微积分 。

 

微积分

微积分包括函数的微分和积分。神经网络本质上是一个可微函数，因此微积分是训练神经网络的基本工具。

首先，函数的导数定义如下

 

在极限定理中，这也是点 x 处切线的斜率。下图说明了这个概念：

将函数的导数可视化

微分可以用来优化函数：导数在局部极大值和极小值处为零。（也有例外，例如：f(x) = x³，x=0），导数为零的点称为临界点。临界点是最小值还是最大值可以通过查看二阶导数来确定：

 

求导存在一些基本法则，其中最重要的可能是链式求导法则：

 

上式告诉我们如何计算复合函数的导数。

微分和积分互为逆运算，这是因为：

 

它适用于任何可积函数 f(x)。函数的积分也可以看作是曲线下的有符号面积。例如：

 

因为当函数是负的时候，这里的面积也有一个负号：

在 -π到π的区间内，正弦函数曲线下的有符号面积

推荐一些比较好的学习资源，麻省理工学院的单变量微积分课程和 Gilbert Strang 的教科书。

 

线性代数

神经网络本质上是函数，它是用微积分工具训练的。然而，又涉及线性代数，如矩阵乘法。线性代数是一门涉及机器学习许多方面的庞大学科，因此这将是一个重要的部分。

向量空间

为了更好地理解线性代数，建议从向量空间开始。首先介绍一个特例，把平面上的每个点看作一个元组：

 

这些本质上是从零指向（x₁，x2）的向量。向量之间可以相加，向量也可与标量相乘：

 

这是向量空间的原型模型。一般来说，如果可以将向量相加并将向量与实数相乘，那么这组向量 V 就是实数上的向量空间，那么以下属性成立：

 

这些保证了向量可以相加和缩放。当考虑向量空间时，如果你在心里把它们建模为 R^2 会很有帮助。

范数空间

如果你很了解向量空间，下一步就是理解怎样测量向量的大小。在默认情况下，向量空间本身并没有提供这样的工具。但我们有：

 

这是一种特殊的范数，通常，如果存在函数，则向量空间 V 是范数的：

 

范数为：

 

但这是一个简单而基本的概念，有很多范数存在，但最重要的是 p 范数家族：

 

当 p=2 时，我们得到上述特例以及最高范数。

 

有时，例如对于 p = 2，范数来自所谓的内积，即双线性函数。

 

因此：

 

具有内积的向量空间称为内积空间。经典的是欧几里得积。

 

每一个内积都可以变成一个范数。

 

当两个向量的内积为零时，这两个向量彼此正交。

基正交 / 正交基

虽然向量空间是无穷的（在本文的例子中），你可以找到一个有限的向量集，用来表示空间中的所有向量。例如，在平面上，我们有：

 

其中 e1，e2 函数如下

 

这是基和正交基的一个特例。一般来说，基（basis）是向量的最小集合：

 

它们的线性组合跨越了向量空间：

 

任何向量空间都存在一个基（它可能不是一个有限集，但这里不必关心）。毫无疑问，在讨论线性空间时，基大大简化了问题。

当基中的向量相互正交时，我们称之为正交基（orthogonal basis）。如果每个正交向量的范数在正交基础上均为 1，则我们说它是正交的。

线性变换

与向量空间非常相关的是线性变换（linear transformation）。如果你之前了解神经网络，就应该知道其基本的构建基块是以下形式的层：

 

其中，A 为矩阵，b 和 x 为向量，σ为 sigmoid 函数（或是其他激活函数）。Ax 是线性变换的一部分，则函数：

 

是向量空间 V 和 W 之间的线性变换

 

对于 V 中的所有 x、y 值都成立，而且都是实数。

矩阵及其运算

矩阵最重要的运算是矩阵乘积。通常，矩阵 A、B 以及乘积 AB 表示为：

 

 

下图演示了计算过程：

 

矩阵乘法是线性变换的组合。

决定因素

行列式是线性代数中最具挑战性的概念之一。要了解这一概念，请观看下面的视频。

总而言之，矩阵的行列式描述了在相应的线性变换下，对象的体积是如何缩放的。如果变换改变方向，行列式的符号为负。

特征值、特征向量和矩阵分解

标准的线性代数课程通常以特征值 / 特征向量和一些特殊的矩阵分解（如奇异值分解）结束。假设我们有一个矩阵 A，并且如果有一个向量 x（称为特征向量），那么λ就是矩阵 A 的特征值：

 

换句话说，由 A 表示的线性变换对向量 x 进行一个λ缩放，这个概念在线性代数中起着重要作用（实际上在广泛使用线性代数的每个领域都是如此）。

你需要熟悉矩阵分解，从计算的角度来看，对角矩阵是最好的选择，如果一个线性变换有一个对角矩阵，那么计算它在任意向量上的值是很简单的。

 

大多数特殊形式的目的是将矩阵 A 分解为矩阵乘积，矩阵分解后最好有一个是对角矩阵。奇异值分解（SVD），是指有一个特殊的矩阵 U 和一个对角矩阵Σ，使得：

 

U 和 V 是酉矩阵，是一个特殊的矩阵族。奇异值分解（SVD）也被用来进行主成分分析，这是最简单和最著名的降维方法之一。

线性代数有许多教授方法，本文列出的学习路径是受 Sheldon Axler 教材《Linear Algebra Done Right》的启发。对于在线讲座，MIT 的网络公开课值得推荐。

• Sheldon Axler 的教材地址：http://linear.axler.net/
• MIT 的网络公开课地址：https://www.youtube.com/playlist?list=PL49CF3715CB9EF31D

 

多变量运算

多变量运算中将线性代数和微积分结合在一起，为训练神经网络的主要工具奠定了基础。从数学上讲，神经网络只是多个变量的函数（尽管变量数量可达数百万）。

与单变量运算相似，两个重点是微分和积分。假设存在映射：

 

将向量映射到实数。在二维（即 n=2）的情况下，可以将其图象想象为一个曲面（由于人类生活在三维世界，因此很难将具有两个以上变量的函数可视化）。

两变量的函数图像

多变量微分

在单变量中，导数是切线的斜率。那么在此应该如何定义切线呢？表面上的一个点处不只有一条切线，而是多条。这些切线中有两条特殊的切线：分别为平行于 x-z 平面的切线和平行于 y-z 平面的切线。

这两条切线的斜率由偏导数决定，如下：

 

这些特殊方向的切线横跨切平面。

切平面

梯度

另一个特殊的方向是梯度方向：

 

梯度始终指向增加最快的方向，因此沿这个方向前进一小步，高度上的增加相对于其他方向是最大的。这就是梯度下降的基本思想，它是让函数最大化的算法。其步骤如下：

1. 计算当前位置 x_0 处的梯度。
2. 在梯度方向上走一小步即可到达点 x_1（步长称为学习率）。
3. 返回步骤 1，重复该过程，直至收敛为止。

当然，这种算法也存在一些缺陷，多年来这些缺陷也得到了一些改善。基于现代梯度下降的优化器采用了许多技巧，例如自适应步长、动量等。

在实践中计算梯度是一件很困难的事，函数经常由其他函数的组成部分构成。例如，线性层：

 

其中 A 是矩阵，b 和 x 是矢量，σ是 sigmoid 函数（当然还有其他激活函数）。如何计算梯度？

 

写成如下的矢量 - 标量函数：

 

g 的梯度由矩阵定义，该矩阵的第 k 行是第 k 个分量的梯度

 

该矩阵被称为 g 的总导数。在该例中

 

包含两个函数

 

和

 

定义中用到了单变量 sigmoid 分量。将函数进一步分解为从 n 维向量空间映射到实数空间的 m 个函数：

 

其中：

 

如果计算总导数，则会看到：

 

这是多元函数的链式规则，具有通用性。没有它就没有简单的方法来计算神经网络的梯度。而神经网络是许多函数的组合。

高阶导数

与单变量的情况类似，梯度和导数在确定空间中的给定点是局部极小值还是极大值方面（或者两者都不是）也起作用。

举一个具体的例子，训练神经网络等效于最小化参数训练数据上的损失函数。这就是找到最佳参数配置 w 的目的：

 

其中：

 

分别是神经网络和损失函数。

对于 n 个变量的通用可微分矢量 - 标量函数，存在 n^2 个二阶导数。形成 Hessian 矩阵。

 

在多变量的情况下，Hessian 的行列式充当二阶导数的角色。类似地，它还可以用来判断临界点（即所有导数均为零的情况）是最小值、最大值、鞍点中的哪一种。

现在我们准备开始最后一个主题：概率论!

 

概率论

概率论是将机率数学化的学科，它是所有科学领域的理论基础。

假设掷硬币，有 50％的概率（或 0.5 的概率）为正面。重复实验 10 次后，得到多少个正面？如果你回答了 5，你就错了。正面概率为 0.5 并不能保证每两次投掷都有一面是正面。相反，这意味着如果你重复实验 n 次，其中 n 是一个非常大的数字，那么正面的数量将非常接近 n/2。

除了基础知识之外，你还需要了解一些高阶知识，首先是期望值和熵。

期望值

假设你和朋友玩游戏。你掷一个经典的六边形骰子，如果结果是 1 或 2，你将赢得 300 美元。否则，你就输 200 美元。如果你玩这个游戏的时间够长，你每轮的平均收入是多少？你应该玩这个游戏吗？

那么，你有 1/3 的概率赢 300 美元，2/3 的概率输 200 美元。也就是说，如果 X 是编码掷骰子结果的随机变量，那么：

 

通常来说，当用于离散型随机变量时，期望值定义如下：

 

当用于实值连续型随机变量时，定义如下

 

在机器学习中，训练神经网络所用的损失函数在某种程度上是期望值。

大数定律

人们常常错误地把某些现象归因于大数定律。例如，那些连输的赌徒相信，根据大数定律，他们很快就会赢。这是完全错误的。让我们看看这到底是什么。假如：

 

是代表同一实验中独立重复的随机变量 （例如，掷骰子或扔硬币）。

本质上，大数定律指出：

 

从长远来看，结果平均值等于期望值。

给出的一种解释是，如果一个随机事件重复了很多次，则单个结果可能无关紧要。因此，如果你在赌场玩一个期望值为负的游戏，那么偶尔也会赢。但大数定律意味着你会赔钱。

此外，随机梯度下降中 LLN 很重要。

信息论

让我们玩个游戏。玩家心理想着 1-1024 的任意数字，然后你来猜。你可以问问题，但你的目标是使用尽可能少的问题。你需要多少问题？

如果你玩得很聪明，则可以使用二分搜索方法处理问题。首先你可能会问：这个数字在 1 和 512 之间吗？这样一来，搜索空间就减少了一半。使用此策略，你可以在

 

问题中找出答案。

但是如果在选数字时没有使用均匀分布呢？例如，可以用泊松分布。

泊松分布的概率质量函数

使用泊松分布可能需要较少的问题，因为分布往往集中在特定的点上（这取决于参数）。

在极端情况下，当分布集中在一个数字上时，你不需要任何问题来猜它。一般来说，问题的数量取决于分布所携带的信息。均匀分布包含的信息量最少，而奇异分布是纯信息。

熵是一种量化的方法。当用于离散随机变量时，定义如下：

 

当用于连续实值变量，定义如下：

 

如果你以前使用过分类模型，可能会遇到交叉熵损失，定义如下：

 

其中 P 是真实值（集中到单个类的分布），而 P^ 表示类预测。这衡量了预测与实际情况相比有多少信息。当预测相匹配时，交叉熵损失为零。

另一个常用量是 Kullback-Leibler 散度（KL 散度），定义为：

 

其中 P 和 Q 是两个概率分布。这本质上是交叉熵减去熵，熵可以被认为是对两个分布的不同程度的量化。例如，在训练生成式对抗网络时，这是很有用的。最小化 KL 散度可以保证两个分布是相似的。

在这里推荐两本书：

• Pattern Recognition and Machine Learning by Christopher Bishop
• The Elements of Statistical Learning by Trevor Hastie, Robert Tibshirani, and Jerome Friedman

基于此，我们回顾了理解神经网络所必需的数学知识。但是要真正理解神经网络是如何工作的，你还必须学习一些优化和数理统计。这些科目建立在数学的基础之上，在这就不进行介绍了。