DP线性模型：最长上升子序列、最长公共子序列、最长公共上升子序列、天天向上（4个严格递增的子序列个数）

最长上升子序列长度

输入
7
3 1 2 1 8 5 6
输出
4

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int dp[N];//dp[i] = dp(K) + 1
int a[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)//初始化DP数组
    {
        dp[i] = 1;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j < i; j++)
        {
            if (a[j] < a[i])//满足严格单调递增条件
            {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
           }
        }
    }
    // cout << dp[n] << endl;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        //cout << dp[i] << endl;
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    cout << ans << endl;
}

最长公共子序列

问题描述
　　给定两个字符串，寻找这两个字串之间的最长公共子序列。
输入格式
　　输入两行，分别包含一个字符串，仅含有小写字母。
输出格式
　　最长公共子序列的长度。
样例输入
abcdgh
aedfhb
样例输出
3

状态：dp[i][j]  a串前i个 b串前j个的最长公共子序列个数
状态转移：若 a[i]==b[j],则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
 若 a[i]！=b[j],则dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

//#include 
//#include 
//#include 
//#include 
//#include 
//#include 
#include 
using namespace std;

#define MAXN 1010

int dp[MAXN][MAXN];
char a[MAXN],b[MAXN];
int main()
{
	gets(a+1);
	gets(b+1);
	int len1=strlen(a+1);
	int len2=strlen(b+1);
	
	for(int i=0;i<=len1;i++)
		dp[i][0]=0;
	for(int i=0;i<=len2;i++)
		dp[0][i]=0;
		
	for(int i=1;i<=len1;i++)
		for(int j=1;j<=len2;j++)
		{
			if(a[i]==b[j])
				dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
			else
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
		} 
	printf("%d\n",dp[len1][len2]);
	return 0;
}

最长公共上升子序列

#include 

using namespace std;

const int N = 3010;

int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    //input
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> b[i];

    //dp
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for (int j = 1; j <= n; ++ j)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (a[i] == b[j])
            {
                for (int k = 0; k < j; ++ k)
                {
                    if (b[j] > b[k])
                    {
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][k] + 1);
                    }
                }
            }
        }
    }

    //find result
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++ i) res = max(res, f[n][i]);
    cout << res << endl;

    return 0;
}

优化代码：

#include 

using namespace std;

const int N = 3010;

int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    //input
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> b[i];

    //dp
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        int maxv = 1;
        for (int j = 1; j <= n; ++ j)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (b[j] == a[i]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
            if (b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1);
        }
    }

    //find result
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++ i) res = max(res, f[n][i]);
    cout << res << endl;

    return 0;
}

天天向上

只要对于第i、j、k、l四天，满足i 样例输入
6
1 3 2 3 4 5
输出
6

#include 
using namespace std;
const int maxn=2010;
int n;
int dp[maxn][maxn],a[maxn];

int main(){
	cin>>n;
   for(int i=1;i<=n;i++){
   	cin>>a[i];
  	
   }
   for(int i=1;i<=n;i++){
   	for(int j=1;j<=n;j++){
   		dp[i][j]=0;
   	}
   }	
   //dp[i][k]  表示以第i个数结尾的 连续递增k个数的递增子序列个数 
 for(int i=1;i<=n;i++){
   	dp[i][1]=1;//以第i个数结尾的 连续递增1个数的递增子序列个数 ==1 
   }
for(int k=2;k<=4;k++){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<i;j++){
		  if(a[j]<a[i]){
		  	dp[i][k]=dp[i][k]+dp[j][k-1];
		  }	
		}
	}
	
} 
   
long long ans=0;
for(int i=4;i<=n;i++){
	ans+=dp[i][4];
}
   cout<<ans;
   return 0;	
}