世界因数学而改变

来源：数学中国

1971年尼加拉瓜发行了十张一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，由一些著名数学家选出十个以世界发展极有影响的公式来表彰。其实不难发现选出的“数学公式”很多都是物理学中的公式，当然正是因为有强大的数学，你才能看到物理规律有如此简明优美的表达，那就让我们怀着一份对自然的赞美之情来欣赏这十个公式吧。

1

手指计数基本法则

小孩子对数量的认识，几乎都是从用手指头数数开始。人类的祖先，从数指头开始，逐渐累积经验，堆石子、数贝壳、树支、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具如算盘、筹算、计算器等，一切都从手指头开始。嗯！可能是因为人有十隻手指，计算时以手指辅助，自然就形成了十进位的观念吧！

人类发明了文字以后，相对就有了数字与数码，数字是指数的词，如一、二、三、四、五、…、十、百、千、万；数码是指数的符号，如1、2、3、4、5、6、7、8、9、0（以上为阿拉伯数码），而明清两代盛行用数码来表示，就写成：

中国算筹计数：为十进位制，以下为1~9之表示法，有纵、横两式，交叉运用：

玛雅数字：由中美洲的玛雅所创造出来的一种象形文字，20以下采5进位的累进数制，20以上用位值制：

埃及的僧侣文：出现在世界上最古老的数学书赖固德纸草书上，这是象形文字的简化，以下为各种不同数字的表示：

2

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

这个定理中国和巴比伦人早在毕氏之前一千年就在使用，但仍被称为「毕氏定理」，主要是因为毕氏证明了定理的普遍性。据说在证明成功的当天，毕氏叫学生们宰杀了一百头牛，举行盛大的宴会来庆贺。所以，毕氏定理又有「百牛大祭」的美称。

若正方形的边长为1，对角线的长度不能用分数来表示。整数构成的分数是有理数，不能写作整数与整数比的数称为无理数。无理数的存在是毕氏学派首先发现，也是数学史上重要的里程碑。

你知道吗？历史上关于毕氏定理的证明，超过四百种方法喔！

三国时代的数学家赵爽注释「周髀算经」时给的证明：「弦实」：以弦为边的大正方形面积「朱实」：四个直角三角形的面积和「黄实」：中间围起来的小方块面积「弦实」－「朱实」－「黄实」

数学家刘徽的证明，叫做「出入相补法」：简单的说，就是剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。－「黄实」

3

阿基米德杠杆原理

阿基米德说：『给我一个支点，我就可以移动地球！』，希腊国王要求他证明，他便借了一艘大船，他运用杠杆原理以及滑轮巧妙地组合机械，船载满乘客及货物后，阿基米德让国王用手轻轻的拉一条绳子，大船就直线前进了。国王很是惊讶与佩服并立即宣佈：「从现在起，阿基米德说的话我们都要相信。」

阿基米德的成就，除杠杆原理外，还有著名的浮力原理─「物体在液体中的浮力等於它所排开的液体重量」。他也是杰出的数学家，著有《圆的量度》《拋物线的求积》《论螺线》《论球和圆柱》《论劈锥曲面体和球体》《数沙术》《论平板的平衡》等书。阿基米德最得意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的2/3倍，这个图形就刻在他的墓碑上。

4

纳皮尔指数与对数关系公式

纳皮尔原是一位苏格兰的修道士，业余研究数学，他为寻求球面三角计算的简便方法，经20年的努力，创造出对数的关念，出版了《奇妙的对数表的描述》一书。天文学家刻卜勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算。「对数」被誉为「用缩短计算时间而使天文学家延长寿命」，也对整个科学的发展起了重要作用。

纳皮尔运用对数设计了所谓的「纳皮尔的骨头」的计算器，用数字木棒的排列来计算。十年后，威廉奥特运用对数设计了称为「计算尺」的器具，成为往后350年工程师都会用到的工具。

你知道纳皮尔花了多少时间来建构整个对数表吗？请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情，所有的计算，只能利用纸笔一项一项慢慢地算，此纳皮尔整整花了二十年的时间建立他的对数表，简直是匪夷所思吧！试著想像一下二十年之间，每天都在重复做同类型的繁琐计算，这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的，但纳皮尔熬过来了，而他的辛苦也得到了报偿对数受到了热切的欢迎。

5

牛顿万有引力定律

任何两件物体会因质量而互相吸引，吸力大小与质量成正比，与距离的平方成反比。

牛顿小时候并不聪明，功课也不好，身体差、性格沉默又爱做白日梦，他的超人才智竟然是被一个野蛮的同学踢了一脚而唤醒的！牛顿决心发奋，誓言在功课上超越他，结果他不单在学校中名列前茅，18岁时便考进剑桥大学。

牛顿24岁时，伦敦发生流行病，他便返回故乡，在一年半的时间里有了三个非凡的创见，发明「微积分」，发现「万有引力」，发现「光分七色」。1681年出版《自然哲学的数学原理》，总结出万有引力定律，并提出三大运动定律，建立了古典力学的基本体系，被誉为最伟大的科学著作。牛顿十分谦虚，他说：「如果我看得比较远，是因为我站在巨人的肩上。」

有人说，没有哈雷，就没有《自然哲学的数学原理》这本改变历史的书，这话一点也不假。哈雷想尽办法、好说歹说才让牛顿同意写书，皇家学会也同意出版，却因濒临破产无法印刷，哈雷于是自掏腰包，所有出版庶务都一手包办，和印刷商周旋、校订、验算数据和审图。靠哈雷的鼓励与努力《自然哲学的数学原理》一书才有机会呈现在世人眼前。

6

麦克斯韦电磁方程组

马克斯威尔用数学式子概括一切电磁现象，并预言：1.电场及磁场的波以光速在空间传递，2.光为电磁波的一种。这是无线广播的理论基础，因此被称为「无线电之父」。23年后，赫兹证实马克斯威尔的预测创造出无线电波，开啟了无线电时代。这发现，也是爱因斯坦狭义相对论的重要背景。

1865年马克斯威尔预测电磁波辐射传播的存在，将库伦、安培、法拉第的研究结果整理成四个电磁场理论的数学式，这个理论提供了连续性的电的流动。1887年德国科学家赫兹（Hertz）实验证明出电磁波。马克斯威尔的理论将电学与磁学统合成一体。

爱因斯坦：「马克斯威尔的工作是自牛顿以来，物理学上影响最深远与丰硕的工作。」电磁波包含有长波、无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X光线、射线等。

7

爱因斯坦质能关系式

爱因斯坦小时候发育比较慢，三岁才开始讲话，被人认为是反应迟钝的孩子，他五岁的时候，父亲给他一个罗盘，他被罗盘针永远指同一方向的神奇性质吸引住了。他后来回忆当时的感觉是：「在真正事物的背后，必定隐含若干真理。」 

1905年是爱因斯坦「神奇的一年」，26岁的他发表了四篇最富创造性的伟大论文，使他获得博士学位、1921年诺贝尔奖、并创立狭义相对论。相对论推论的结果真是匪夷所思，令人不敢置信，可是后来都证实了。现在我们经常听到的黑洞、时光旅行、空间弯曲等等好像是科幻名词，可都是相对论所推导来的哦！

令爱因斯坦最感后悔的是，在1939年他写了一封信给美国总统罗斯福，促成原子弹的研究，因此与罗素合作，极力向世人呼吁禁止核子武器的开发和使用。

8

德布罗意公式

德布罗意本来是学历史的，受数学家庞加莱的影响而改学科学。1924年他在博士论文中提出「物质波」的概念，轰动全世界，他认为任何实物、粒子都同时具有波与粒子二种性质，还运用爱因斯坦的相对论，导出物质波波长的公式。他的看法后来被戴维森的实验证实。而物质波的概念也为波动力学的发展提供了重要的理论基础。

当德布罗意的论文发表后，爱因斯坦惊叹不已称道：「瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢！他揭开了一幅大幕的一角」。也惊动了老一辈物理学家：「这些青年人认为，拋弃物理学中老的概念简直易如反掌！」

量子力学不仅是理论物理学，也是科学哲学研究的范畴，甚至影响了我们日常生活中的一些基本假定。量子力学有三个革命性的概念。第一个就是德布罗意的波、粒二重性─在微观世界裡，很多东西具有波动和粒子双重的特性。第二个是说所有的物理事实都只具有或然性，而没有必然性。与古典物理学认为事件有确实性和可决定性相反。第三个是海森堡的测不准原理─测量粒子时，我们不能同时确切地知道粒子的位置和速度。若我们测量到粒子的位置越准确，则所知的速度越不准确，反之亦然。它们推翻了人们对物理学上一些假定的认知。

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玻尔兹曼公式

用牛顿力学来解释物体内每一个分子的运动，实际上是不可能的，波兹曼用统计的观念，只考量分子运动排列的机率，来对应到相关物理量的研究，是很难懂，但却是很聪明的办法，对近代物理发展非常非常重要。

854年德国的科学家克劳宙斯(Clausius)首先引进了「熵（Entropy）」的概念。熵是表示杂乱程度的一个量。这个量在可逆过程不会变化，在不可逆过程会变大。像懒虫的房间，若没有人替他收拾打扫，房间只会杂乱下去，决不会自然变得整齐。熵的变化，具体来说，等于用绝对温度除热量变化的商。熵是希腊语「变化」的意思。生物也离不开「熵增大的法则」，生物需要从体外吸收负的熵来抵消熵的增大。

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齐奥尔科夫斯基公式

希欧考夫斯基是自学成功的，他本来是中学教师，有一次在教室里向学生大谈天象奥秘，引起一位参观的物理学家的注意，从此天才被发掘，引导俄国科学界放眼太空。后来，他对一群科学家说，只要大家努力，俄人将第一个走出地球，他的话成为事实，他也被称为俄国火箭之父。

1895年他在科幻著作《地球与天空的梦想》中提出了用多节、液态火箭来脱离地球的想法。1903年在论文中说明将火箭用于星际交通的可能性，并提出太空航行火箭的设计原理。1957年他的梦想成真。

1957年苏联发射第一颗人造卫星，揭开太空时代的序幕，1961年送出第一位太空人─盖加林，赢了太空竞赛的第一役，美国在1969年送阿姆斯壮踏上月球，扳回一城。

他著重钻研中国古代火箭技术，请人翻译明末及清初的军事著作参考，尤其对《武备志》最感兴趣。当时中国已拥有近三十种军用火箭，“神机火龙箭”或“火龙出水”之类的武器令他著迷，他产生了更多的梦想和灵感，不久写成《地球与天空的梦想》一书。

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