B+树介绍
B+树是B树的一种变种，因此若想了解B+树，首先要了解B树的定义。B树又称多路平衡查找树，B树中所有结点的孩子个数的最大值称为B树的阶，通常用M表示。一般从查找效率考虑，通常要求M>=3。一棵M阶B树，有如下特性：
- 若根节点不是叶子结点，则至少有两棵树。
- 每一个节点最多M棵子树，最多有M-1个关键字。
- 除根节点外，其他的每个分支至少有ceil(M/2)个子树，至少含有ceil(M/2)-1个关键字。
- 每个节点中的关键字都按照大小顺序排列，每个关键字的左子树的所有关键字都小于它，每个关键字的右子树都大于它。
- 所有叶子节点都位于同一层，或者说根节点到每个叶子节点的长度都相同。
下图是一个B树的例子：
为了适应磁盘IO访问的特点以及适应范围查询的需求，B+树对B树进行了改进。对于一棵m阶的B+树，有如下特性：
- 每个节点至多有M个子树。
- 除根结点外，每个结点至少有ceil(M/2)个子树。
- 结点的子树个数于关键字个数相等。
- 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
- 所有的非终端结点（非叶子结点）可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字。
下图是一个B+树的例子：
B+树和B树相比，主要有以下区别：
- 非叶子节点只存储键值信息，数据记录都存放在叶子节点中。
- 所有叶子节点之间都有一个链指针。
- 非叶子节点的关键字的个数与其子树的个数相同，不像B树，子树的个数总比关键字个数多1个。
B+树通常用于数据库索引，例如Mysql的InnoDB存储引擎以及MyISAM存储引擎的索引文件中使用的就是B+树。一般来说，数据库的索引都比较大，不可能全部存储在内存中，因此索引往往以文件的形式存储的磁盘上。系统从磁盘读取文件到内存时，需要定位到文件所在的位置：文件所在柱面号，磁盘号，扇区号。这个操作时非常耗时的，远高于内存操作。考虑到磁盘IO是非常高昂的操作，操作系统在读取文件时做了一些优化，系统从磁盘读取文件到内存时是以磁盘块（block）为基本单位的，位于同一个磁盘块中的数据会被一次性读取出来，而不是需要什么取什么。每一次IO读取的数据我们称之为一页(page)。具体一页有多大数据跟操作系统有关，一般为4k或8k。
由于磁盘IO非常耗时，因此评价一个数据结构作为索引的优劣最重要的指标就是在查找过程中是否能够有效减少磁盘I/O的操作次数。Mysql选择使用B+树作为索引文件的数据结构，主要基于B+树的以下特点：
- B+树的磁盘读写代价更低
< B+树的内部结点只有关键字，没有数据，一个结点可以容纳更多的关键字。查询时一次性读入内存中的关键字也就越多，相对来说I/O读写次数也就降低了。 - B+树查询效率更加稳定
< B+树内部结点不保存数据，而只是叶子结点中数据的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。 - B+树便于范围查询
< 所有叶子节点形成有序链表，对于数据库中频繁使用的范围查询，B+树有着更高的性能。。
在InnoDB中，表数据文件本身就是按B+树组织的一个索引结构，它使用数据库主键作为Key，叶节点保存了完整的数据记录。InnoDB中有页（Page）的概念，页是其磁盘管理的最小单位。InnoDB中默认每个页的大小为16KB，可通过参数innodb_page_size将页的大小设置为4K、8K、16K。InnoDB中，B+Tree的高度一般都在2~4层。由于根节点常驻内存的，因此查找某一键值的行记录时最多只需要1~3次磁盘I/O操作。因为InnoDB的数据文件本身要按主键聚集，所以InnoDB要求表必须有主键（MyISAM可以没有），如果没有显式指定，则MySQL系统会自动选择一个可以唯一标识数据记录的列作为主键，如果不存在这种列，则MySQL自动为InnoDB表生成一个隐含字段作为主键，这个字段长度为6个字节，类型为长整形。聚集索引这种实现方式使得按主键的搜索十分高效，但是辅助索引搜索需要检索两遍索引：首先检索辅助索引获得主键，然后用主键到主索引中检索获得记录。
B+树中插入数据
在B+树中插入数据时，需要注意以下几点：
- 插入数据时首先定位到数据所在的叶子结点，然后将数据插入到该结点，插入数据后不能破坏关键字自小而大的排列顺序。
- 若插入元素后该节点关键字数目<=阶数M，则直接完成插入操作。
- 若插入的元素为该节点的最大值，则需要修改其父结点中的索引值。
- 若插入元素后该节点关键字数目>阶数M，则需要将该结点分裂为两个结点，关键字的个数分别为：floor((M+1)/2)和ceil((M+1)/2)。
- 若分裂结点后导致父节点的关键字数目>阶数M，则父节点也要进行相应的分裂操作。
数据插入说明：
- 若被插入关键字所在的结点，其含有关键字数目小于阶数M，则直接插入结束。
下图是插入关键字：15后的结果：
- 若被插入关键字所在的结点，其含有关键字数目等于阶数M，则需要将该结点分裂为两个结点。
上图中插入关键字：9后结点的关键字数量为：4，超过了B+树阶数M，因此需要进行结点分裂操作，分裂后的结果为：
B+树中删除数据
在 B+树中做删除关键字的操作，采取如下的步骤：
- 当删除某结点中最大或者最小的关键字，就会涉及到更改其双亲结点一直到根结点中所有索引值的更改。
- 删除关键字后，如果若当前结点中关键字个数小于>=[M/2]，则直接完成删除操作。
- 在删除关键字后，如果导致其结点中关键字个数<[M/2]，若其兄弟结点中含有多余的关键字，可以从兄弟结点中借关键字。
- 在删除关键字后，如果导致其结点中关键字个数<[M/2]，并且其兄弟结点没有多余的关键字，则需要同其兄弟结点进行合并。
- 结点合并后，需要修改父结点的关键字的个数，若父结点的关键字个数<[M/2]，需要依照以上规律进行处理。
数据删除说明：
- 删除关键字后，如果若当前结点中关键字个数小于>=[M/2]，则直接完成删除操作。
上图中删除关键字：8，删除后的结果如下：
- 在删除关键字后，如果导致其结点中关键字个数<[M/2]，若其兄弟结点中含有多余的关键字，可以从兄弟结点中借关键字。
上图中删除关键字：21，由于删除后结点只有一个关键字：25<[M/2]，因此需要从兄弟结点中借用一个关键字：17，删除后的结果如下：
- 在删除关键字后，如果导致其结点中关键字个数<[M/2]，并且其兄弟结点没有多余的关键字，则需要同其兄弟结点进行合并。
上图中删除关键字：9，由于删除后结点只有一个关键字：11<[M/2]，并且兄弟结点也没有多余的关键字，因此需要与兄弟结点进行合并，删除后的结果如下：
Go语言代码
接下来我们给出B+树的Go语言的实现，目前代码已经上传到github中，下载地址
结点的定义
首先给出B+树结点的定义，在此叶子结点与索引结点使用了相同的数据结构：
type BPItem struct {
Key int64
Val interface{}
}
type BPNode struct {
MaxKey int64
Nodes []*BPNode
Items []BPItem
Next *BPNode
}
其中：
- BPItem用于数据记录。
- MaxKey：用于存储子树的最大关键字
- Nodes：结点的子树（叶子结点的Nodes=nil）
- Items：叶子结点的数据记录（索引结点的Items=nil）
- Next：叶子结点中指向下一个叶子结点，用于实现叶子结点链表
B+树的定义
type BPTree struct {
mutex sync.RWMutex
root *BPNode
width int
halfw int
其中：
- root：指向B+树的根结点
- width：用于表示B+树的阶
- halfw：用于[M/2]=ceil(M/2)
B+树的初始化
func NewBPTree(width int) *BPTree {
if width < 3 {
width = 3
}
var bt = &BPTree{}
bt.root = NewLeafNode(width)
bt.width = width
bt.halfw = (bt.width + 1) / 2
return bt
}
//申请width+1是因为插入时可能暂时出现节点key大于申请width的情况,待后期再分裂处理
func NewLeafNode(width int) *BPNode {
var node = &BPNode{}
node.Items = make([]BPItem, width+1)
node.Items = node.Items[0:0]
return node
}B+树的查询
func (t *BPTree) Get(key int64) interface{} {
t.mutex.Lock()
defer t.mutex.Unlock()
node := t.root
for i := 0; i < len(node.Nodes); i++ {
if key <= node.Nodes[i].MaxKey {
node = node.Nodes[i]
i = 0
}
}
//没有到达叶子结点
if len(node.Nodes) > 0 {
return nil
}
for i := 0; i < len(node.Items); i++ {
if node.Items[i].Key == key {
return node.Items[i].Val
}
}
return nil
}B+树的插入操作
func (t *BPTree) Set(key int64, value interface{}) {
t.mutex.Lock()
defer t.mutex.Unlock()
t.setValue(nil, t.root, key, value)
}
func (t *BPTree) setValue(parent *BPNode, node *BPNode, key int64, value interface{}) {
for i:=0; i < len(node.Nodes); i++ {
if key <= node.Nodes[i].MaxKey || i== len(node.Nodes)-1 {
t.setValue(node, node.Nodes[i], key, value)
break
}
}
//叶子结点，添加数据
if len(node.Nodes) < 1 {
node.setValue(key, value)
}
//结点分裂
node_new := t.splitNode(node)
if node_new != nil {
//若父结点不存在，则创建一个父节点
if parent == nil {
parent = NewIndexNode(t.width)
parent.addChild(node)
t.root = parent
}
//添加结点到父亲结点
parent.addChild(node_new)
}
}代码中使用递归调用实现数据的插入。插入时首先定位到叶子结点，然后调用 BPNode.setValue()来设置关键字：
func (node *BPNode) setValue(key int64, value interface{}) {
item := BPItem{key, value}
num := len(node.Items)
if num < 1 {
node.Items = append(node.Items, item)
node.MaxKey = item.Key
return
} else if key < node.Items[0].Key {
node.Items = append([]BPItem{item}, node.Items...)
return
} else if key > node.Items[num-1].Key {
node.Items = append(node.Items, item)
node.MaxKey = item.Key
return
}
for i:=0; i < num; i++ {
if node.Items[i].Key > key {
node.Items = append(node.Items, BPItem{})
copy(node.Items[i+1:], node.Items[i:])
node.Items[i] = item
return
} else if node.Items[i].Key == key {
node.Items[i] = item
return
}
}
}添加关键字后若数量超过：BPTree.width，则需要调用 BPNode.splitNode()来进行结点分裂处理：
func (t *BPTree) splitNode(node *BPNode) *BPNode {
if len(node.Nodes) > t.width {
//创建新结点
halfw := t.width / 2 + 1
node2 := NewIndexNode(t.width)
node2.Nodes = append(node2.Nodes, node.Nodes[halfw : len(node.Nodes)]...)
node2.MaxKey = node2.Nodes[len(node2.Nodes)-1].MaxKey
//修改原结点数据
node.Nodes = node.Nodes[0:halfw]
node.MaxKey = node.Nodes[len(node.Nodes)-1].MaxKey
return node2
} else if len(node.Items) > t.width {
//创建新结点
halfw := t.width / 2 + 1
node2 := NewLeafNode(t.width)
node2.Items = append(node2.Items, node.Items[halfw: len(node.Items)]...)
node2.MaxKey = node2.Items[len(node2.Items)-1].Key
//修改原结点数据
node.Next = node2
node.Items = node.Items[0:halfw]
node.MaxKey = node.Items[len(node.Items)-1].Key
return node2
}
return nil
}B+树的删除操作
func (t *BPTree) Remove(key int64) {
t.mutex.Lock()
defer t.mutex.Unlock()
t.deleteItem(nil, t.root, key)
}
func (t *BPTree) deleteItem(parent *BPNode, node *BPNode, key int64) {
for i:=0; i < len(node.Nodes); i++ {
if key <= node.Nodes[i].MaxKey {
t.deleteItem(node, node.Nodes[i], key)
break
}
}
if len(node.Nodes) < 1 {
//删除记录后若结点的子项代码中使用递归调用实现删除操作。删除时首先定位到叶子结点，若找到则调用 BPNode.deleteItem()来删除关键字：
func (node *BPNode) deleteItem(key int64) bool {
num := len(node.Items)
for i:=0; i < num; i++ {
if node.Items[i].Key > key {
return false
} else if node.Items[i].Key == key {
copy(node.Items[i:], node.Items[i+1:])
node.Items = node.Items[0:len(node.Items)-1]
node.MaxKey = node.Items[len(node.Items)-1].Key
return true
}
}
return false
}删除关键字后，若关键字的数量小于BPTree.halfw，则需要调用BPNode.itemMoveOrMerge()函数。BPNode.itemMoveOrMerge()函数首先获取兄弟结点，并判断是否可以借用关键字，若可以进行关键字借用，否则与兄弟结点进行合并：
func (t *BPTree) itemMoveOrMerge(parent *BPNode, node *BPNode) {
//获取兄弟结点
var node1 *BPNode = nil
var node2 *BPNode = nil
for i:=0; i < len(parent.Nodes); i++ {
if parent.Nodes[i] == node {
if i < len(parent.Nodes)-1 {
node2 = parent.Nodes[i+1]
} else if i > 0 {
node1 = parent.Nodes[i-1]
}
break
}
}
//将左侧结点的记录移动到删除结点
if node1 != nil && len(node1.Items) > t.halfw {
item := node1.Items[len(node1.Items)-1]
node1.Items = node1.Items[0:len(node1.Items)-1]
node1.MaxKey = node1.Items[len(node1.Items)-1].Key
node.Items = append([]BPItem{item}, node.Items...)
return
}
//将右侧结点的记录移动到删除结点
if node2 != nil && len(node2.Items) > t.halfw {
item := node2.Items[0]
node2.Items = node1.Items[1:]
node.Items = append(node.Items, item)
node.MaxKey = node.Items[len(node.Items)-1].Key
return
}
//与左侧结点进行合并
if node1 != nil && len(node1.Items) + len(node.Items) <= t.width {
node1.Items = append(node1.Items, node.Items...)
node1.Next = node.Next
node1.MaxKey = node1.Items[len(node1.Items)-1].Key
parent.deleteChild(node)
return
}
//与右侧结点进行合并
if node2 != nil && len(node2.Items) + len(node.Items) <= t.width {
node.Items = append(node.Items, node2.Items...)
node.Next = node2.Next
node.MaxKey = node.Items[len(node.Items)-1].Key
parent.deleteChild(node2)
return
}
}