复平面上的紧集

数学分析中我们知道$\mathbb R^n$中的紧集等价于有界闭集.而在复平面上则稍有区别，我们有：

在$\mathbb C$上的紧集等价于有界闭集,而在$\mathbb C_{\infty}$上的紧集等价于闭集.

证明    对于有界闭集的紧性的证明可以把数学分析中的证明照搬过来,这里只对$\mathbb C_{\infty}$加以说明.设$E$为$\mathbb C_{\infty}$中的闭集,我们来说明他是紧集.

如果$\infty\notin E$,那么$E$也是$\mathbb C$中的有界闭集;

而如果$\infty\in E$,那么对于$E$的任意开覆盖$\mathscr F$,必然存在某一个开集$F_{0}\in\mathscr F$使得$\infty\in F_{0}$,从而存在$r>0$使得$$B(\infty,r)\subset F_{0}$$考虑集合$$E\setminus F_{0}:E\cap F_{0}^c$$他显然是$\mathbb C$中的有界闭集.

总之不管何种情形,都相当于$\mathbb C$中的情形，这样命题的充分性自然成立.

下面来证明必要性,只需说明$\mathbb C_{\infty}$中的紧集$E$是闭的即可,为此只需说明$E^c$为开的.任取$z_{0}\in E^c$,那么对任意的$z_{1}\in E$,必然存在某个邻域$B(z_{1},r_{1})$使得$z_{0}\notin \overline{B(z_{1},r_{1})}$,当$z_{1}$遍历$E$中所有点时我们得到了$E$的一个无限开覆盖$$\mathscr F=\{B(z,r)|z\in E,r>0\}$$

且满足$z_{0}\notin \overline{B(z,r)}$.而$E$是紧的,所以可在$\mathscr F$中选出有限个$$B_{1},\cdots,B_{n}$$使得$E\subset\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}$,且$$z_{0}\notin F=\bigcup_{i=1}^{n}\overline{B_{i}}$$

这说明$z_{0}\in F^c$,显然$F$是闭的,从而$F^c$开,因此存在邻域$B(z_{0},r_{0})\subset F^c\subset E^c$,这说明$E^c$是开的,因此$E$是闭的.