[线性代数]矩阵变换在几何中的体现：缩放、翻转、切片、旋转、平移矩阵；放射变换

1.缩放矩阵

几何图示

对应公式

$$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=-x\\ & y^{\prime }=y\end{array}$$

$$\left[\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]$$

带入数据

$$\left[\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]$$

---

2.反转矩阵

几何图示

对应公式

$$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=-x\\ & y^{\prime }=y\end{array}$$

$$\left[\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]$$

3.切片（剪切）矩阵

几何图示

对应公式

$$\left[\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]$$

4.旋转矩阵

几何图示

对应公式

$${\mathbf{R}}_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

推导：

1. 取点$(1,0)\to (cos\theta ,sin\theta )$

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)\\ & \left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

得出$A=cos\theta ,C=sin\theta$

2. 取点$(0,1)\to (-sin\theta ,cos\theta )$
   $$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

得出$B=-sin\theta ,D=cos\theta$

5.平移矩阵

几何图示

对应公式

$$\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$

在此，你发现它多了一维，这说明：如果我们要对一个二维矩阵进行平移，我们需要用三维矩阵去控制它。

也就意味着，用一个三维的矩阵，不止可以将其平移，而是可以对它进行任意操作。

由此，引出了一个变换：仿射变换。

仿射变换

简单来说，仿射变换就是：线性变换”+“平移。

线性变换有三个特点：

1. 变换前是直线，变换后依然是直线；
2. 直线比例保持不变
3. 变换前是原点，变换后依然是原点
   

仿射变换有两个特点：

1. 变换前是直线，变换后依然是直线。
2. 直线比例保持不变。

可以发现，由于加入了平移，原点不变的特性消失了。

平移不是线性变换，而是仿射变换。

所有的仿射变换都可以用一个三维矩阵来表示。

• Scale
  $$\mathbf{S}\left(s_x,s_y\right)=\left(\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
• Rotation
  $$\mathbf{R}(\alpha )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
• Translation
  $$\mathbf{T}\left(t_x,t_y\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

然而，以上我们都讨论的是针对一张图片——2D图形的变换。当变为3D物体时，我们只需要加一个坐标$z$，就可以表示3D物体的放射变换，当然，“操作”这个三维矩阵的矩阵，自然就是4维的。
$$\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lllc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$$

在此引申出了一个哲学问题，要操作一个$n$维的“东西”，则需要操作者（观察者）至少处于第$n+1$维。例如：

1. 一个点处于任何一个位置，它都是一个点，它并不具有任何能表示自己的值。
2. 对于一条线，也可以理解为一个线段，这个点就有了一个坐标，也就是我们小学时学过的——横坐标（x坐标）。
3. 对于一个平面，一条线就成了向量，离开线的点也可以被一个平面发现。
4. 对于一个空间，一个平面也有了位置，两个不相交的平面可以通过空间坐标来知道彼此的位置。
5. 下一个维度，我个人的理解为时间，但由于我也是三维生物，我无法做出比喻。

设想一下，是否有一个可以在时间轴上任意穿梭的“东西”，它能知道我们宇宙中的一切呢？无论是宇宙的过去，或是宇宙未来的模样，对于它来说只是重设时间值这么一个简单的操作？