数据结构—稀疏矩阵和广义表 Ⅹ

数据结构-数组和广义表(第六章)的整理笔记，若有错误，欢迎指正。
特殊矩阵的压缩存储
共用体类型

---

• 当一个阶数较大的矩阵中的非零元素个数s相对于矩阵元素的总个数t非常小时，即s$\ll$t时，称该矩阵为稀疏矩阵(sparse matrix)。
• 稀疏矩阵和特殊矩阵相比有一个明显的差异：特殊矩阵中特殊元素的分布具有某种规律，而稀疏矩阵中特殊元素(非零元素)的分布没有规律，即具有随机性。稀疏矩阵抽象数据类型与d(d=2)维数组抽象数据类型的描述相似。

稀疏矩阵的三元组表示

• 稀疏矩阵的压缩存储方法是只存储非零元素。由于稀疏矩阵中非零元素的分布没有任何规律，所以在存储非零元素时必须同时存储该非零元素对应的行下标、列下标和元素值。这样稀疏矩阵中的每一个非零元素由一个三元组$(i,j,a_{i,j})$唯一确定，稀疏矩阵中的所有非零元素构成三元组线性表。

例： 假设有一个6×7阶稀疏矩阵A：
$$A_{6\times 7}=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 5& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 6& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 7& 4\end{array}\right]$$

则稀疏矩阵A对应的三元组可表示为：

以行为主序：	$i$	$j$	$a_{i,j}$	以列为主序：	$i$	$j$	$a_{i,j}$
(0,2,1)	0	2	1	(2,0,3)	2	0	3
(1,1,2)	1	1	2	(1,1,2)	1	1	2
(2,0,3)	2	0	3	(0,2,1)	0	2	1
(3,3,5)	3	3	5	(3,3,5)	3	3	5
(4,4,6)	4	4	6	(4,4,6)	4	4	6
(5,5,7)	5	5	7	(5,5,7)	5	5	7
(5,6,4)	5	6	4	(5,6,4)	5	6	4

• 若把稀疏矩阵的三元组线性表按顺序存储结构存储，则称为稀疏矩阵的三元组顺序表，简称为三元组表(list of 3-tuples)。三元组顺序表的数据类型声明如下：

#include
#define M <稀疏矩阵行数>
#define N <稀疏矩阵列数>
#define MaxSize <稀疏矩阵中非零元素最多的个数>
typedef int ElemType;
typedef struct
{
	int r; //行号
	int c; //列号
	ElemType d; //元素值 
}TupNode; //三元组类型

typedef struct
{
	int rows; //行号
	int cols; //列号
	int nums; //非零元素个数
	TupNode data[MaxSize];
}TSMatrix; //三元组顺序表的类型

• 其中，data域中表示的非零元素通常以行序为主序排列，即为一种下标按行有序的存储结构。

从一个二维稀疏矩阵创建其三元组表示

• 采用以行序为主序的方式扫描二维稀疏矩阵A，将其中非零的元素依次插人到三元组顺序表中。

void CreateMat(TSMatrix& t, ElemType A[M][N])
{
	t.rows = M;
	t.cols = N;
	t.nums = 0;
	for (int i = 0; i < M; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
			if (A[i][j] != 0) //只存储非零元素
			{
				t.data[t.nums].r = i;
				t.data[t.nums].c = j;
				t.data[t.nums].d = A[i][j];
				t.nums++;
			}
	}
}

三元组元素的赋值

• 该运算就是对于稀疏矩阵A执行A[i][j]=x(x通常是一个非零值)。先在三元组顺序表t中找到适当的位置k，如果该位置对应一个非零元素，将其d数据域修改为x；否则需要插入一个非零元素，将k~t.nums-1的元素均后移一个位置，再将非零元素x插入到
  t.data[k]处。

bool Value(TSMatrix& t, ElemType x, int i, int j)
{
	int k, k1;
	if (i >= t.rows || j >= t.cols) return false; //i、j参数超界，返回假
	while (k < t.nums && t.data[k].r < i) k++; //查找第i行的第一个非0元素
	while (k < t.nums && t.data[k].r == i && t.data[k].c < j) k++; //在第i行的非0元素中查找第j列
	if (t.data[k].r == i && t.data[k].c == j) t.data[k].d = x; //若存在这样的非0元素，修改非0元素的值
	else //若不存在这样的非0元素，若干元素均后移一个位置
	{
		for (k1 = t.nums - 1; k1 >= k; k1--)
		{
			t.data[k1 + 1].r = t.data[k1].r;
			t.data[k1 + 1].c = t.data[k1].c;
			t.data[k1 + 1].d= t.data[k1].d;
		}
		t.data[k].r = i; //插入非零元素x
		t.data[k].c = j;
		t.data[k].d = x;
		t.nums++; //非0元素个数增1
	}
	return true; //操作成功后返回真
}

将指定位置的元素值赋给变量

• 该运算就是对于稀疏矩阵A执行x=A[i][j]，即提取A中指定下标的元素值。先在三元组顺序表中查找指定的位置，若找到了，说明是一个非零元素，将其值赋给x；否则说明是零元素，置x=0。

bool Assign(TSMatrix& t, ElemType& x, int i, int j)
{
	int k = 0;
	if (i >= t.cols && j >= t.rows) return false;
	while (k < t.nums && t.data[k].r < i) k++;
	while (k < t.nums && t.data[k].r == i && t.data[k].c < j) k++;
	if (t.data[k].r == i && t.data[k].c == j) x = t.data[k].d;
	else x=0;
	return true;
}

输出三元组

• 该运算从头到尾扫描三元组顺序表t，依次输出元素值。

void DispMat(TSMatrix t)
{
	if (t.nums <= 0) return; //没有非零元素时直接返回
	printf("\t%d\t%d\t%d\n", t.rows, t.cols, t.nums);
	printf("\t-------------------------\n");
	for (int k = 0; k < t.nums; k++) //输出所有非0元素
		printf("\t%d\t%d\t%d\n", t.data[k].r, t.data[k].c, t.data[k].d);
}

稀疏矩阵转置后的三元组

• 该运算对于一个m×n的稀疏矩阵$A_{m\times n}$，求其转置矩阵$A_{n\times m}$，即$b_{i,j}=a_{j,i}$，其中$0\le i\le m-1，0\le j\le n-1$。采用的算法思路是A对应的三元组顺序表为t，其转置矩阵B对应的三元组顺序表为tb。按v=0,1,…,t.cols在t中找列号为v的元素，每找到一个这样的元素，将行、列交换后添加到tb中。

void TranTup(TSMatrix& t, TSMatrix& tb)
{
	int k1 = 0; //k1记录tb中的元素个数
	tb.rows = t.rows;
	tb.cols = t.cols;
	tb.nums = t.nums;
	if (t.nums <= 0) return; //没有非零元素时直接返回
	for (int v = 0; v < t.cols; v++) //当存在非零元素时执行转置，按v=0、1、...、t.cols循环
	{
		for (int k = 0; k < t.nums; k++) //k用于扫描t.data的所有元素
			if (t.data[k].c == v) //找到一个列号为v的元素
			{
				tb.data[k1].r = t.data[k].c; //将行、列交换后添加到tb中
				tb.data[k1].c = t.data[k].r;
				tb.data[k1].d = t.data[k].d;
				k1++; //tb中元素的个数增1
			}
	}
}

• 该算法中含有两重for循环，其时间复杂度为O(t.cols×t.nums)。最坏的情况是当稀疏矩阵中的非零元素个数t.nums和m×n同数量级时，时间复杂度为$O(m\times n^2)$，所以这不是一种高效的算法。

完整代码

#include
#define M 6
#define N 7
#define MaxSize 42
int A[M][N] = { {0,0,1,0,0,0,0},{0,2,0,0,0,0,0},{3,0,0,0,0,0,0,},
						 {0,0,0,5,0,0,0},{0,0,0,0,6,0,0},{0,0,0,0,0,7,4} };

typedef int ElemType;
typedef struct
{
	int r; //行号
	int c; //列号
	ElemType d; //元素值 
}TupNode; //三元组类型

typedef struct
{
	int rows; //行号
	int cols; //列号
	int nums; //非零元素个数
	TupNode data[MaxSize];
}TSMatrix; //三元组顺序表的类型

//--------三元组的操作---------
void CreateMat(TSMatrix& t, ElemType A[M][N]) //从一个二维稀疏矩阵创建其三元组表示
{
	t.rows = M;
	t.cols = N;
	t.nums = 0;
	for (int i = 0; i < M; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
			if (A[i][j] != 0) //只存储非零元素
			{
				t.data[t.nums].r = i;
				t.data[t.nums].c = j;
				t.data[t.nums].d = A[i][j];
				t.nums++;
			}
	}
} 

bool Value(TSMatrix& t, ElemType x, int i, int j) //三元组元素的赋值
{
	int k=0, k1;
	if (i >= t.rows || j >= t.cols) return false; //i、j参数超界，返回假
	while (k < t.nums && t.data[k].r < i) k++; //查找第i行的第一个非0元素
	while (k < t.nums && t.data[k].r == i && t.data[k].c < j) k++; //在第i行的非0元素中查找第j列
	if (t.data[k].r == i && t.data[k].c == j) t.data[k].d = x; //若存在这样的非0元素，修改非0元素的值
	else //若不存在这样的非0元素，若干元素均后移一个位置
	{
		for (k1 = t.nums - 1; k1 >= k; k1--)
		{
			t.data[k1 + 1].r = t.data[k1].r;
			t.data[k1 + 1].c = t.data[k1].c;
			t.data[k1 + 1].d= t.data[k1].d;
		}
		t.data[k].r = i; //插入非零元素x
		t.data[k].c = j;
		t.data[k].d = x;
		t.nums++; //非0元素个数增1
	}
	return true; //操作成功后返回真
}

bool Assign(TSMatrix& t, ElemType& x, int i, int j) //将指定位置的元素值赋给变量
{
	int k = 0;
	if (i >= t.cols && j >= t.rows) return false;
	while (k < t.nums && t.data[k].r < i) k++;
	while (k < t.nums && t.data[k].r == i && t.data[k].c < j) k++;
	if (t.data[k].r == i && t.data[k].c == j) x = t.data[k].d;
	else x=0;
	return true;
}

void DispTup(TSMatrix t) //输出三元组
{
	if (t.nums <= 0) return; //没有非零元素时直接返回
	printf("\t%d\t%d\t%d\n", t.rows, t.cols, t.nums);
	printf("\t------------------\n");
	for (int k = 0; k < t.nums; k++) //输出所有非0元素
		printf("\t%d\t%d\t%d\n", t.data[k].r, t.data[k].c, t.data[k].d);
}

void TranTup(TSMatrix& t, TSMatrix& tb) //稀疏矩阵转置后的三元组
{
	int k1 = 0; //k1记录tb中的元素个数
	tb.rows = t.rows;
	tb.cols = t.cols;
	tb.nums = t.nums;
	if (t.nums <= 0) return; //没有非零元素时直接返回
	for (int v = 0; v < t.cols; v++) //当存在非零元素时执行转置，按v=0、1、...、t.cols循环
	{
		for (int k = 0; k < t.nums; k++) //k用于扫描t.data的所有元素
			if (t.data[k].c == v) //找到一个列号为v的元素
			{
				tb.data[k1].r = t.data[k].c; //将行、列交换后添加到tb中
				tb.data[k1].c = t.data[k].r;
				tb.data[k1].d = t.data[k].d;
				k1++; //tb中元素的个数增1
			}
	}
}

//-----------矩阵的操作---------
void DispMat(ElemType A[M][N]) //输出矩阵
{
	for (int i = 0; i < M; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
			printf("\t%d ", A[i][j]);
		printf("\n");
	}
}

void DispTranMat(ElemType B[N][M]) //输出矩阵的转置
{
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < M; j++)
			printf("\t%d ", B[i][j]);
		printf("\n");
	}
}

void TranMat(ElemType B[N][M]) //矩阵转置
{
	for (int i = 0; i < N; i++)
		for (int j = 0; j < M; j++)
			B[i][j] = A[j][i];
}

void ValueMat(ElemType A[M][N], ElemType x, int i, int j)  //修改矩阵对应位置的值
{
	for (int m = 0; m < N; m++)
		for (int n = 0; n < M; n++)
			if (m == i && n == j) A[m][n] = x;
}

int main()
{
	TSMatrix t, tb;
	ElemType B[N][M], x;
	int i, j;
	CreateMat(t,A);
	printf("输出稀疏矩阵A：\n");
	DispMat(A);
	printf("\n输出稀疏矩阵A的三元组：\n");
	DispTup(t);
	TranMat(B);
	printf("\n输出稀疏矩阵A的转置矩阵B：\n");
	DispTranMat(B);
	TranTup(t, tb);
	printf("\n输出稀疏矩阵A的转置矩阵B的三元组：\n");
	DispTup(tb);
	x = 8, i = 3, j = 2;
	printf("\n三元组元素的赋值(A[%d][%d])=%d：\n", i, j, x);
	Value(t, x, i, j);
	DispTup(t);
	i = 4, j = 4;
	Assign(t, x, i, j);
	printf("\n矩阵中A[%d][%d]的值为：%d", i, j, x);
	return 0;
}

程序分析

• 从以上可以看出，稀疏矩阵采用三元组顺序表存储后，当非零元素个数较少时会在一定程度上节省存储空间。如果用一个二维数组直接存储稀疏矩阵，此时具有随机存取特性，但采用三元组顺序表存储后会丧失随机存取特性。

稀疏矩阵的十字链表表示

• 十字链表(orthogonal list)是稀疏矩阵的一种链式存储结构(相应的，前面的三元组顺序表是稀疏矩阵的一种顺序存储结构)。

例： 假设有一个3×4阶稀疏矩阵B：
$$B_{3\times 4}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right]$$

• 创建稀疏矩阵B的十字链表的步骤如下：

1. 对于稀疏矩阵中每个非零元素创建一个结点存放它，包含元素的行号、列号和元素值。这里有4个非零元素，创建4个数据结点。
2. 将同一行的所有结点构成一个带头结点的循环单链表，行号为i的单链表的头结点为hr[i]。这里有3行，对应有3个循环单链表，头结点分别为hr[0]~hr[2]。hr[i](0≤i≤2)头结点的行指针指向行号为i的单链表的首结点。
3. 将同一列的所有结点构成一个带头结点的循环单链表，列号为j的单链表的头结点为hd[j]。这里有4列，对应有4个循环单链表，头结点分别为hd[0]~hd[3]。hd[j](0≤j≤3)头结点的列指针指向列号为j的单链表的首结点。

• 由此创建了3+4=7个循环单链表，头结点的个数也为7个。实际上，可以将hr[i]和hd[j]合起来变为h[i]，即h[i]同时包含有行指针和列指针。h[i](0≤i≤2)头结点的行指针指向行号为i的单链表的首结点，h[i](0≤i≤3)头结点的列指针指向列号为i的单链表的首结点，这样头结点的个数为MAX{3,4}=4个。

4. 再将所有头结点h[i](0≤i≤3)连起来构成一个带头结点的循环单链表，这样需要增加一个总头结点hm，总头结点中存放稀疏矩阵的行数和列数等信息。

稀疏矩阵B的十字链表：

• 每个非零元素就好比在一个十字路口，由此称为十字链表。
• 在稀疏矩阵的十字链表中包含两种类型的结点，一种是存放非零元素的数据结点，另一种是头结点。
  
• 为了方便算法设计，将两种类型的结点统一起来，设计稀疏矩阵的十字链表的结点类型MaxNode如下：

#include
#define M<稀疏矩阵行数>
#define N<稀疏矩阵列数>
#define Max (M>N?M:N) //三目运算符，取矩阵行列的较大者
typedef int ElemType;
typedef struct MatNode
{
	int row; //行号或者行数
	int col; //列号或者列数
	struct MatNode* right, * down; //行、列指针
	union //共用体
	{
		ElemType value; //非零元素值
		struct MatNode* link; //指向下一个头结点
	}tag;
};

• 从中可以看出，在十字链表中行、列头结点是共享的，而且采用头结点数组存储，通过头结点h[i]的h[i]->right指针可以逐行搜索行下标为i的所有非零元素，h[i]->down指针可以逐列搜索列下标为i的所有非零元素。每一个非零元素同时包含在两个链表中，方便算法中行方向和列方向的搜索，因而大大降低了算法的时间复杂度。
• 对于一个m×n的稀疏矩阵，总的头结点个数为MAX{m,n}+1。

---

广义表

广义表的定义

• 广义表(generalized table)是线性表的推广，是有限个元素的序列，其逻辑结构采用括号表示法为：GL=(a₁,a₂,…,aᵢ,…,aₙ)。其中，n表示广义表的长度，即广义表中所含元素的个数，n≥0。若n=0，称为空表。aᵢ为广义表的第i个元素，如果aᵢ属于原子类型(原子类型是不可分解的)，称为广义表GL的原子(atom)；如果aᵢ又是一个广义表，称为广义表GL的子表(subgeneralized table)。
• 广义表具有以下特性：

1. 广义表中的数据是有相对次序的
2. 广义表的长度定义为最外层包含元素的个数
3. 广义表的深度定义为所含括弧的重数，其中原子的深度为0，空表的深度为1
4. 广义表可以共享，一个广义表可以被其他广义表共享，这种共享广义表称为再入表
5. 广义表可以是一个递归的表，一个广义表可以是自己的子表，这种广义表称为递归表

例：$A=(((a,b,(),c),d),e,((f),g))$

• 表头是：$((a,b,(),c),d)$，表尾是$((f),g)$
• 长度(红框的部分)是：3，深度(括弧的重数，蓝色点的地方)是：4
  以上广义表可以看成$A=(B,C,D)$，A中含有3个元素：B、C、D；
• 其中，B又是一个子表，可以看成$B=(E,F)$，E又是一个子表，有三个原子(a,b,c)以及一个空表()；F只含有单个原子d
• C是含有单个原子e
• D又是一个子表，可以看成$D=(G,H)$，G是一个只有单个原子f的表，H只含单个原子g。

广义表的存储结构

• 广义表是一种递归的数据结构，因此很难为每个广义表分配固定大小的存储空间，所以其存储结构只好采用链式存储结构。
  从上图可以看到，广义表有两类结点，一类为圆圈结点，在这里对应子表；另一类为方形结点，在这里对应原子。
  为了使子表和原子两类结点既能在形式上保持一致，又能进行区别，可采用以下结构形式：
  

• 其中，tag域为标志字段，用于区分两类结点，即由tag决定是使用结点的sublist还是data域：

1. 若tag=0，表示该结点为原子结点，则第2个域为data，存放相应原子元素的信息；
2. 若tag=1，表示该结点为表/子表结点，则第2个域为sublist，存放相应表/子表中第一个元素对应结点的地址。

• link域存放同一层的下一个元素对应结点(兄弟结点)的地址，当没有兄弟结点时，其link域为NULL。

广义表的结点类型GLNode声明如下：

typedef struct lnode
{
	int tag; //结点类型标识
	union
	{
		ElemType data; //存放原子值
		struct lnode* sublist; //指向子表的指针
	}val;
	struct lnode* link; //指向下一个元素
}GLNode; //广义表的结点类型