【总结】后缀数组

1、基本定义。

子串：字符串S的子串r[i...j]。

后缀：以i开始的后缀表示为Suffix(i)。

大小比较：按字典序。

后缀数组：SA是一个一维数组。将S的后缀从小到大排序后，后缀的开头位置顺次放入SA。(SA[i]=j：排在第i个的是Suffix(j))

名词数组：Rank[i]是Suffix(i)在后缀中从小到大排列的名次。(Rank[i]=j：Suffix(i)排在第j个)

后缀数组和名次数组为互逆运算：设Rank[i]=j，则SA[j]=i。

 

2、倍增算法。

目的：设字符串长度为n，在O(nlog₂n)求出SA数组和Rank数组。

 1 int wa[MAXN],wb[MAXN],wv[MAXN],ws[MAXN];

 2 inline bool cmp(int *r,int a,int b,int len)

 3 {

 4     return r[a]==r[b]&&r[a+len]==r[b+len];

 5 }

 6 void SA(char *r,int *sa,int n,int m)

 7 {

 8     //r为字符串数组，sa为后缀数组，n=strlen(s)+1，m为max(r[i])+1。

 9     int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t;

10 

11     //对长度为1的字符串基数排序。

12     for(i=0;i<m;i++)

13         ws[i]=0;//清零。

14     for(i=0;i<n;i++)

15         ws[x[i]=r[i]]++;//统计各相同字符的个数。

16     for(i=1;i<m;i++)

17         ws[i]+=ws[i-1];//统计小于等于i的字符共有多少个。

18     for(i=n-1;i>=0;i--)

19         sa[--ws[x[i]]]=i;//小于等于r[i]共有ws[x[i]]个，因此r[i]排在第ws[x[i]]个。

20 

21     for(j=p=1;p<n;j<<=1,m=p)//p是第二关键字为0的个数，j是当前比较的字符串长度。

22     {

23         //对第二关键字基数排序。

24         //y[s]=t表示排在第s个的起点在t，即y[s]对第二关键字排序，但y[s]的值指向第一关键字的位置。

25         for(p=0,i=n-j;i<n;i++)

26             y[p++]=i;//在n-j之后的第二关键字都为0，排在前面，即第p个。

27         for(i=0;i<n;i++)

28         {

29             if(sa[i]>=j)//如果排在第i个的字符串起点在sa[i]，满足sa[i]>=当前字符串长度j。

30                 y[p++]=sa[i]-j;//对于sa[i]-j为起点的第二关键字排在前面。

31         }

32 

33         //对第一关键字基数排序。

34         for(i=0;i<m;i++)

35             ws[i]=0;//清零。

36         for(i=0;i<n;i++)

37             ws[wv[i]=x[y[i]]]++;//第二关键字排在第i个的起点在y[i]，x[y[i]]就是y[i]指向的字符，ws进行个数统计。

38         for(i=1;i<m;i++)

39             ws[i]+=ws[i-1];//统计字符小于等于i的个数。

40         for(i=n-1;i>=0;i--)//wv[i]是排在第i个第二关键字对应的第一关键字。

41             sa[--ws[wv[i]]]=y[i];//y[i]就是第一关键字的位置。

42         for(t=x,x=y,y=t,x[sa[0]]=0,p=i=1;i<n;i++)//交换x，y的地址，x保存当前rank值，y为前一次rank值。

43             x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;

44         //若rank[sa[i-1]]=rank[sa[i]]，则必然sa[i-1]+j没有越界，因为不可能有相等的后缀。

45     }

46 }

 

3、后缀数组的应用。

height数组：height[i]=Suffix(sa[i-1])和Suffix(sa[i])的最长公共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。

h数组：h[i]=height[rank[i]]=Suffix(i)和在它前一名的后缀的最长公共前缀。

 

h数组的性质：h[i]>=h[i-1]-1。

证明：设Suffix(k)是排在Suffix(i-1)前一名的后缀，则它们的最长公共前缀就是h[i-1]。那么Suffix(k+1)将排在Suffix(i)的前面。

a、若Suffix(k)与Suffix(i-1)的最长公共前缀<=1，即h[i-1]<=1，h[i]>=0显然成立。

b、若Suffix(k)与Suffix(i-1)的最长公共前缀>=2，Suffix(k)与Suffix(i-1)同时去掉首字符得到Suffix(k+1)与Suffix(i)，则Suffix(k+1)排在Suffix(i)的前面，且Suffix(k+1)与Suffix(i)的最长公共前缀=h[i-1]-1。设Suffix(t)是排在Suffix(i)前一名的后缀，则它们的最长公共前缀就是h[i]，那么Suffix(t)=Suffix(k+1)或者Suffix(t)排在Suffix(k+1)前面，则h[i]>=h[i-1]-1。

 

 1 int rank[MAXN],height[MAXN];

 2 void Height(int *r,int *sa,int n)

 3 {

 4     int i,j,k;

 5     for(i=1;i<=n;i++) 

 6         rank[sa[i]]=i;

 7     for(i=k=0;i<n;height[rank[i++]]=k)

 8         for(k?k--:0,j=sa[rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);

 9     //若k>0，从k-1开始找最长公共前缀。

10     return;

11 }

 

1、不可重叠最长重复子串：【POJ】1743 Musical Theme

2、可重叠的k 次最长重复子串：【POJ】3261 Milk Patterns

3、不相同的子串的个数：【SPOJ】705 New Distinct Substrings

4、最长回文子串：【URAL】1297 Palindrome

5、重复次数最多的连续重复子串：【SPOJ】687 Repeats、【POJ】3693 Maximum repetition substring

6、最长公共子串：【HDU】1403 Longest Common Substring

7、长度不小于k 的公共子串的个数：【POJ】3415 Common Substrings

8、不小于k 个字符串中的最长子串：【POJ】3294 Life Forms

9、每个字符串至少出现两次且不重叠的最长子串：【SPOJ】220 Relevant Phrases of Annihilation

其他：

【UVa】11512 GATTACA

【UVa】760 DNA Sequencing

【UVa】1223 Editor

【FOJ】2075 Substring