多目标线性规划

多目标线性规划是多目标最优化理论的重要组成部分，由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性，要求使所有的目标均达到最优解是不可能的，因此多目标规划问题往往只是求其有效解。

目前求解多目标规划有着两个和两个以上的目标函数，且目标函数和约束条件全是线性函数，其数学模型表示为：

目标函数：

约束条件：

理想点法

对于多目标规划问题，先求解 r 个单目标问题。设其最优解，称为值域中的一个理想点。于是，在期望的某种度量之下，寻求距离最近的作为近似解。一种最直接的方法就是最短距离理想点法，构造评价函数。

然后极小化，即求解

并将它的最优解作为约束条件下的“最优解”。

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【例】

利用理想点法解：

解分别对单目标求解

求解最优解的MATLAB程序为

f=[3,-2];
A=[2,3;2,1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)

结果输出为

x =

     0
     6


fval =

   -12

即最优解为12。

求解最优解的MATLAB程序为

f=[-4,-3];
A=[2,3;2,1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)

求解结果为

x =

     3
     4


fval =

   -24

即最优解为24。

于是得到理想点：（12，24）

目标函数转变为

MATLAB程序如下

f='((-3*x(1)+2*x(2)-12)^2+(4*x(1)+3*x(2)-24)^2)^(1/2)';
A=[2,3;2,1];
b=[18;10];
x0=[1;1];
lb=[0;0];
[x,fval]=fmincon(f,x0,A,b,[],[],lb,[])

求解结果

x =

    0.5268
    5.6488


fval =

    5.4478

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