数据结构与算法——7. 递归：递归的概念与实现

一、递归（ Recursion）的概念

递归是一种解决问题的方法，其精髓在于将问题分解为规模更小的相同问题，持续分解，直到问题规模小到可以用非常简单直接的方式来解决。

递归算法最显著的特征就是：在算法流程中调用自身。

1. 递归的简单应用：数列求和

问题

给定一个列表，返回所有数的和。

使用循环算法解决

def list_sum(num_list):
    the_sum = 0
    for i in num_list:
        the_sum = the_sum + i
       return the_sum

使用递归算法解决

• 分解过程：

  假设列表为[1, 3, 5, 7, 9]。我们把列表求和这个大问题分解为两个数相加的小问题，如同下面这样（注意括号的添加）：

  $$total=1+(3+5+7+9)$$

  $$total=1+(3+(5+7+9))$$

  $$total=1+(3+(5+(7+9)))$$

  $$total=1+(3+(5+(7+(9))))$$

  在最后一次分解后中，括号内只剩下了一个9，就没必要继续分解下去了，我们的分解过程就算完成了。

  我们将上面的分解过程归纳一下，可以得到这样一个公式：数列的和=“首个数”+“余下数列”。而“余下数列”的和依旧可以使用这个公式来计算，这样一直分解，直到不能分解为止。

• 求和过程：

  分解完成后，我们的计算就十分简单了。只需要对每一对括号内的数两两相加，最后就能得到整个数列的和：

  $$total=(1+(3+(5+(7+9))))$$

  $$total=(1+(3+(5+16)))$$

  $$total=(1+(3+21))$$

  $$total=(1+24)$$

  $$total=25$$

• 代码实现：

  def list_sum(num_list):
      # 只剩一个元素，直接返回
     if len(num_list) == 1:
          return num_list[0]
      # 否则，计算“首个数”+“余下数列”
     else:
          return num_list[0] + list_sum(num_list[1:])  # 调用自身，传入“余下数列”
  

2. 递归程序的执行过程

递归程序分为调用和返回两个阶段，先不停的调用自身（分解问题），之后一层层地将结果返回（计算答案）：

调用阶段（从上往下读）：

返回阶段（从下往上读）：

3. 递归三定律

1. 递归算法必须有一个基本结束条件，这个条件也叫作递归出口（最小规模的问题直接解决）。

   比如，上面数列求和问题中，当数列分解到只剩一个元素的时候，直接返回该元素，停止后续分解。

2. 递归算法必须能改变状态向基本结束条件演进（问题规模逐渐减小）。

   比如，上面数列求和问题中，数列会被分解的越来越小，数列大小慢慢向“1”靠近，而数列大小为“1”，就是该算法的基本结束条件。

3. 递归算法必须调用自身（使用自身解决规模减小后的相同问题）。

二、递归调用的实现

1. 递归与栈的关系

由递归程序的执行过程，我们得知递归程序的调用是一层层向下的，而返回过程则恰好相反，一层层向上。

换个说法：最先一次的函数调用在最后返回，而最后一次的函数调用则是最先返回。这就跟栈的“后进先出”次序是一样的。因此，在实现递归调用的时候，通常就会使用栈来保存每一次调用的现场数据：

• 当一个函数被调用的时候，系统会把调用时的现场数据压入到系统调用栈，压入栈的现场数据称为栈帧。
• 当函数返回时，要从调用栈的栈顶取得返回地址，恢复现场，弹出栈帧，按地址返回。

2. Python对递归深度（递归调用次数）的限制

python对递归深度是有限制的，因为系统调用栈容量有限。超出限制会抛出RecursionError异常。所以，一定不要忘记设置递归出口！！！

python默认的递归深度为1000，我们可以通过内置的sys模块获取和调整最大递归深度：

import sys
# 获取
sys.getrecursionlimit()  # 返回：1000

# 设置
sys.setrecursionlimit(3000)