空间点、线和面位置关系(C++小学期)

程序设计小学期还要复习高数+线代，刺激

题目(2020/07/07)

$第8天：空间点、线和面$

实现三维解析几何中的点、直线和平面类

1. 能够实现直线的不同创建方式（例如，两个点确定一条直线，两个相交的平面确定一条直线，空间曲线的点斜式）和平面的不同创建方式（例如，三个不共线的点确定一个平面，一个点和一个法向量确定一个平面）；
2. 能够计算相应的距离：两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离；
3. 能够计算空间直线的单位方向向量（长度为1），空间平面的单位法向量 （长度为1）；
4. 能够判断点和线的关系，线和线的关系，点和平面的关系，线和平面的关
   系，平面和平面的关系。

提示：

1.点、直线和平面分别用类来封装，每个类的数据为该表示该类需要的参
数，例如，对于空间平面的一般方程为ax+by+cz+d=0，那么私有数据成 员为a,b,c和d；
2.空间直线和平面的不同创建方式定义为对应类的成员函数；
3.空间点和点、点和直线、点和平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面位置关系的判断定义为一般的函数；
4.要在main函数中对上述功能进行调用和验证。

直线方面

两点式:

设两点为$A\left(x_1,x_2,x_3\right)$和$B\left(x_1,x_2,x_3\right)$，那么有方程为
$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$
一般式:
$$\{\begin{array}{l}{\Pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ {\Pi }_2:A_{2}X+B_{2}Y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$
点斜式:

方向向量：$S=\left(m,n,p\right)$

固定点：$M_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$

有：$M_{0}M=\left(x-x_0,y-y_0,z-z_0\right)$

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

平面方面

标准式：

固定点：$M_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$

$$A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$$
$$Ax+By+Cz-A{x}_0-B{y}_0-C{z}_0=0$$
两点间距离公式 (送分 )
$$d=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}$$
求点到线距离： （仅知道线上两点）

海伦公式：
$$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$$
公式描述：

公式中a，b，c分别为三角形三边长，p为半周长，S为三角形的面积。

点到面距离：
$$d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
空间直线的单位方向向量：
$$e=\frac{AB}{\left|AB\right|}$$
空间平面的单位法向量:
$$\left(\frac{a}{t},\frac{b}{t}\frac{c}{,t}\right)\left(t=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right)$$
已知三个点求平面方程：

ps. 此图片来源于C++里已知三个三维点，求他们的平面方程，怎么做？

判断一些关系

点线位置关系：

海伦公式：

$$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$$

公式描述：

公式中a，b，c分别为三角形三边长，p为半周长，S为三角形的面积。

线线位置关系：
$$\frac{e_{x1}}{e_{x2}}=\frac{e_{y1}}{e_{y2}}=\frac{e_{z1}}{e_{z2}}=1\left(线线重合\right)$$
$$\frac{e_{x1}}{e_{x2}}=\frac{e_{y1}}{e_{y2}}=\frac{e_{z1}}{e_{z2}}\ne 1\left(线线平行\right)$$
$$其他：相交且不平行$$
点面位置关系：

点到面距离：
$$d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
线面位置关系：
$$e_1\cdot n_1+e_2\cdot n_2+e_3\cdot n_3=0\left(线面平行\right)$$
$$\frac{e_1}{n_1}=\frac{e_2}{n_2}=\frac{e_3}{n_3}=0\left(线面垂直\right)$$
面面位置关系：
$$\frac{n_{x_1}}{n_{x_2}}=\frac{n_{y_1}}{n_{y_2}}=\frac{n_{z_1}}{n_{z_2}}\ne 0\left(面面平行\right)$$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{n}_{x_1}=n_{x_2}\\ n_{y_1}=n_{y_2}\\ n_{z_1}=n_{z_2}\end{array}\\ \left(面面垂直\right)\end{array}$$

给出点线面的类定义：

class point
{
	public:
		double x,y,z;   
		void input(){cin>>x>>y>>z;};
		void output(){cout<<"该点为："<<"("<<x<<","<<y<<","<<z<<")"<<endl;};
		void dist();//求两点之间的距离
};
class line:public point//继承 
{
	public:
		int m,n,p;//点斜式方向向量分量
    	int x,y,z;//点斜式点的坐标分量 
    	point i,j;//每一条线由两个点确定 
    	void Two_point_formula();//两点式
    	void Intersection_plane();
    	void P_oblique_type();
    	void D_point_to_line();
    	void L_vector();
};
class plane
{
    public:
    	double a,b,c,d;  
    	void setm();//赋值
    	void points_form_plane();//三点成面
    	void dot_method();//点法式
    	void showm();//方程式
    	void D_point_to_plane();//点到平面的距离
    	void n();//单位法向量
};

求两点之间的距离函数：

void point::dist()//求两点之间的距离
{
	double l;
	point m,n;
	cout<<"请输入第一个点的坐标(x1,y1,z1): "<<endl;
	m.input(); m.output();
	cout<<"请输入第二个点的坐标(x2,y2,z2): "<<endl;
	n.input(); n.output();
	l=sqrt((n.x-m.x)*(n.x-m.x)+(n.y-m.y)*(n.y-m.y)+(n.z-m.z)*(n.z-m.z));
	cout<<"两点之间的距离为= "<<l;
}

点到线(由两个点来表示直线)的距离

void line::D_point_to_line()//点到线(由两个点来表示直线)的距离
{//海伦公式 
	point y;
	point d1,d2;
	y.input();y.output();
	d1.input();d1.output();
	d2.input();d2.output();
    double i1,i2,i3;
    double p,s,l;
    i1=sqrt((d1.x-d2.x)*(d1.x-d2.x)+(d1.y-d2.y)*(d1.y-d2.y)+(d1.z-d2.z)*(d1.z-d2.z));
    i2=sqrt((d1.x-y.x)*(d1.x-y.x)+(d1.x-y.x)*(d1.y-y.y)+(d1.z-y.z)*(d1.z-y.z));
    i3=sqrt((d2.x-y.x)*(d2.x-y.x)+(d2.y-y.y)*(d2.y-y.y)+(d2.z-y.z)*(d2.z-y.z));
    p=(i1+i2+i3)/2;
    s=sqrt(p*(p-i1)*(p-i2)*(p-i3));
    l=2*s/i1;
    cout<<l<<endl;
}

其他靠自己了

英语学习：

平面：plane 输入:input,输出:output,距离：dist(distance)
点到线的距离:D_point_to_line(Distancefrom point to line)
点到平面的距离:D_point_to_plane(Distancefrom point to plane)
直线单位方向向量:L_vector(Linearunit direction vector)
点线位置关系：P_line_position(Point line position relationship)
线线位置关系：Line_position(Line position relation)

点面位置关系：point_surface_Position(Positionrelation of point and surface)
线面位置关系：line_surface_Position(Positionrelation of line and surface)
面面位置关系：Surface_position(Surface position relation)

点斜式:P_oblique_type(Pointoblique type)
点法式:dot_method(dotmethod)
三点成面:points_form_plane(Threepoints form a plane)
两点式:Two_point_formula(Twopoint formula)
相交平面:Intersection_plane(Intersectionplane)