【Column Generation思考-02】|从对偶的角度理解Cutting Stock Problem【更新版本】
【Column Generation思考-01】|从对偶的角度理解
- Cutting Stock Problem简介
- Cutting Stock Problem的Column generation reformulation
- Cutting Stock Problem的小例子+Python调用Gurobi求解
- 直观解释CG求解Cutting Stock Problem对偶问题的含义
-
- CG求解Cutting Stock Problem的原问题
- 其他问题的对偶视角解释
-
- 桌椅生产问题
- 最短路问题
- 参考文献
本文致谢：感谢【运小筹读者2群】的小伙伴们与我就该话题展开的热烈而有用的讨论。以及幸新杰老师提供的有用的信息。
Cutting Stock Problem是运筹优化中一个非常重要的问题。该问题与一个非常强大的算法框架【Column Generation】直接相关。本节我们从对偶的角度，来理解Cutting Stock Problem。
另外，很多人懂的Column Generation的过程，但是也许有些读者并不了解Column Generation迭代过程中，问题的Lower bound如何计算。因为一些读者在Column Generation的过程中，仅仅关注子问题的reduced cost是否为负，不需要去关心每一步Column Generation的迭代中，全局的Upper bound和Lower bound。因为在CG结束迭代的时候，CG reformulation得到的全局Lower bound恰好等于当前RMP的线性松弛RLMP的LP relaxation解。也就是此时 global LB = z RLMP \text{global LB} = z_{\text{RLMP}} global LB=zRLMP
所以大家不关心也没关系。不过，知道Lower bound如何计算，会让你对整个算法理解更上一层楼，这篇推文，我们就与大家共同推导一下Column Generation求解Cutting Stock Problem的过程中，Lower bound如何计算。
Cutting Stock Problem简介
参考文献：
@article{Berberler2011,
title = {A software for the one-dimensional cutting stock problem},
journal = {Journal of King Saud University - Science},
volume = {23},
number = {1},
pages = {69-76},
year = {2011},
issn = {1018-3647},
doi = {https://doi.org/10.1016/j.jksus.2010.06.009},
url = {https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1018364710000741},
author = {Murat Erşen Berberler and Urfat Nuriyev and Ahmet Yıldırım},
}
下料问题
一家企业拥有一批原料棒材，他要将这些棒材进行切割加工成为规定尺寸的产品，然后卖给顾客。这家企业需要设计最优的棒材切割方案，以最小的原材料消耗，生产出规定尺寸的产品，以满足顾客的需求。
如上图（例子来自文献Berberler et al., 2011），一家公司有长度为 L L L的原料棒材。其客户需要的产品尺寸和需求量分别为
| 产品规格 | 需求量 |
|---|---|
| 2 L 3 \frac{2L}{3} 32L | 1 |
| L 2 \frac{L}{2} 2L | 1 |
| L 3 \frac{L}{3} 3L | 4 |
| L 4 \frac{L}{4} 4L | 2 |
下面我们给出该问题的一般模型。首先引入下面的参数和决策变量：
参数
- L L L: 原料棒材长度；
- K \mathcal{K} K: 可用棒材的集合，以 k k k索引；
- I \mathcal{I} I: 需求产品的集合， i ∈ I i\in \mathcal{I} i∈I表示第 i i i种需求的index；
- d i d_i di: 第 i i i种需求的需求量；
- h i h_i hi: 第 i i i种产品的长度。
决策变量
- y k y_k yk: 第 k k k根棒材是否被切割；
- x i k x_{ik} xik: 第 k k k根棒材使用的切割方案中，包含的第 i i i种产品的数量；
基于此，Cutting Stock Problem可以被建模为下面的整数规划模型：
min ∑ k ∈ K y k s . t . ∑ k ∈ K x i k ⩾ d i , ∀ i ∈ I , ∑ i ∈ I h i x i k ⩽ L y k , ∀ k ∈ K , x i k , y k ∈ { 0 , 1 } , ∀ i ∈ I , ∀ k ∈ K . \begin{aligned} \min \quad & \sum_{k \in \mathcal{K}} y_k && \\ s.t. \quad & \sum_{k \in \mathcal{K}} x_{ik} \geqslant d_i, && \forall i \in \mathcal{I}, \\ & \sum_{i \in \mathcal{I}} h_ix_{ik} \leqslant Ly_k, && \forall k \in \mathcal{K}, \\ & x_{ik}, y_k \in \{0, 1\} , && \forall i \in \mathcal{I}, \forall k \in \mathcal{K}. \end{aligned} mins.t.k∈K∑ykk∈K∑xik⩾di,i∈I∑hixik⩽Lyk,xik,yk∈{0,1},∀i∈I,∀k∈K,∀i∈I,∀k∈K.
其中
- 约束1： 表示所有切割得到的产品，必须满足每一种需求；
- 约束2： 每一根棒材切割产生的产品的长度，必须小于单根棒材的总长度。这个是保证切割方案可行性。如果棒材 k k k不被使用，则其不会得到任何产品。
Cutting Stock Problem的Column generation reformulation
Cutting Stock Problem的上述模型求解效率并不会特别高。但是可以通过Column generation达到求解效率的显著提升。提出Gomory割的大佬Gomory在IBM的时候，与另一个大佬Gilmore 共同提出了著名的Column Generation（参加下面文献）。我们目前不做特别详细的描述，直接给出Column Generation求解Cutting Stock Problem的模型。
参考文献：
@article{gilmore1961linear,
title={A linear programming approach to the cutting-stock problem},
author={Gilmore, Paul C and Gomory, Ralph E},
journal={Operations research},
volume={9},
number={6},
pages={849–859},
year={1961},
publisher={INFORMS}
}
主问题 （Master Problem, MP）
假设所有的可行切割方案均已知，我们令其为 P P P，引入下面的参数和决策变量
参数
- a i p a_{ip} aip: 第 p p p种切割方案中，第 i i i种需求产品的数量。
决策变量
- x p x_p xp: 执行第 p p p种切割方案的棒材的数量。
min ∑ p ∈ P x p s . t . ∑ p ∈ P a i p x p ⩾ d i , ∀ i ∈ I , x p ⩾ 0 and integer , ∀ p ∈ P . \begin{aligned} \min \quad & \sum_{p \in P} x_p && \\ s.t. \quad & \sum_{p \in P} a_{ip} x_p \geqslant d_i, && \forall i \in \mathcal{I}, \\ & x_{p} \geqslant 0 \text{ and integer} , && \forall p \in P. \end{aligned} mins.t.p∈P∑xpp∈P∑aipxp⩾di,xp⩾0 and integer,∀i∈I,∀p∈P.
当需求产品的个数较少时，也就是 ∣ I ∣ |\mathcal{I}| ∣I∣较小时， P P P可以比较容易被穷举出来。但是 ∣ I ∣ |\mathcal{I}| ∣I∣较大， L L L较大时，穷举出 P P P中的所有元素，就不再简单。因此我们可以使用Column Generation的方法，找出那些比较promising的切割方案，加入到主问题中，摒弃那些unpromising的切割方案。promising指的是，将这个切割方案加入到主问题中，会使得主问题的目标函数下降。在Column Generation中，就是这个切割方案的reduced cost小于0。
因此，在Column Generation迭代中，我们只是考虑了一部分已经得到的切割方案。由于一个切割方案对应一个决策变量，也就是对应约束矩阵中的一列，因此一个切割方案又叫做一列。我们的主问题，由于只考虑了 P P P的一个子集，我们用 P ′ P' P′表示CG过程中主问题包含的列。基于 P ′ P' P′的主问题模型，又被称之为Restricted Master Problem（RMP，限制性主问题）。为了得到对偶变量，我们将其松弛，松弛后的RMP我们称其为RLMP。RLMP的数学模型如下：
min ∑ p ∈ P ′ x p s . t . ∑ p ∈ P ′ a i p x p ⩾ d i , ∀ i ∈ I , x p ⩾ 0 , ∀ p ∈ P ′ . \begin{aligned} \min \quad & \sum_{p \in P'} x_p && \\ s.t. \quad & \sum_{p \in P'} a_{ip} x_p \geqslant d_i, && \forall i \in \mathcal{I}, \\ & x_{p} \geqslant 0 , && \forall p \in P'. \end{aligned} mins.t.p∈P′∑xpp∈P′∑aipxp⩾di,xp⩾0,∀i∈I,∀p∈P′.
我们用 π \pi π表示RLMP的约束的对偶变量。
Column Generation的子问题就是找到reduced cost为负的列。这一过程也叫pricing。Column Generation求解Cutting Stock Problem的子问题就是找到一个切割方案，并且其reduced cost为负。我们这里可以尝试找到具有最负检验数的方案。因此模型可以写为
min 1 − ∑ i ∈ I a i π i s . t . ∑ i ∈ I h i a i ⩽ L a i ⩾ 0 and integer , ∀ i ∈ I . \begin{aligned} \min \quad & 1 - \sum_{i \in \mathcal{I}} a_i \pi_i && \\ s.t. \quad & \sum_{i \in \mathcal{I}} h_i a_{i} \leqslant L \\ & a_{i} \geqslant 0 \text{ and integer} , && \forall i \in \mathcal{I}. \end{aligned} mins.t.1−i∈I∑aiπii∈I∑hiai⩽Lai⩾0 and integer,∀i∈I.
Cutting Stock Problem的小例子+Python调用Gurobi求解
我们考虑下面的小例子：
| 棒材 | Value |
|---|---|
| 棒材 | 20 |
| 产品长度 | 9和6 |
| 需求量 | 20个6英寸的产品和 15个9英寸的产品 |
6: 20
9: 15
我们穷举出所有可行的切割方案，建立等价的MP。
min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 6 英 寸 3 x 1 + 0 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 1 x 5 + 0 x 6 ⩾ 20 9 英 寸 0 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + 1 x 6 ⩾ 15 x 1 , x 2 , x 3 + x 3 + x 3 + x 3 ⩾ 0 and integer \begin{aligned} \begin{matrix} \min & x_1 & + &x_2 &+ & x_3&+ & x_4&+ & x_5&+ & x_6& \\ 6英寸 & 3 x_1 & + &0x_2 &+ & x_3& + & 2x_4&+ & 1x_5&+ & 0x_6& \geqslant 20 \\ 9英寸 & 0x_1 & + &2x_2 &+ & x_3&+ & 0x_4&+ & 0x_5&+ & 1x_6& \geqslant 15 \\ & x_1, &&x_2, && x_3&+ & x_3&+ & x_3&+ & x_3& \geqslant 0 \text{ and integer} \end{matrix} \end{aligned} min6英寸9英寸x13x10x1x1,+++x20x22x2x2,+++x3x3x3x3++++x42x40x4x3++++x51x50x5x3++++x60x61x6x3⩾20⩾15⩾0 and integer
将其松弛成线性规划：
min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 6 英 寸 3 x 1 + 0 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 1 x 5 + 0 x 6 ⩾ 20 9 英 寸 0 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + 1 x 6 ⩾ 15 x 1 , x 2 , x 3 + x 3 + x 3 + x 3 ⩾ 0 \begin{aligned} \begin{matrix} \min & x_1 & + &x_2 &+ & x_3&+ & x_4&+ & x_5&+ & x_6& \\ 6英寸 & 3 x_1 & + &0x_2 &+ & x_3& + & 2x_4&+ & 1x_5&+ & 0x_6& \geqslant 20 \\ 9英寸 & 0x_1 & + &2x_2 &+ & x_3&+ & 0x_4&+ & 0x_5&+ & 1x_6& \geqslant 15 \\ & x_1, &&x_2, && x_3&+ & x_3&+ & x_3&+ & x_3& \geqslant 0 \end{matrix} \end{aligned} min6英寸9英寸x13x10x1x1,+++x20x22x2x2,+++x3x3x3x3++++x42x40x4x3++++x51x50x5x3++++x60x61x6x3⩾20⩾15⩾0
并且调用Gurobi求解LMP（MP的线性松弛）：
from gurobipy import *
model = Model('CG')
x = {}
for i in range(1, 7):
x[i] = model.addVar(lb=0, ub=GRB.INFINITY, vtype=GRB.CONTINUOUS, name = 'x_' + str(i))
model.setObjective(x[1] + x[2] + x[3] + x[4] + x[5] + x[6], GRB.MINIMIZE)
model.addConstr(3*x[1] + 0*x[2] + x[3] + 2*x[4] + 1*x[5] + 0*x[6] >= 20)
model.addConstr(0*x[1] + 2*x[2] + x[3] + 0*x[4] + 0*x[5] + 1*x[6] >= 15)
model.optimize()
for key in x.keys():
print('x[{}] = {}'.format(key, x[key].x))
运行结果
Solved in 0 iterations and 0.01 seconds
Optimal objective 1.416666667e+01
x[1] = 6.666666666666667
x[2] = 7.5
x[3] = 0.0
x[4] = 0.0
x[5] = 0.0
x[6] = 0.0
可见线性松弛的解为14.17，是个小数解。
我们再将其设置为整数，直接求解MP本身，结果为
x[i] = model.addVar(lb=0, ub=GRB.INFINITY, vtype=GRB.INTEGER, name = 'x_' + str(i))
Out:[]
Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 1.500000000000e+01, best bound 1.500000000000e+01, gap 0.0000%
x[1] = 7.0
x[2] = 8.0
x[3] = -0.0
x[4] = -0.0
x[5] = -0.0
x[6] = -0.0
可以看到，下界14.1，上界15，所以15就是最优解了，因为最优解一定是一个整数。
因此，这里就可以得到一个结论，也许很多小伙伴并不了解。
列生成的formulation: 如果列出了所有的方案(列), 求解最终的LMP一定会得到整数解吗？
- 答案： 不一定。
即使完整地写出了MP，最后求解LMP，得到的解可能是小数，也可能是整数。
但是，如果是小数，这个RLMP提供的下界也是个与最优解差别在1以内的小数。比如，LMP的解是 14.16 14.16 14.16，但是最优解一定是整数，那就最少是 15 15 15。结果我们把决策变量设置成整数以后，得到的解正好是 15 15 15。因此，也就相当于Gap = 0了。
另外，我们也可以看看最终的LMP和其对偶问题的解是否相同：
- 原问题：
min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 6 英 寸 3 x 1 + 0 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 1 x 5 + 0 x 6 ⩾ 20 9 英 寸 0 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + 1 x 6 ⩾ 15 x 1 , x 2 , x 3 + x 3 + x 3 + x 3 ⩾ 0 \begin{aligned} \begin{matrix} \min & x_1 & + &x_2 &+ & x_3&+ & x_4&+ & x_5&+ & x_6& \\ 6英寸 & 3 x_1 & + &0x_2 &+ & x_3& + & 2x_4&+ & 1x_5&+ & 0x_6& \geqslant 20 \\ 9英寸 & 0x_1 & + &2x_2 &+ & x_3&+ & 0x_4&+ & 0x_5&+ & 1x_6& \geqslant 15 \\ & x_1, &&x_2, && x_3&+ & x_3&+ & x_3&+ & x_3& \geqslant 0 \end{matrix} \end{aligned} min6英寸9英寸x13x10x1x1,+++x20x22x2x2,+++x3x3x3x3++++x42x40x4x3++++x51x50x5x3++++x60x61x6x3⩾20⩾15⩾0
每一列： 一种可行的切割方案
每一行：一种棒材的需求必须要被满足
- 对偶问题
max 20 y 1 + 15 y 2 3 y 1 + 0 y 2 ⩽ 1 0 y 1 + 2 y 2 ⩽ 1 1 y 1 + 1 y 2 ⩽ 1 2 y 1 + 0 y 2 ⩽ 1 1 y 1 + 0 y 2 ⩽ 1 0 y 1 + 1 y 2 ⩽ 1 y 1 , y 2 ⩾ 0 \begin{aligned} \begin{matrix} \max & 20y_1 & + &15y_2 & \\ & 3 y_1 & + &0y_2 &\leqslant 1 \\ &0y_1 & + &2y_2 &\leqslant 1 \\ &1y_1 & + &1y_2 &\leqslant 1 \\ &2y_1 & + &0y_2 &\leqslant 1 \\ &1y_1 & + &0y_2 &\leqslant 1 \\ &0y_1 & + &1y_2 &\leqslant 1 \\ &y_1, & &y_2 &\geqslant 0 \end{matrix} \end{aligned} max20y13y10y11y12y11y10y1y1,+++++++15y20y22y21y20y20y21y2y2⩽1⩽1⩽1⩽1⩽1⩽1⩾0
我们用Python调用Gurobi求解LMP的对偶，即求解Dual LMP，代码如下：
from gurobipy import *
model = Model('Dual LMP')
y = {}
for i in range(1, 3):
y[i] = model.addVar(lb=0, ub=GRB.INFINITY, vtype=GRB.CONTINUOUS, name = 'y_' + str(i))
model.setObjective(20 * y[1] + 15 * y[2], GRB.MAXIMIZE)
model.addConstr(3*y[1] + 0*y[2] <= 1)
model.addConstr(0*y[1] + 2*y[2] <= 1)
model.addConstr(1*y[1] + 1*y[2] <= 1)
model.addConstr(2*y[1] + 0*y[2] <= 1)
model.addConstr(1*y[1] + 0*y[2] <= 1)
model.addConstr(0*y[1] + 1*y[2] <= 1)
model.optimize()
for key in y.keys():
print('y[{}] = {}'.format(key, y[key].x))
设置为小数，求解结果如下
Solved in 0 iterations and 0.01 seconds
Optimal objective 1.416666667e+01
y[1] = 0.3333333333333333
y[2] = 0.5
设置为整数，求解结果如下
Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective -0.000000000000e+00, best bound -0.000000000000e+00, gap 0.0000%
y[1] = 0.0
y[2] = 0.0
课件，Dual LMP在设置成整数的时候，最优解居然为0。
因此这里我们可以稍微做一点讨论，我们考虑下面四个模型。
Primal IP
min c x s . t . A x ⩾ b x ⩾ 0 and integer \begin{aligned} \min \quad & cx \\ s.t. \quad & Ax \geqslant b \\ & x \geqslant 0 \text{ and integer} \end{aligned} mins.t.cxAx⩾bx⩾0 and integer
将IP 松弛 得到Primal LP
Primal LP
min c x s . t . A x ⩾ b x ⩾ 0 \begin{aligned} \min \quad & cx \\ s.t. \quad & Ax \geqslant b \\ & x \geqslant 0 \end{aligned} mins.t.cxAx⩾bx⩾0
将Primal LP对偶，得到Dual LP。
Dual LP
max b y s . t . y A ⩽ c y ⩾ 0 \begin{aligned} \max \quad & by \\ s.t. \quad & yA \leqslant c \\ & y \geqslant 0 \end{aligned} maxs.t.byyA⩽cy⩾0
将Dual LP设置为整数规划，得到Dual IP。
Dual IP
max b y s . t . y A ⩽ c y ⩾ 0 and integer \begin{aligned} \max \quad & by \\ s.t. \quad & yA \leqslant c \\ & y \geqslant 0 \text{ and integer} \end{aligned} maxs.t.byyA⩽cy⩾0 and integer
我们可以得到以下关系：
z Dual IP ⩽ z Dual LP ⩽ z Primal LP ⩽ z Primal IP z_{\text{Dual IP}} \leqslant z_{\text{Dual LP}} \leqslant z_{\text{Primal LP}}\leqslant z_{\text{Primal IP}} zDual IP⩽zDual LP⩽zPrimal LP⩽zPrimal IP
在强对偶成立的时候
z Dual LP = z Primal LP z_{\text{Dual LP}} = z_{\text{Primal LP}} zDual LP=zPrimal LP
但是，我们想知道 z Dual IP z_{\text{Dual IP}} zDual IP和 z Primal IP z_{\text{Primal IP}} zPrimal IP的差距究竟有多大？
根据上述例子，我们可知
z Primal IP = 15 z Dual IP = 0 \begin{aligned} &z_{\text{Primal IP}} = 15 \\ &z_{\text{Dual IP}} = 0 \end{aligned} zPrimal IP=15zDual IP=0
差距也太大了。所以 z Dual IP z_{\text{Dual IP}} zDual IP和 z Primal IP z_{\text{Primal IP}} zPrimal IP的关系，还是真的不好评判。
好了，这个小分享就到此为止。
我们来进入今天的重要内容：如何直观解释Cutting Stock Problem的对偶问题？
其实笔者一直认为，每一个原问题的对偶问题，都应该有比较合理的直观解释。它会向我们提供个其他视角的建模理念或者思路。
直观解释CG求解Cutting Stock Problem对偶问题的含义
CG求解Cutting Stock Problem的原问题
模型的含义含义：
- 原问题：
min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 6 英 寸 3 x 1 + 0 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 1 x 5 + 0 x 6 ⩾ 20 9 英 寸 0 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + 1 x 6 ⩾ 15 x 1 , x 2 , x 3 + x 3 + x 3 + x 3 ⩾ 0 \begin{aligned} \begin{matrix} \min & x_1 & + &x_2 &+ & x_3&+ & x_4&+ & x_5&+ & x_6& \\ 6英寸 & 3 x_1 & + &0x_2 &+ & x_3& + & 2x_4&+ & 1x_5&+ & 0x_6& \geqslant 20 \\ 9英寸 & 0x_1 & + &2x_2 &+ & x_3&+ & 0x_4&+ & 0x_5&+ & 1x_6& \geqslant 15 \\ & x_1, &&x_2, && x_3&+ & x_3&+ & x_3&+ & x_3& \geqslant 0 \end{matrix} \end{aligned} min6英寸9英寸x13x10x1x1,+++x20x22x2x2,+++x3x3x3x3++++x42x40x4x3++++x51x50x5x3++++x60x61x6x3⩾20⩾15⩾0
每一列：一种可行的切割方案需要被执行的次数，或者多少根棒材使用这种切割方案
每一行：一种棒材的需求必须要被满足
原问题直观的含义就是：
比如这个生产厂家就是【A公司】
- 原问题：A公司的客户下了一批订单，要6英寸的产品20个，9英寸的棒材15个。A公司需要向外面购买棒材，来生产这些需求。其中，每一根棒材的成本为
1美元。当然，问题里其实是假设他的棒材已经买好了的。不过我们其实可以看做是他还没买呢，他先做个计划，然后决策出来最少的原材料成本之后，再去购买卷钢。- 原问题的目标函数，就是最小化购买卷钢的成本，它等于 min ∑ r ∈ R c r ⋅ x r \min \sum_{r \in R} c_r \cdot x_r min∑r∈Rcr⋅xr，只不过这里每一根卷钢的购买成本都是一样的，都是
1美元。并且满足购买的卷钢可以生产出规定量需求的产品。当然了， min ∑ r ∈ R ⋅ x r \min \sum_{r \in R} \cdot x_r min∑r∈R⋅xr就代表买的用于执行各个切割方案的钢材的总成本。
- 其对偶问题的思考角度，就可以
从外购的视角来重新思考这个问题。首先我们给出对偶问题的形式（这里直接以案例为例给出对偶问题）。
- 对偶问题的模型如下：
max 20 y 1 + 15 y 2 3 y 1 + 0 y 2 ⩽ 1 0 y 1 + 2 y 2 ⩽ 1 1 y 1 + 1 y 2 ⩽ 1 2 y 1 + 0 y 2 ⩽ 1 1 y 1 + 0 y 2 ⩽ 1 0 y 1 + 1 y 2 ⩽ 1 y 1 , y 2 ⩾ 0 \begin{aligned} \begin{matrix} \max & 20y_1 & + &15y_2 & \\ & 3 y_1 & + &0y_2 &\leqslant 1 \\ &0y_1 & + &2y_2 &\leqslant 1 \\ &1y_1 & + &1y_2 &\leqslant 1 \\ &2y_1 & + &0y_2 &\leqslant 1 \\ &1y_1 & + &0y_2 &\leqslant 1 \\ &0y_1 & + &1y_2 &\leqslant 1 \\ &y_1, & &y_2 &\geqslant 0 \end{matrix} \end{aligned} max20y13y10y11y12y11y10y1y1,+++++++15y20y22y21y20y20y21y2y2⩽1⩽1⩽1⩽1⩽1⩽1⩾0
从外购的视角，上述对偶问题直观的含义就可以解释为：
对偶问题仍然可以看做是【A公司做决策】
- 【A公司】觉得，公司可以将这些生产任务可以外包，公司不自己生产。如果外包的话，公司需要付给承担外包生产任务的企业相应的加工费，
这个加工费就是生产一个6英寸产品的单价和生产一个9英寸产品的价格(其实就是心理价格)。或者可以理解为：公司就直接买现成的产品，即：向其他公司购买现成的产品，然后转手交付给客户。比如，你向我买，我再去向别人买，我就是个中间商，哈哈。- 如果这个【A公司】想做个中间商的角色，他想买现成的产品交差，他需要决策：
我最多可以允许多少的预算，能够使得我买现成的交差比我自己生产要划算。所以他要 max \max max自己最多允许花多少钱，因为这样他好掂量掂量哪种方式更划算。其中， y 1 y_1 y1和 y 2 y_2 y2就是他给自己定的6英寸和9英寸产品的心理价位。这些心理价位必须满足：
每一种切割方案下，我购买现成的产品花的钱，比直接买原材料棒材自己生产要节省。
如果买现成的产品花的钱比我自己直接买卷钢自己生产花的多，那我不如自己买卷钢自己生产了。- 所以就有
3 ⋅ y 1 + 0 ⋅ y 2 ⩽ 1 3\cdot y_1 + 0\cdot y_2 \leqslant 1 3⋅y1+0⋅y2⩽1
这个约束。其余约束的解释类似。
综上所述，对偶问题的目标函数和决策变量的直观含义如下：
- 目标函数： max 20 ⋅ y 1 + 15 ⋅ y 2 \max \,\, 20\cdot y_1 + 15\cdot y_2 max20⋅y1+15⋅y2，表示，最大化自己直接购买现成产品交差(或者外包给其他方生产)的总成本，其中，每单位产品的价格，是按照心理价位来计算。也就是外包/外购的时候，一单位的6英寸的产品的价格 y 1 y_1 y1以及一单位的9英寸的产品的价格 y 2 y_2 y2。之所以 max \max max，
是因为想找到一个自己的最大开销的边界，找到这个边界之后，我就可以决定，现成的产品价格在多少以内，我去直接买现成的产品更划算。现成的产品价格超过什么范围之后，我就自己生产更划算。- 约束： 3 ⋅ y 1 + 0 ⋅ y 2 ⩽ 1 3\cdot y_1 + 0\cdot y_2 \leqslant 1 3⋅y1+0⋅y2⩽1，表示：我外购现成的产品花费的钱，要比我自己买卷钢生产这些产品的成本要小。否则，我不如自己购买卷钢，自己生产。其中： 3 ⋅ y 1 + 0 ⋅ y 2 3\cdot y_1 + 0\cdot y_2 3⋅y1+0⋅y2就是外购现成的产品花费的钱； 1 1 1就是自己买卷钢自己生产的成本。
如果我要决定外购，我必须要保证，外购对我来讲更省钱。- 比如上述代码，找到了对偶问题 max \max max的最优解 y 1 = 0.333 ; y 2 = 0.5 y_1 = 0.333; \\y_2 = 0.5 y1=0.333;y2=0.5，目标函数值 Z = 14.1667 Z=14.1667 Z=14.1667。这说明，我们外购的最大预算为 Z = 14.1667 Z=14.1667 Z=14.1667，如果外购现成产品花的钱超过 Z = 14.1667 Z=14.1667 Z=14.1667，则说明我们就亏了，我们不如买卷钢自己生产。并且对应的，临界的6英寸的产品和9英寸的产品的外购心理单位价格为 y 1 = 0.333 ; y 2 = 0.5 y_1 = 0.333; y_2 = 0.5 y1=0.333;y2=0.5，如果超过其他生产商的现成的产品的价格超过这个数字，我们就不外购，我们就自己买卷钢自己生产更划算。如果说现成的产品价格低于这个数字，那说明我们可以直接购买现成的产品进行交付，因为直接外购更划算。
其他问题的对偶视角解释
桌椅生产问题
原问题：
- 目标函数： 最大化总收入，得到每种产品的生产量
- 约束1：
木材的使用量<=总的可用量： 生产桌子用的木材+生产椅子用的木材<=总的木材可用量- 约束2：
钢材的使用量<=总的可用量： 生产桌子用的钢材+生产椅子用的钢材<=总的钢材可用量
原问题：
- 目标函数： 最小的出租收入：决策每种原材料的出租价格
- 约束1：
生产一张桌子的原材料卖的总钱数>=自己生产赚的钱- 约束2：
生产一把椅子的原材料卖的总钱数>=自己生产赚的钱
总结：生产问题
- 原问题变量：
生产多少- 原问题约束：
可用资源上限- 对偶问题变量：
出租价格- 对偶题约束：
出租收入大于等于自己生产的收入
最短路问题
另外一个例子就是最短路问题(具体模型推导本公众号之前的推文)。
总结：最短路问题
- 原问题变量：
路径x i j x_{ij} xij- 原问题约束：
路径连贯性约束- 对偶问题变量：
到达每个点的最短距离π i \pi_i πi- 对偶题约束：
一条弧上的终点的最短距离-起点的最短距离<= d[i,j]
参考文献
- [1]. Berberler M E, Nuriyev U, Yıldırım A. A software for the one-dimensional cutting stock problem[J]. Journal of King Saud University-Science, 2011, 23(1): 69-76.
- [2]. Gilmore P C, Gomory R E. A linear programming approach to the cutting-stock problem[J]. Operations research, 1961, 9(6): 849-859.
- [3]. 刘兴禄, 熊望祺, 臧永森, 段宏达, 曾文佳, 陈伟坚. 运筹优化常用模型、算法及案例实战：Python+Java实现. 清华大学出版社（即将出版）.