Matlab在线性代数中的应用
Matlab在线性代数中的应用
- 求向量组的线性相关组
- 求解齐次方程组
- 求解非齐次方程组
求向量组的线性相关组
例：求下列矩阵列向量的一个最大无关组：
A = [ 1 − 2 1 0 2 − 2 4 2 6 − 6 2 − 1 0 2 3 3 3 3 3 4 ] A=\left[ \begin{matrix} 1& -2& 1& 0& 2\\ -2& 4& 2& 6& -6\\ 2& -1& 0& 2& 3\\ 3& 3& 3& 3& 4\\ \end{matrix} \right] A=⎣ ⎡1−223−24−13120306232−634⎦ ⎤
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format rat
a=[1,-2,-1,0,2;
-2,4,2,6,-6;
2,-1,0,2,3;
3,3,3,3,4];
b=rref(a)
记矩阵 A 的五个列向量依次为 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 α 5 , 则 α 1 , α 2 , α 3 是列向量的一个最大无关组 \text{记矩阵}A\text{的五个列向量依次为}\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4\alpha _5,\text{则}\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3\text{是列向量的一个最大无关组} 记矩阵A的五个列向量依次为α1,α2,α3,α4α5,则α1,α2,α3是列向量的一个最大无关组
求解齐次方程组
{ x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 − x 4 = 0 x 1 − x 2 − 4 x 3 − 3 x 4 = 0 \begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+x_4=0\\ 2x_1+x_2-2x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-4x_3-3x_4=0\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+2x3+x4=02x1+x2−2x3−x4=0x1−x2−4x3−3x4=0
a=[1 2 2 1
2 1 -2 -2
1 -1 -4 -3]
b=null(a,"r")
通解为： k 1 [ 2 , − 2 , 1 , 0 ] T + k 2 [ 5 / 3 , − 4 / 3 , 0 , 1 ] T , k 1 , k 2 ∈ R \text{通解为：}k_1\left[ 2,-2,1,0 \right] ^T+k_2\left[ 5/3,-4/3,0,1 \right] ^T\,\,,k_1,k_2\in \mathrm{R} 通解为：k1[2,−2,1,0]T+k2[5/3,−4/3,0,1]T,k1,k2∈R
求解非齐次方程组
例1：
{ x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 3 = 2 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2 x 2 − x 3 = − 1 \begin{cases} x_1+x_2=1\\ x_1+x_3=2\\ x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+2x_2-x_3=-1\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+x2=1x1+x3=2x1+x2+x3=0x1+2x2−x3=−1
即 x 1 = 17 6 ， x 2 = − 13 6 ， x 3 = − 2 3 \text{即}x_1=\frac{17}{6}\text{，}x_2=-\frac{13}{6}\text{，}x_3=-\frac{2}{3} 即x1=617，x2=−613，x3=−32
format rat
a=[1 1 0
1 0 1
1 1 1
1 2 -1]
b=[1; 2; 0; -1]
x1=a\b
x2=pinv(a)*b%方法二
例2：
{ x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0 x 1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 1 x 1 − x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 1 2 \begin{cases} x_1-x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-3x_4=1\\ x_1-x_2-2x_3+3x_4=-\frac{1}{2}\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−x2−x3+x4=0x1−x2+x3−3x4=1x1−x2−2x3+3x4=−21
a=[1 -1 -1 1 0
1 -1 1 -1 1
1 -1 -2 3 -1/2]
b=rref(a)
该方程组有解，并有：
{ x 1 = x 2 + x 4 + 1 2 x 3 = 2 x 4 + 1 2 \begin{cases} x_1=x_2+x_4+\frac{1}{2}\\ x_3=2x_4+\frac{1}{2}\\ \end{cases} {x1=x2+x4+21x3=2x4+21
从而该方程组的通解为：
[ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] T = k 1 [ 1 , 1 , 0 , 0 ] T + k 2 [ 1 , 0 , 2 , 1 ] T + [ 1 2 , 0 , 1 2 , 0 ] T \left[ x_1,x_2,x_3,x_4 \right] ^T=k_1\left[ 1,1,0,0 \right] ^T+k_2\left[ 1,0,2,1 \right] ^T+\left[ \frac{1}{2},0,\frac{1}{2},0 \right] ^T [x1,x2,x3,x4]T=k1[1,1,0,0]T+k2[1,0,2,1]T+[21,0,21,0]T