【数模/数学规划模型】

声明：文章参考数学建模清风的网课编写。

数学规划

• 什么是数学规划？
  数学规划研究：在给定的条件下（约束条件），如何按照某一横梁指标（目标函数）来寻求计划、管理工作的最优方案。
  即：求目标函数在一定约束条件下的极值问题。

• 数学规划的一般形式
  一般形式：min or max f(x) s.t 不等式约束
  目标函数：
  $$minz=6x_1+3x_2+4x_3$$
  约束条件：
  $$\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2-3x_3⩽80\\ x_1+x_2+x_3=120\\ x_1⩾30\\ 0⩽x_2⩽50\\ x_3⩾20\end{array}$$

• 数学规划的分类
  数学规划问题主要有线性规划，非线性规划和整数规划等。

线性规化

当目标函数和约束条件都为线性表达式时，那么此时的数学规划问题就是线性规划问题。1947年，美国数学家丹齐格提出解决数学规划问题的算法–单纯形。
目标函数：
$$minz=6x_1+3x_2+4x_3$$
约束条件：
$$\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2-3x_3⩽80\\ x_1+x_2+x_3=120\\ x_1⩾30\\ 0⩽x_2⩽50\\ x_3⩾20\end{array}$$

使用matlab求解线性规划问题

• matlab中线性规划的标准型
  $$min{C}^{T}X\left(C=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\\ c_n\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_n\end{array}\right),n是决策变量的个数\right)$$
  $$S.t.\{\begin{array}{c}Ax\le b(不等式约束)\\ Aeqx=beq(等式约束)\\ lb\le x\le ub(上下界约束)\end{array}$$

matlab求解线性规划问题时，对求解问题的输入加以格式上的规定。比如:

1. 所求解的目标函数必须是最小值，为此如果得到一个求解最大值的目标函数时，需对目标函数乘-1，此时求解到的最小值再乘-1即为最大值。
   $$maxz⟺-min-z$$
2. 所有的不等式必须为小于等于类型，此时如果你有一个大于等于类型的不等式时，可以对不等式两端同时乘-1以促使符号取反。例如以下两个公式是等价的：
   $$\begin{gathered} 4x_1+6x_2-7x_3\ge 17 \\ -4x_1-6x_2+7x_3\le -17 \end{gathered}$$
   如果只有大于或小于时，只能采取加上或减去一个非常小的值，来得到符合精度要求的解
   $$4x_1-7x_2+x_3<4\Rightarrow 4x_1-7x_2+x_3\le 4-0.001$$
   例1，例如这样一道包含了所有特殊条件的题目：
   $$\begin{gathered} maxz=2x_1+3x_2-5x_3 \\ S.t\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=7\\ 2x_1-5x_2+x_3\ge 10\\ x_1+3x_2+x_3\le 12\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array} \end{gathered}$$
   其标准形式为：
   $$maxz⟺-min-z$$$$c=\left[\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 5\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{c}-25-1\\ 121\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}-10\\ 12\end{array}\right],Aeq=\left[\begin{array}{c}111\end{array}\right],beq=\left[\begin{array}{c}7\end{array}\right],lb=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

• 使用matlab命令求解线性规划问题

  [x, fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, X0)
  

1. 返回值x：表示取得最优值的一组x取值;
2. 返回值fval：目标函数的最优值;
3. 参数除X0外同上，X0表示迭代求解的初始值，一般不需要额外给出;
4. 对于不存的约束条件，使用[]占位;
5. 对于无上下界约束的变量可以使用+inf和-inf分别表示无上界和无下界。

例如：
$$\begin{gathered} maxz=2x_1+3x_2-5x_3 \\ S.t\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=7\\ 2x_1-5x_2+x_3\ge 10\\ x_1+3x_2+x_3\le 12\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array} \end{gathered}$$

matlab命令为：

% 目标函数系数
c = [-2; -3; 5];
% 不等式约束数
A = [-2 5 -1;
     1 3 1];
b = [-10; 12];

% 等式约束
Aeq = [1 1 1];
beq = 7;

% 上下界约束
lb = [0; 0; 0];

[x, fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb);
fval = -fval;

求解结果为：

Optimal solution found.

x =
    6.4286
    0.5714
         0

fval =
   14.5714

非线性规化

当目标函数或约束条件为非线性表达式时，那么此时的数学规划问题就是非线性规划问题。非线性规划问题的求解通常困难得多，目前没有通用的算法。大多数算法采用选定决策变量的初始值后，通过搜索的方式寻求最优解。

目标函数：
$$minz=x_1+3x_2+4x_3$$
约束条件：
$$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2-x_3⩽80\\ x_1+7x_2+x_3=120\\ 0⩽x_2^2⩽50\\ x_1,x_3⩾20\end{array}$$

使用matlab求解非线性规划问题

• matlab中非线性规划的标准型
  $$minf(x)$$$$S.t.\{\begin{array}{c}Ax\le b,Aeqx=beq(线性约束)\\ C\left(x\right)\le 0,Ceq(x)=0(非线性约束)\\ lb\le x\le ub(上下界约束)\end{array}$$

1. 其中C(x)和Ceq(x)分别为非线性不等式约束和非线性等式约束。
2. C(x)和Ceq(x)的右侧必须为零。当不为零时需要进行移项。
3. 所求解的目标函数必须是最小值，为此如果得到一个求解最大值的目标函数时，需对目标函数乘-1，此时求解到的最小值再乘-1即为最大值。
   $$maxz⟺-min-z$$
4. 所有的不等式必须为小于等于类型，此时如果你有一个大于等于类型的不等式时，可以对不等式两端同时乘-1以促使符号取反。例如以下两个公式是等价的：
   $$\begin{gathered} 4x_1+6x_2-7x_3\ge 17 \\ -4x_1-6x_2+7x_3\le -17 \end{gathered}$$
   如果只有大于或小于时，只能采取加上或减去一个非常小的值，来得到符合精度要求的解。
   $$4x_1-7x_2+x_3<4\Rightarrow 4x_1-7x_2+x_3\le 4-0.001$$
   例2,例如：
   $$\begin{gathered} minf(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+7 \\ S.t.\{\begin{array}{c}{x}_1^2-x_2+x_3^2\ge 0\\ x_1+x_2^2+x_3^2\le 20\\ -x_1-x_2^2+2=0\\ x_2+2x_3^2=3\\ x_1+x_2+x_3\le 5\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array} \end{gathered}$$
   其标准形式为：
   $$S.t.\left(\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{c}111\end{array}\right],b=5,Aeq=[],beq=[],\\ C(x)=\left[\begin{array}{c}-x_1^2+x_2-x_3^2\\ x_1+x_2^2+x_3^2-20\end{array}\right],Ceq=\left[\begin{array}{c}-x_1-x_2^2+2\\ x_2+2x_3^2-3\end{array}\right],\\ lb=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\end{array}\right)$$

• 使用matlab命令求解非线性规划
  matlab求解非线性规划的函数

  [x, val] = fmincon(@fun, X0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, @nonfun, option)
  

1. @fun表示目标函数， 需要单独编写一个m文件储存目标函数。

   function f = func(x)
   	f = x(1) ^ 2 + x(2) + ... - x(n) ^ 4
   end
   

   其中，f为返回值，x为变量是一个向量。

2. X0为初始值。不同于线性规划，非线性规划中的初始值选取非常重要，因为线性规划求解出的结果只是一个局部最优解。要想使结果尽可能优可以采用以下几个方法：(1)给定不同的初始值，在里面找最优解;(2)先使用蒙特卡洛得到一个解，并使用这个解作为初始值求解。

3. A, b, Aeq, beq, lb, ub同上。

4. @nonlfun表示非线性约束条件函数。

   function [c, ceq] = nonlfunc(x)
   	c = [非线性不等式约束1,非线性不等式约束2...非线性不等式约束n]
   	c = [非线性等式约束1,非线性等式约束2...非线性等式约束n]
   end
   

5. 当有的约束条件不存在时使用[]占位即可。

6. option 求解算法的选择。matlab一共提供了4中不同的选项，各有各的实应条件以及优缺点，不妨使用不同的算法依次求解选取最优值。四种算法依次为：interior-point内点法(不主动修改选项的话为默认值)、sqp序列二次规划法、active-set有效集法和trust-region-reflective信赖域反射算法。
   更换求解算法的方法：

   option = optimoption('fmincon', 'Algorithm', '选择算法')
   % 可供选择的算法有 interior-point、sqp、active-set、trust-region-reflective
   

对于例2，matlab求解代码为：
func.m(目标函数)

% 目标函数 

function f = func(x)
    f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 7;
end

nonlfunc.m(非线性约束条件)

% 非线性约束条件

function [c,ceq] = nonlfunc(x)
    c = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2;
         x(1) + x(2)^2 + x(3)^2 - 20];
    ceq = [-x(1) - x(2)^2 + 2;
           x(2) + 2*x(3)^2 - 3];
end

求解代码：

% 线性不等式约束
A = [1 1 1];
b = 5;

% 上下界约束
lb = [0 0 0]';

% 初始值选取 注意选取的初始值越合理(符合约束)，得到的值越优求解速度越快
x0 = [1 1 1];

[x, fval] = fmincon(@func, x0, A, b, [], [], lb, [], @nonlfunc);

求解结果：

x =
    0.5522    1.2033    0.9478
    
fval =
    9.6511

可以看出针对此题的初始值的选取还是不错的，但是初始值选取运气并不总是非常好。需要采取一定的策略。例如，采用蒙特卡洛模拟：

% 随机组数
n = 10000000;

% 根据后两个约束条件进一步压缩随机数范围
x1 = unifrnd(0, 5, n, 1); % 生成n组[0, 5]之间的随机数
x2 = unifrnd(0, 5, n, 1);
x3 = unifrnd(0, 5, n, 1);

fmin = +inf;

for i = 1 : n
    xx = [x1(i) x2(i) x3(i)];
    if (xx(1)^2 - xx(2) + xx(3)^2 >=0 && xx(1) + xx(2)^2 + xx(3)^2 <=20)
        result = xx(1)^2 + xx(2)^2 + xx(3)^2 + 7;
        if result < fmin
            fmin = result;
            x0 = xx;
        end
    end
end

disp(x0); % 模拟得到的一组初值为0.0601    0.0043    0.0380
[x, fval] = fmincon(@func, x0, A, b, [], [], lb, [], @nonlfunc);

整数规化

整数规划是一类变量为整数的数学规划问题。分为整数线性规划和整数非线性规划。目前，所流行的整数规划算法往往只能求解整数线性规划。

使用matlab求解整数规划问题–线性

[x, fval] = intlinprog(c, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub)

1. intlinprog不能指定初始值；
2. 加入了intcon参数可以指定哪些参数必须是整数。例如决策变量有三个[x1, x2, x3]，当intcon = [1, 3]表示决策变量1和决策变量3必须是整数。

例如：
$$\begin{gathered} maxz=2x_1+3x_2-5x_3 \\ S.t\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=7\\ 2x_1-5x_2+x_3\ge 10\\ x_1+3x_2+x_3\le 12\\ x_1,x_2,x_{3\in Z}\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array} \end{gathered}$$
matlab程序：

% 目标函数系数
c = [-2; -3; 5];
% 不等式约束数
A = [-2 5 -1;
     1 3 1];
b = [-10; 12];

% 等式约束
Aeq = [1 1 1];
beq = 7;

% 上下界约束
lb = [0; 0; 0];

[x, fval] = intlinprog(c, [1, 2, 3], A, b, Aeq, beq, lb);
fval = -fval;

求解结果：

x =
    7.0000
         0
         0
         
fval =
   14.0000

0-1规化

0-1规划是整数规划的特例，0-1规划的变量取值只能为0或1.

使用matlab求解01规划问题–线性

[x, fval] = intlinprog(c, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub)

与求解线性整数规划相同，只需要修改上下界约束为：
$$lb=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],ub=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$

使用整数线性01规划求解01背包问题（背包容量为30）：

物品	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
重量	6	3	4	5	1	2	3	5	4	2
价值	540	200	180	350	60	150	280	450	320	120

matlab求解程序：

% 目标函数系数
c = [-540; -200; -180; -350; -60; -150; -280; -450; -320; -120];
% 不等式约束数
A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2];
b = 30;

intcon = 1:10;

% 上下界约束
lb = zeros(10, 1);
ub = ones(10, 1);

[x, fval] = intlinprog(c, intcon, A, b, [], [], lb, ub);
fval = -fval;

求解结果：

x =
     1
     1
     0
     1
     0
     1
     1
     1
     1
     1
     
fval =
        2410