数据结构与算法--时空复杂度

一、算法效率的度量方法

事后统计方法:这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

但这种方法显然是有很大缺陷的:
一必须依据算法事先编制好测试程序,通常需要花费大量时间和精力，完了发觉测试的是糟糕的算法，岂不是很亏
一不同测试环境差别不是一般的大!

事前分析估算方法:在计算机程序编写前,依据统计方法对算法进行估算。经过总结，我们发现一个高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

-1．算法采用的策略，方案

-2．编译产生的代码质量

-3．问题的输入规模
-4．机器执行指令的速度

注意点：

我们不关心编写程序所用的语言是什么, 也不关心这些程序将跑在什么样的计算机上, 我们只关心它所实现的算法。
这样，不计那些循环索引的递增和循环终止条件、变量声明、打印结果等操作。最终,在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。
 我们在分析一个算法的运行时间时,重要的是把基本操作的数量和输入模式关联起来。

函数的渐近增长: 给定两个函数 f(n)和 g(n)，如果存在一个整数N,使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么,我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

结论：判断一个算法的效率时,函数中的常数和其他次要项常常可以忽略,而更应该关注主项（最高项)的阶数。

二、算法时间复杂度

算法时间复杂度的定义：在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作:T(n)= o(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

 这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

显然,由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(1),O(n),O(n^2)。

 推导大O阶方法

一用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
一在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

一如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
一得到的最后结果就是大0阶。

栗子：

 

 

 

 三、算法的空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作:
S(n)=O(f(n))，其中,n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
通常，我们都是用“时间复杂度”来指运行时间的需，,是用“空间复杂度”指空间需求。
当直接要让我们求“复杂度”时，通常指的是时间复杂度。