测天之梯——2010年爱因斯坦讲座公众数学演讲《宇宙距离之梯》
测天之梯——2010年爱因斯坦讲座公众数学演讲《宇宙距离之梯》
测天之梯
——2010年爱因斯坦讲座公众数学演讲《宇宙距离之梯》
Terrence Tao（陶哲轩）/演讲；欧阳顺湘/译注
图：2010年爱因斯坦讲座陶哲轩在演讲 （http://www.ams.org/meetings/lectures/einstein-2010，Reed Hutchinson）
译序
陶哲轩，加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学教授。他于1975年生于澳大利亚阿德莱德（Adelaide），父母均是来自中国的移民。他主要研究调和分析、偏微分方程、随机矩阵和解析数论等。他获得过许多荣誉和奖励，如1988年获数学奥赛金牌（最年轻的奥赛金牌选手），2006年获菲尔兹奖，2012年获克拉福德奖，2014年获首届数学突破奖。
本译文基于2010年陶哲轩在UCLA的演讲《宇宙距离之梯 》（The Cosmic Distance Ladder）视频（时长约一小时十分钟），并参考了相应演讲幻灯片的4.2版以及2013年他在美国数学博物馆的同名演讲视频（时长约一个半小时）。此外，译者还作了部分注释以及一些图片以方便部分读者能更好地理解此演讲。
陶哲轩在UCLA的演讲也是美国数学会的爱因斯坦公众演讲之一（http://www.ams.org/meetings/lectures/einstein-2010）。陶哲轩这次演讲中，现场有近900名听众，可见当时盛况。该讲座（http://www.ams.org/meetings/lectures/meet-einstein-lect）是美国数学会为纪念爱因斯坦的奇迹年100周年而创设，从2005年开始，每年一度。1905年，爱因斯坦在《物理年鉴》（Annalen der Physik）上发表三篇重要文章，发现了光电效应，布朗运动理论，狭义相对论以及著名的质能方程$E=mc^2$，因而1905年被称为爱因斯坦的奇迹年（annus mirabilis，拉丁语）。爱因斯坦讲座演讲者中有阿提亚爵士（Sir Michael Atiyah）、曼德勃罗（Benoît B. Mandelbrot）、彭罗斯爵士（Sir Roger Penrose）等著名数学家。戴森（Freeman Dyson）著名的演讲稿《鸟和青蛙》也曾是为2008年度爱因斯坦讲座准备的，只是因故而取消。
据陶哲轩的博客文章介绍，自2006年起，除了上述爱因斯坦讲座，他多次演讲过该主题，例如：2006年在澳大利亚数学所，2007年在UCLA的Pi Mu Epsilon协会，2009年澳大利亚Clay-Mahler lectures，2010年在斯坦福大学。
此外，虽然陶哲轩没有在博客上提及，他实际上在近年来仍以此主题做过一些公众演讲。如2013年8月7日和19日就分别在美国数学博物馆（National Museum of Mathematics，2012年建立，位于纽约市，https://in.momath.org/civicrm/event/info?reset=1&id=84）和新西兰的奥克兰大学（The University of Auckland，http://www.science.auckland.ac.nz/en/about/events/events-2013/2013/08/19/The-cosmic-distance-ladder.html）演讲过该题目。
陶哲轩在2010年完成爱因斯坦讲座上的演讲后撰写的博客中，说多年打磨（可谓“五年磨一剑”）同一个演讲很有教育意义，也很值。他放在博客上的演讲幻灯片就有多个版本（最新可获得的版本为4.2版），比较之前的，从内容到形式（如幻灯片版式），都有很大的变化。读者甚至可以注意到，2013年的演讲也纠正了4.2版中的一个计算上的小误写（参后文）。
人们对天象、天体的观测兴趣是亘古不变。中国古代即有“奔月”传说，也有“辩日”的故事，还曾“问天”。宇宙距离之梯就是一个热门话题，能找到不少资料。维基百科上也有题为“Cosmic Distance Ladder”的条目（中文条目题为“宇宙距离尺度”），读者可以参考。但陶哲轩的此演讲通俗易懂，内容简洁又弘大，包含了很多有趣的思想，不同一般。
在此演讲中，陶哲轩介绍了天文学家是如何聪明地利用数学知识和观察，间接地进行天体距离测量的。宇宙距离的测量，犹如攀登楼梯，每一阶距离的测量，都是下一阶距离的测量的基础。此阶梯开始于古希腊：他们利用简单的三角形知识，测量了地球、太阳和月球的大小以及相对位置。但直到约1700年之后，因为哥白尼、第谷和开普勒等的努力，才确立了日心说，测量了地球到行星的距离。至近现代，则通过发现距离与恒星的颜色、亮度、周期以及退行速度等的关系，以及建立大爆炸理论等，测量了到临近恒星、银河系、河外星系乃至整个可观测到的宇宙的距离。
梁启超论述史学时，称史学作为一门学科出现很晚的原因在于史学需要材料的累积，并举例说，天文学因为需要的材料很少，所以容易很早就出现。通过陶哲轩的此演讲，确实可以感到，在距离阶梯的最初阶段，古希腊人仅仅使用简单的三角学知识以及一些观察，似乎很轻易地就测量出了地球半径、地月距离、日地距离等；越到后面，所需材料，包括数据和技术，就越多，也就越不简单了。
然而，古希腊人能够取得这些测量不是偶然的。他们不但有对天象的详细观察，也有了长久的在地球上进行测量的基础。古希腊米利都的泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624年－前546年）就知道利用金字塔的阴影计算其高度。另一个著名的例子是公元前6世纪（约公元前530年）挖成的 尤帕林纳斯（Eupalinos）隧道。尤帕林纳斯是希腊工程师，他受命在萨摩斯岛向当时萨摩斯岛的首都（今日毕达哥利翁，Pythagoreion）引一条长秘密引水水道，以避免被敌军发现而切断。水道途中要经过卡斯楚山（Kastro），需要开挖隧道。为了加快速度，需要从山的两侧同时开工。问题是确定开挖地点和方向以保证两方隧道能相逢，且隧道总长度尽量短。这里就需要用到三角学知识。最终经过约10年时间的建设，挖出了一条长1036米的隧道，使用了上千年。
图：尤帕林纳斯隧道
从数学在天体测量的应用中可以深切地感到，数学在人类文明进程中所发挥的重要作用。反过来，无须说，天文学的发展也促进了数学的发展。1942年，爱因斯坦在纪念牛顿诞辰300周年的文中写道：“那些为天才继续发展所不可缺少的工具，主要来自于对星空的观察。”
演讲中的数学应用也启发我们重视数学教育。伽利略曾说，自然这一巨著由数学语言书写而成，其中的主角是三角形、圆以及其他几何形状。波利亚在《科学中的数学方法》（Mathematical Methods in Science，1963年）一书中，在先介绍了三角形知识在天体测量中的应用之后，讨论到，如果没有三角形知识，我们就要将时针拨回到远古的黑暗时代；应该通过介绍三角形在测量中的作用，使学生就如对棒球、电视等一样对三角形知识的学习感兴趣。
可以想象，天文学与数学的密切联系，是作为数学家的陶哲轩对宇宙距离之梯有兴趣的一个主要原因。2013年陶哲轩在美国数学博物馆的同名演讲中，曾做过解释。他说自己并不从事天体测量的研究，不过他小时候曾是天文兴趣小组的成员，了解到一些天文知识，但只是直到后来，才知道背后的数学。
陶哲轩也是一位勤奋、多产的优质博客作者。他的个人博客（http://terrytao.wordpress.com/）是众多数学爱好者乃至数学家的数学教室。例如，此次演讲主持人，时为美国数学会副主席的Frank Morgan，在介绍陶哲轩时说，按照他的观点，陶哲轩的博客是因特网上最好的网站，他现在每天都去看。译者也是在多年前通过陶哲轩的博客注意到此演讲，然而一直没见（等）到此演讲以文章形式出现。译者现勉力根据视频整理成文，与读者共享，并且向读者推荐此演讲。相应不少读者在听或“看”完此演讲后，会与我一样，必有不少收获。
图：2010年爱因斯坦讲座时陶哲轩（中）、陶哲轩的儿子与Frank Morgan合影（http://www.ams.org/meetings/lectures/einstein-2010，Reed Hutchinson）
为方便读者，相关网络资源列在下面：
- 陶哲轩有关演讲的三篇博客：
- 2010年在爱因斯坦讲座上的演讲：
- 2013年在美国数学博物馆上的演讲：http://www.youtube.com/watch?v=kY1gfrhNUIg （Youtube）。
- 2010年4.2版幻灯片：http://terrytao.files.wordpress.com/2010/10/cosmic-distance-ladder2.pptx。
目录
前言
我很荣幸作这次爱因斯坦讲座，这不仅是因为这个讲座之前的几位杰出演讲者，也是因为爱因斯坦本人。爱因斯坦是一位伟大的传奇科学家，做了许多伟大的工作。但即便伟大如爱因斯坦，他也不是在虚空上工作。他所做的事情也是基于许许多多前人的工作。他是宏大的科学故事中的一份子。
今天我们要介绍的是众多科学故事中的一个——天文距离之梯。这实际上是我最喜欢的故事。它和数学、物理以及历史上的天文学有关。这个故事很长，已有两千多年的历史，并且仍在发展，远未结束。大家或许在学校、从教材中或通过网络，已经了解过了这个故事中的某些部分，但你们可能很少有机会连贯地看到整个故事。
我今天想要传达的就是，科学不是孤立的事实的集合，而是一个大故事中的一部分。我今天要讲的就是一个很好的例子。
天体测量
宇宙距离之梯是天体测量的基础。什么是天体测量呢？天体测量是天文学的一个主要研究子科目，是研究天体（如太阳、月球、行星和恒星等）的位置与运动的科学。我们想知道天体在哪里，又将要去哪里。
天体测量学中的典型问题有：
- 地球到月球有多远？
- 地球到太阳有多远？
- 太阳到其他行星有多远？
- 太阳到临近恒星有多远？
- 太阳到远方恒星有多远?
图：太阳系（NASA/JPL）
今天，要回答这些问题非常容易，我们只要去查查维基百科就可以了（观众笑声）。维基百科从天文学家那里获得这些知识，天文学家又是从哪里得到答案的呢？
天体测量中的距离太过遥远，不可能拿着尺子或其他什么东西去直接测量。然而，天文学家找到了许多聪明的方法来间接测量。
例如，我们没法直接测量到两星系的距离$D_1$和$D_2$，但我们能够知道他们的比。根据哈伯定律（后面将介绍）： $$ \left. \begin{aligned} v_1=HD_1&\\ v_2=HD_2&\\ \frac{v_1}{v_2}=3.4\pm 0.1 \end{aligned} \right\}\Longrightarrow \frac{D_1}{D_2}=3.4\pm 0.1. $$
图：遥远星系离我们远去的速度（$V$，即后文提到的退行速度）与它们离开我们的距离（$D$）成正比（$V=HD$，$H$为哈伯常数），因此测得的速度比为距离之比
我们有许多方法来测量距离之比，借助一个距离来表示另一个距离。这些方法常常更多地依赖于数学方法，而非技术手段。很多时候，所用到的数学很简单，当然，有时候也要用到很高深的数学。
图：宇宙距离之梯（图片来自Bennett等著的The Essential Cosmic Perspective，原书对该图片的注释：宇宙距离的测量依赖于一条相互关联着的技术之链。此链以雷达范围开始，可以确定太阳系内的距离，继而有视差法和标准烛光技术。这些技术可以用于校准哈伯定律，反过来哈伯定律又能帮助我们估计整个可观测宇宙中的星系的距离）
间接方法的特点就是利用到不那么远的天体的较小距离去控制到遥远的天体的大距离，而小距离则用更小的距离来控制，依此方法，不断缩小距离，直至最终达到可以直接测量的距离。因此，我们得到层状结构的距离，层状结构的比例。把它们放到一起，就可以得到宇宙距离。这就是我们测量整个宇宙的方法。
讲座中我们要做的就是攀爬这个宇宙距离之梯。按照历史的发展，我先从地球这一最基本的阶梯开始，直至月球、太阳和行星等等。我们将看到每一阶的距离是如何测量的，它又是如何基于前面那一阶的测量的。
第一阶：地球
现在我们已经知道地球近似球形，赤半径为6378千米（3963英里），极半径为6356千米（3949英里）。赤半径要比极半径稍宽。这些数值已被包括现代卫星在内的各种方法验证到极大的精度。只要想想我们有精确到每平方英寸的地图就可以了。但是，假如我们没有如宇航、航空和航海等现代先进技术，甚至也没有望远镜和六分仪这样的工具，我们还能计算出地球的半径吗？甚或更基本地，我们还能判断出地球是圆球吗？
答案是肯定的。我们不但能推断出地球是圆球，还能获得它的大小。这是由两千多年前的古希腊人得出的。我们所需要的仅是一点点几何知识。
图：亚里士多德（维基百科）
历史上第一位论证地球是圆球的人是两千三百多年前的亚里士多德（Aristotle，公元前384－公元前322）。他通过对月球的观察，令人信服地间接说明了地球是圆球状的。
我们将要讨论的方法几乎都是间接的。间接方法意味着我们不是直接考察要研究的对象。所以要研究地球，我们就不能仅仅盯着地面，否则所见到的都是平的，而是要借助于另外的对象。在考虑地球形状这种情形，亚里士多德用的是月球。
亚里士多德是怎样做的呢？他用到月食（lunar eclipses）。在本演讲中，我们将反复用到各种“食”（eclipses）。各种“食”对天文学家极其有用。
亚里士多德知道月食是当月球和太阳位于地球的两边，即月球在黄道平面上恰好（相对应地球）位于背对着太阳的方向时才发生。他推断这是因为月球落入了地球的阴影（地影）中。同时，观察月食，会发现，无论在什么位置，什么方向，也无论是哪一部分的月食，所见到的地球在月球上的影子总是圆弧。这意味着，地球的每一个阴影都必定是圆。为此，圆球是地球唯一可能的形状。这是地球是圆球的正确解释。例如，假设地球是一个平坦的圆盘，所见到的月食就不是我们所见到的样子。亚里士多德的解释是证明地球是圆球的最简单的证明之一。
图：月食相图（Randy Brewer）
我们之前说古希腊人没有任何技术并不完全准确——他们可以旅行，例如从埃及稍作远行到希腊。亚里士多德知道，有的星座在埃及能看到，但旅行到希腊后却看不到了。实际上埃及到希腊并不很远。他认为从埃及到希腊这样相对短的距离间，仍有这样的现象，正是源于地球的弯曲性质，使所能见到的星座有所变化。同时，因为不远的距离即能察觉到弯曲，地球的半径必是有限的。然而，可惜的是，虽然他的论述是正确的，但却不能由此来准确测量地球半径。
图：埃拉托斯特尼（维基百科）
大约一百年之后，另一位希腊人，埃拉托斯特尼（Eratosthenes，公元前276－公元前194）【注】计算了地球的半径。他得出地球的半径为40 000stadia。stadia是希腊当时使用的长度单位。按我们现在用的单位，他得出地球的半径相当于6 800公里或4 200英里。这是非常好的估计，精度在8%之内。他并没有什么技术工具，却得到了精度在8%之内的答案，确实是很不容易，而且是非常令人惊讶的。今日最折磨我们的就是精确性了（观众笑声）。【注】
【注】埃拉托斯特尼是生活在亚历山大的数学家，是数论中“筛法”的发明者，也被认为是“地理学之父”。他还曾任著名的亚历山大图书馆馆长。他在许多领域虽然不是最伟大者，但都有重要贡献，因此号称“$\beta$”。有关他的一些介绍、他测量地球半径的方法，以及亚历山大时期的古希腊数学的介绍，可以参考译者的《亚历山大城的希帕蒂娅》，《数学文化》第3卷第1期，2012年。10-11世纪期间的穆斯林数学家比鲁尼也对地球半径做过精确测量，可参考译者的《谷歌数学涂鸦欣赏（中）》，《数学文化》, 第4卷第2期，2013年。
【注】历史学家对埃拉托斯特尼使用的长度单位stadia表示多长的距离存在争论，因而也导致人们对埃拉托斯特尼所得地球半径的精确度的争论。大多数人认为1 stadia约为185米，埃拉托斯特尼测得的地球半径的误差约为16.3%，也有人认为1 stadia为157.5米，这样导致埃拉托斯特尼测得的地球半径的误差为1.6%。不管如何，埃拉托斯特尼的方法是正确的，现代利用更加精确的数据，可以得到误差只有0.16%的估计。哥白尼远航时，曾学习过埃拉托斯特尼对地球半径的估计。但他不相信埃拉托斯特尼能得到如此精确的估计，否则他不会将他所发现的新世界——美洲——误认为是亚洲。
就如前人的方法，埃拉托斯特尼的论证也是间接的。但这次他做的是仰望太阳。当然不能直接盯着太阳看，那就太笨了（观众笑声），而是要间接地借助太阳。
埃拉托斯特尼是怎样做的呢？也许你们之前读过相关的故事，但我们还是重复下。
埃拉托斯特尼了解到在埃及一座名叫赛尼（Syene，今阿斯旺）的城市里有一口井。这口井有一个有趣的特点。虽然这口井很深，但在每年日照最长的那一天，即夏至日（6月21日）这一天的正午时分，井中的水会垂直反射井上方的太阳光。大多数井并没有这样的性质，但塞尼的井是这样。我们现在知道，其中的根本原因是因为赛尼很幸运，几乎恰好位于北回归线上。地球上有两处地方有这样的特点，另一处是在南半球的回归线上。
埃拉托斯特尼知道这件事，但他并不住在赛尼。埃拉托斯特尼住在亚历山大。赛尼也在埃及，但位于赛尼的北边。于是他决定在亚历山大做同样的实验。但等到6月21日这一天，他发现太阳光并不从井底反射，而是有一定的偏角。他知道这是因为地球是圆球状，有弯曲。大多数人可能会认为这没有什么用而放弃了，但埃拉托斯特尼没有。
埃拉托斯特尼是数学家，他有日晷（gnomon），这是一种量棍（measuring stick）。埃拉托斯特尼用它测量，得到太阳光与垂直线的偏角是$7^\circ $。
作为数学家，如果知道了偏角，同时又能知道从亚历山大到塞尼有多远，就足以计算出地球的半径了。埃拉托斯特尼碰巧知道塞尼位于亚历山大之南5 000 stadia （740千米）。他是如何知道这一点的呢？我们不确定他是如何获得这个距离的。一种说法是，他是根据来往塞尼与亚历山大之间的商人在路上要花多长时间、每天能走多远来计算的。另一种传说是，他付钱给他的学生去步行测量（观众笑声），这也是可能的，可以相信的。不管怎样，他算出塞尼与亚历山大之间的距离为5000 stadia。
这样就可以得到一个三角形，一条边长为地球的半径$r$，另一条边长为5000 stadia，夹角是$7^\circ$。仅仅利用这两条信息和一点数学，就可以计算出地球的半径为40 000 stadia： $$ 2\pi r \times \frac{7^\circ}{360^\circ}=5000\ \text{stadia} \Longrightarrow \ r=40\ 000\ \text{stadia} . $$
我们这里要提的一件事情就是，我们假设了图中的这些线（即到地球的太阳光线）是平行的。换句话说，我们假设太阳离地球相当远，稍后这一点将得到证明。
图：埃拉托斯特尼测量地球半径（图片截自陶哲轩演讲幻灯片，原图中的北回归线示意图来自Swinburne University的宇宙天文百科）
第二阶：月球
我们现在看第二阶，即月球。这里的基本问题有：
- 月球是什么形状？
- 月球有多大？
- 月球有多远？
古希腊人也回答了这些问题，没用到什么技术，只是用到了一些几何知识和一些观察。
首先，对于月球的形状，月球看起来是圆的，但它很可能是圆而平坦的，如同一个圆盘一样挂在天空中。我们现在知道它是一个球体，为什么是一个球体呢？
图：2005年5－6月的月相（维基百科）
亚里士多德仅仅根据熟悉的月相现象，判断出月球是一个球体。月相，如半月（half moon, 即弦月，分上、下弦月）、盈凸月（gibbous moon）等月相，是因为太阳照在月球的一边，而月球的另一边是黑暗的。亚里士多德于是观察月球昼夜线（terminator），即月球上被照亮部分和阴影部分的边界。他发现月球昼夜线总是椭圆弧状，只是在半月（上、下弦月） 的时候似乎是直的。如同论证地球是球体一样，若要有这样性质，月球的唯一可能形状是球体。因为月球的一半被太阳照亮，按照我们现在的观点，月球上的大半圆即是昼夜线，呈椭圆。如果月球是一个圆盘，那么月球要么是暗的，要么是亮的，不可能产生月相，也不会有昼夜线。昼夜线源自月球是球体而不是盘状。
图：阿里斯塔克斯半身像（Nasa）
月球离我们多远呢？亚里士多德没有算出来。后来的另一位希腊人，阿里斯塔克斯（Aristarchus，公元前310年－前230年）借助地球半径，历史上首先计算了地球到月球有多远。他的测量是间接的。他计算出月球到地球的距离大约为地球半径的60倍。这也是相当令人惊讶地准确。因为月球绕地运行的轨道近似椭圆，所以月球与地球的距离实际上是变化的，有时近有时远。月地实际距离介于57到63倍地球半径之间。平均而言，阿里斯塔克斯的估计是极为准确的。
阿里斯塔克斯还几乎正确地计算出了月球的半径。他说月球的半径为地球半径的三分之一。这很接近真实值：月球半径的实际值为地球半径的0.273倍。考虑到希腊人当时的技术，这样的估值不算差。
我们已经在上一轮中计算过了地球的半径，因此我们可以将这两个信息结合起来，得出月球的大小及其位置：
- 月球半径=0.273 倍地球半径=1700 千米=1 100 英里。
- 月地距离=60倍地球半径= 384 000 千米=239 000 英里。
阿里斯塔克斯是如何计算的呢？他的方法仍是间接的。他测量地球到月球的距离的方法依赖于太阳。我们要再一次用到月食。
我们已经说过，月食之所以发生是由于月球穿过地球的阴影。这个阴影有多宽呢？我们需要再次假设太阳离地球相当远，这一点过一会就会介绍。这样一来，地球的直径，即地球半径的两倍，基本上是阴影的宽了。
希腊人观察到过许许多多次月食，他们知道月食延续的最长时间大约为三个小时，没有月食发生的时间超过三个小时。这意味着月球需要三个小时来穿过两倍地球的半径的距离。
另一方面，月球绕地球一周需要一个月的时间。这里的一个月是一朔望月，即28天【注】。
【注】演讲中所说的“月”用的英文单词是“lunar month”，在天文学中，这表示朔望月，指月球连续两次合朔的时间间隔，也是月相重合的周期。平均大约为29.5天。演讲中陶哲轩说28天。这里似乎应考虑用月球绕地球公转一周的时间（约27.3天）为宜。
因此，月球需要花一个月的时间绕地一周，需要三个小时穿过两倍地球半径的距离。这些信息足够充分了。基本上只用到简单的中学数学，我们就可以使用地球的半径来表示地球到月球的距离。
设$V$为月球绕地运动速度，$D$为月地距离，$r$为地球半径，则有： $$ V=\frac{2r}{3\text{小时}}=\frac{2\pi D}{1\text{个月}} \Longrightarrow D=60r. $$ 也就是说，月地距离为地球半径的60倍。
图：计算月地距离（图片来自演讲幻灯片，原图来自维基百科，图中蓝线为地球轨道，绿线为月球轨道）
月球有多大呢？有许多方法来计算。一种方法是等待月落。月落大约需要两分钟。从我们的观点来看，月球的视觉运动用两分钟行进两个月球半径的距离。另一方面，月球绕地球一周的视运动需要用时24小时。这些信息足以使我们根据地球到月球的距离来确定月球的半径。设月落速度为$V$，月球半径为$R$，月地距离为$D$，地球半径为$r$，则有 $$ \frac{2R}{2\text{分钟}}=V=\frac{2\pi D}{24小时} \Longrightarrow R=\frac{D}{180}=\frac{r}{3}. $$
图：月落（2008年9月15日科罗拉多落基山脉的月落，Alek Kolmarnitsky）
根据之前的计算，已知$D=60r$。结合$R=\frac{D}{180}$，可得到$R=\frac{r}{3}$。所以，我们最终可以用地球的半径表示月球的半径：月球半径为地球半径的三分之一。
这是很令人赞叹的成就。实际上并不容易，阿里斯塔克斯做了一系列的假设，我们在这里做了很大的简化。不过我们要强调的是，当时是多么地没什么技术。那时不但没有望远镜等技术工具，阿里斯塔克斯甚至都不知道$\pi$的精确值。第一位得到精确的$\pi$值的是阿基米德（Archimedes，公元前287－公元前212年）， 这还需等待好几个年代！因此阿里斯塔克斯用了些三角形知识，而不是用正弦、余弦这些三角学知识。可见，当时几乎是零技术，但阿里斯塔克斯仍能得到好的答案。
第三阶：太阳
在这里一轮里我们感兴趣的典型问题是：- 太阳有多大？
- 太阳有多远？
图：日食（2012年12月4日，津巴布韦日食, Murray Alexander）
同样令人惊讶的是，古希腊人仍能回答这些问题。但所得的答案的精度不完美。这是因为他们受到了当时所拥有技术手段的限制。但即使是不精确的答案，在科学史上还是非常重要。我们后面会解释其中的原因。
他们的方法仍是间接的，依赖于月球。事实上，在科学上，很有幸能有月球（观众笑声）。如果没有月球，天文学上许多东西的发展就需要更长的时间。
阿里斯塔克斯已经计算出了月球的半径，以及地球到月球的距离。月球的半径为地球到月球距离的180分之一，也就是说月球的半径为地球半径的三分之一。
月食是因为月球落入了地球的阴影中。类似地，有日食。这是因为地球落入了月球的阴影中。换句话说，这时月球恰好从太阳和地球之间穿过。日食有日偏食，也有日全食。日全食时，月球几乎完全遮住太阳。这是一个很令人惊讶的巧合。本质上，这意味着从地球上看，太阳的张角和月球的张角几乎相同。因此，阿里斯塔克斯利用大家在中学学到的相似三角形知识，推断出太阳的半径也必定是地球到太阳的距离的180分之一。因此，由此可知，如果知道了其中某一个数值，例如，如果知道了到太阳的距离，就可以算出太阳的半径。他的下一个任务是计算日地之间的距离。这一回，他再次使用间接方法，再次借助于月球。
我们已知，月球有月相。例如，月球有新月。新月出现于当月球恰好位于地球与太阳之间的时刻。相反，如果月球处于相反的位置，即月球和太阳恰好在地球的两边，则出现满月。
另外还有半月。你可能会认为半月出现于新月与满月的中间位置。但这并不完全对。如果做一个三角形，半月出现于当月球、地球和太阳形成一个直角三角形之时【注】。当形成直角三角形时，恰好有一半的月球是可见的。所以，半月并不出现在新月、满月的（轨道）中点，而是要稍微接近新月。因此，有一个如图所示，比直角稍小的角度$\theta$。如果知道这个角，利用三角几何，就可以算出到太阳的距离。所以，阿里斯塔克斯需要计算这个角度。
【注】半月（上弦月或下弦月，图中所示为上弦月）发生的时候，一半的月球被太阳照亮；一半的月球在阴影中，而地球上恰又好能观察到半月，所以这时月球、地球和太阳组成一个直角三角。此时，月球与新、满月之间的中点有一定距离，所以图中的$\theta < \pi/2$。读者可以考虑，太阳距离地球越远，这个$\theta$越接近$\pi/2$。阿里斯塔克斯认为$\theta$大约是$87^\circ$。
阿里斯塔克斯认为半月比新月和满月的（轨道）中点早发生6小时【注】。另外，当然，月球需要一个月来绕地一周。由此以及三角学，他算出日地距离为月地距离的20倍（假设月地距离为$d$，日地距离为$D$）： $$ \left. \begin{aligned} \theta=\frac{\pi}{2} -\frac{2\pi\times 6\text{小时}}{一个月}&\\ \cos\theta=\frac{d}{D}& \end{aligned} \right\} \Longrightarrow D= 20d. $$
【注】此处的“6小时”在4.2版幻灯片中原为12小时。2013年陶哲轩在数学博物馆的演讲视频中已将此改为“6小时”。读者可以简单估算：$$D\approx \frac{d}{\frac{\pi}{2}-\theta}\approx d\times\frac{24\times 30}{2\times 3.14\times 6}\approx 20d.$$
图：阿里斯塔克斯计算月球与太阳之间的距离
这里的数学推理是正确的，但阿里斯塔克斯的观测是错误的。当时没有望远镜等技术，难以判断何时出现半月；此外，也没有钟表。希腊当时最好的钟表是日晷，但日晷没法在晚上工作（观众笑声）。因此，对半月进行定时很困难。
实际上，半月与新、满月间的中点的时间之差是半小时，而不是6小时。这样一来，算出的日地距离不是月地距离的20倍，而是390倍。尽管这样，阿里斯塔克斯的基本方法是正确的，只是由于技术条件的限制，所得的答案不精确。
虽然阿里斯塔克斯的答案不精确，但他的计算使得他能够在历史上第一次得到一个科学上非常重要的结论，即太阳远大于地球。按照他的计算，太阳半径是地球半径的7倍：
$$ \left. \begin{aligned} d=60r &\\ \frac{D}{d}=20&\\ \frac{R}{D}=\frac{1}{180}& \end{aligned} \right\} \Longrightarrow R = 7r.$$
今天，我们将太阳远大于地球看作是显然的。但在当时，这并不明显。阿里斯塔克斯的计算结果不准确。实际上，太阳远远大于地球。太阳半径是地球半径的109倍：$R=109r$（地球半径=6 371千米=3 858英里；太阳半径=695 500千米=432 200英里）。无论如何，阿里斯塔克斯得到了正确的结论，即太阳远大于地球的。
根据所得测量，阿里斯塔克斯进而断定，太阳绕着地球转的地心模型是很荒谬的，应当是地球绕着太阳转。这样，阿里斯塔克斯成为了历史上第一位提出日心说模型的人。你可能会认为第一个提出日心模型的人是1700年后哥白尼。但如果你去读哥白尼的书【注】，你就会发现，哥白尼将日心说的起源归功于阿里斯塔克斯。然而，阿里斯塔克斯的理论不为当时其他古希腊科学家所接受，我们后面将解释其中的原因，但不是现在（观众笑声）。
【注】指《天体运行论》。原文为拉丁文，可见于http://digital.libraries.ou.edu/cdm/compoundobject/collection/copernicus/id/4005。英译可见http://www.webexhibits.org/calendars/year-text-Copernicus.html。这本书有中译，有叶式煇翻译，2001年陕西人民出版社出版的版本。2014年商务印书馆也出版了张卜天翻译版本，取名《天球运行论》。
图：在对数尺度下（从小于1个AU）至1百万AU向外延伸的太阳系，显示出太阳圈、奥尔特云和半人马座α。（参考http://interstellar.jpl.nasa.gov/interstellar/probe/introduction/scale.html）
原则上，阿里斯塔克斯的方法给出了地球到太阳的距离。这是一个非常重要的单位。它被称为天文单位（Astronomical Unit，缩写为AU），即地球到太阳的距离【注】。在宇宙距离之梯中，这是极为重要的一步。后面的三、四阶中都要用到它。很多测量都是用天文单位来表示。阿里斯塔克斯对天文单位的原始估计并不精确，我们后面将会看到更为精确的测量天文单位的方法。
【注】AU是天文学上的长度单位，起初等于地球－太阳的平均距离149 597 871千米（92 955 807英里），约为500秒光年。现已改为绝对距离：2012年8月，在中国北京举行的国际天文学大会（IAU）第28届全体会议上，天文学家以无记名投票的方式，把天文单位固定为149 597 870 700米。因为米的定义来源于真空中的光速，所以新的天文单位与日地距离无关。
第四阶：行星【注】
【注】对此段中涉及的相关历史，推荐著名的费曼物理讲座的第一讲。实际上，陶哲轩在一篇博客（http://terrytao.wordpress.com/2009/07/15/feynmans-lectures-online/）中，介绍了费曼物理讲座视频，并提到自己在《宇宙距离之梯》的演讲也涉及费曼物理讲座的第一讲中的部分内容，只是角度不同，而且谦虚地表示自己的展示稍逊费曼。另外，可以参考Arthur Koestler的《梦游者：人类宇宙观的迁移史》（The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe，Hutchinson，1959）。也可参考莫里斯·克莱因 (Morris Kline)的《数学：文化方法》（Mathematics: A Cultural Approach，1962）。
图：太阳系
现在我们转向行星，即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星。
通过占星家以及一些其他事情，古希腊人发现所有的行星虽然都在运动，但都经过黄道带（Zodiac），位于一个称为黄道面（Ecliptic）的平面上【注】。黄道带是（黄道上）绕着地球转的星座组成的环带。因此，不管行星如何运动，它也仅仅是一个二维问题，而不是三维问题。
【注】从天球的北极观看太阳系内的行星，所有行星都以逆时针方向围绕太阳公转 ，这些行星运动的平面称为“黄道面”。
但是，古希腊人不知道行星的轨道。例如，火星的轨道看起来非常好玩，它有时往西，有时往东，前后来回运动，非常奇怪【注】。总的来说，古希腊人仍有许多基本问题不知道如何回答：
- 行星（例如，火星）有多远？
- 它们的轨道如何？
- 在轨道上运行一周要多长时间？
【注】即所谓的火星逆行（retrograde motion）现象，这是火星的视运动，即以地球为中心所观察到的火星运动，它由地球的公转和行星的公转复合而成。请参考如下火星的观察合成图以及基于日心说的火星逆行解释。
图：火星逆行（火星观察合成图片，图片来自Bennett等著的The Essential Cosmic Perspective）
图：基于日心说的火星逆行解释，内层为地球轨道，外层为火星轨道（图片来自Bennett等著的The Essential Cosmic Perspective）
图：托勒密
图：托勒密的地心模型
古希腊人也尝试回答这些问题，但所得的答案基本上是完全错误的。例如，托勒密（Ptolemy，90－168CE）是第一位曾做了认真努力的人。但是，因为托勒密用了错误的模型，所以得到了彻底错误的答案。托勒密拒绝阿里斯塔克斯的日心模型，使用地心模型，认为太阳绕着地球转，非常复杂。尽管托勒密付出了极大的努力，但不幸的是，得到的答案基本上是绝对的垃圾。因为托勒密体系错得太离谱了，我这里就不叙述了【注】。
【注】托勒密的体系设计了复杂的本轮、均轮系统来用圆周运动来解释当时已经观察到的行星运动现象，例如逆行以及与地球的距离的不等等现象。他们假设行星$P$围绕着$Q$作匀速圆周运动，而$Q$又围绕着地球$E$做匀速圆周运动（实际中，他们又假设地球不在中心，存在偏心率）。他们把$P$所围绕的圆周称为本轮（epicycle），而$Q$所围绕的圆周称为均轮（deferent）。有时还使用两个本轮来代替一个本轮。这个理论虽然错误，但还是能够在一定程度上与观测相符，如在一、二个小时的误差范围内预测月食。
图：行星在本轮上做匀速圆周运动，而本轮的圆心又在均轮上作匀速圆周运动（图片来自克莱因的《数学：文化方法》第176页）
图：哥白尼
首先得到地球到行星的距离，以及行星的运行规则等问题的准确答案的人是尼古拉·哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473－1543）。这是哥白尼的伟大成就。这也是哥白尼为什么出名，为什么出现在教科书里的原因。阿里斯塔克斯认为地球绕着太阳转。然而，哥白尼认为太阳系所有的行星都绕着太阳转，而不仅只是地球在绕着太阳转。
哥白尼从古巴比伦人的记录着手考虑。古巴比伦人甚至比古希腊人还早进行星空观察。古巴比伦人已经认识了行星并作了记录。他们将观测结果传给了希腊人，希腊人又传给了阿拉伯人，阿拉伯人再传给了欧洲人。因此哥白尼知道古巴比伦人的记载。例如，哥白尼从古巴比伦人的记载中了解到了火星的视运动，即从地球上观察到的火星的视运动。
火星每隔780天就重复（即火星的会合周期，synodic period），回到原来的位置。也就是说，火星的视运动周期是780天【注】。由于使用日心模型，哥白尼知道780天不是火星的真实周期，因为不但火星在绕着太阳转，地球也在绕着太阳转。所以火星的角速度并不是$\frac{1}{780}$，这个角速度只是地球的角速度与火星的角速度之差。
【注】太阳、火星（或其他行星）和地球的相对位置循环一次的时间称为“会合周期”，如太阳、地球和火星三者连成一条线后（火星冲），下次再出现相同情况的时间间隔。
古巴比伦世界地图（公元前7－8世纪）
另一方面，哥白尼知道地球每隔一年绕太阳一周，这里的年是太阳年，365天。再一次，同样只是中学数学水平的问题，对所得的角速度做减法, 他得出火星每隔687天绕太阳一周，即火星的恒星周期（sidereal period）或说公转周期为687天【注】： $$ \left. \begin{aligned} \omega_{地球}-\omega_{火星}=\frac{1}{780}天&\\ \omega_{地球}=\frac{1}{年}& \end{aligned} \right\} \Longrightarrow \omega_{火星}=\frac{1}{687}天. $$
【注】火星的恒星周期687天为绕日周期，又名火星年（作为对比：地球年约为365天）。为了使部分读者更好地理解演讲中有关火星周期的计算，我们这里作更多解释。不妨设角速度的单位为度/天。分别用$\omega_{地球}$和$\omega_{火星}$来表示地球和火星的角速度。这样，地球和火星每天在轨道上分别绕行$\omega_{地球}$度和$\omega_{火星}$度。同时，可知地球和火星的公转周期分别为$360^\circ/\omega_{地球}=1年=365.25天$和$360^\circ/\omega_{火星}$度。若会合周期为$s$（$=780$天），则首次会合时，地球和火星分别运转了$\omega_{地球} \times s$度和$\omega_{火星} \times s$度。考虑到地球的运动速度比火星快，它们的差为$360^\circ$，即 $$ \omega_{地球} \times s - \omega_{火星} \times s=360^\circ. $$ 等价地，有 $$ \frac{360^\circ}{365.25天} - \frac{360^\circ}{火星年}=\frac{360^\circ}{780}. $$ 因此， $$ 火星年=\frac{1}{\frac{1}{365.25}-\frac{1}{780}}=687天. $$
对其他行星也可以做类似的计算。
于不同日期测量行星在黄道带上的位置（通过测量角度），并假设轨道是圆的，哥白尼借助于日地距离，也计算出了所有行星的轨道半径。例如，他计算出火星与太阳的距离为1.5倍天文单位。这是相当好的测量。
哥白尼对火星周期以及火星与太阳的距离的测量都精确到了两个小数位，精度为1%。但不是完全精确。
图：第谷
稍后的第谷·布拉赫（Tycho Brahe, 1546－1601）因为一些原因决定做非常细致的观测。他对行星很着迷。他设法得到了一位国王的资助，并获赠一座岛屿来建立来建立天文台，并前后一共花了十多年的时间来测量行星的位置【注】。
【注】 1560年8月21日的日食，特别是这次日食被预测到了，给14岁的第谷以很深的印象，使得第谷开始学习研究天文学。此外，也有人认为，第谷在1566年12月与一位丹麦贵族的决斗中失去了一部分鼻梁，也导致第谷致力于不需与别人打很多交道的天文观测。第谷有他自己介于日心说与地心说之间的模型，认为太阳围绕静止的地球作圆周运动，而除地球之外的其他行星围绕太阳作圆周运动。丹麦国王腓特烈二世给第谷提供了厄勒海峡中的文岛（Hven）以及巨额资金建立天文台——乌拉尼亚堡（Uranienborg）。第谷是最后一位裸眼观天的天文学家，他的天文观测数据达到了前所未有的精确度。此后不久，伽利略等人即开始使用望远镜等设备对星空进行观测。特别，1610年1月，伽利略用望远镜发现了木星的四颗最大的卫星。
第谷对火星以及其他行星做了长期而又极其详细的观测。不幸的是，他的数据与哥白尼的模型不符合。如果尝试将第谷的观测数据代入哥白尼模型所假设的任何圆形轨道，会发现总有偏差。例如，他对火星的观测数据就与理论预测有偏差。
图：第谷火星观测数据
图：开普勒
这个问题由后来的约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571－1630）继续研究。
开普勒实际上有他自己关于太阳系的理论。为了支持他的理论，开普勒窃取了第谷的数据，其中是有故事的【注】。但他发现观察数据并不符合他的理论，也不符合哥白尼的理论。最终，他只好断定，地球和火星的轨道并不是哥白尼所认为的完美的圆，而是别的东西。
【注】1601年10月13日，第谷参加了一个由上层社会的宴会。按开普勒的记述，第谷太过礼貌，没能起身解手而致使膀胱出问题，回家之后不到两周即去世。按照第谷的遗愿，他的所有资料由其后代保存。开普勒只好设法窃取了第谷的资料（实际上第谷一直不肯轻易使开普勒接触到他的数据）。1605年，开普勒在一封信写道：“我承认，当第谷去世后，我趁……之机，将观测置于我的照顾之下，或说窃取了它们。”也有说法认为第谷之死是由于被水银中毒，而开普勒有施毒的嫌疑。正因为数据使用权利问题，直至1609年，开普勒才发表他的《新天文学》（Astronomia nova ）。
开普勒现在的任务是利用第谷的数据，计算地球和火星的轨道。
但如何根据第谷的数据，同时算出地球和火星的轨道呢？如果你懂一点数学，就知道解方程的时候，需要的方程数至少和未知数的个数一样多。但现在要从数据中求出地球和火星的轨道，看起来就像只用一个方程来求解两个未知数——似乎是不可能的！
更糟糕的是，第谷的数据只给出了火星的方向，即在给定的时间上，火星的方向，没有给出距离。如果你学过极坐标，你就知道，若要决定平面上一个点的位置，你需要两个数，夹角和距离。但当时没有办法来测量距离，只能测量方向。所以，开普勒实际上只有半个数据来确定两个未知数。
看起来似乎没有充分的信息来解决这个问题。然而，开普勒做到了。他找到了精巧独创的方式来解决问题。开普勒用到了两个重要的想法。第一个想法是，若要精确地计算火星的轨道，先要弄清地球的轨道。因为如果不知道地球的轨道，又要坐在地球上观察行星运动，那是不可能求出其他行星是如何运动的。
怎样求出地球的轨道呢？他的第二个天才的想法是，可以间接地利用火星！
这是如何做的呢？为解释其中的原理，我们先考虑一个简单情形。我们知道地球和火星都在运动，但为简单起见，我们先假设火星固定的在空中，而不是绕着太阳转动，只是地球沿着未知的轨道运动。
图：假设太阳、火星不动，只有地球在动，可以用三角测量确定地球的轨道
不管你在哪里，太阳都在某处，你可以见到火星，可以见到太阳，可以从地球上测量火星、太阳（相对于黄道带上其他恒星）的位置。这样，就能观察到与太阳、火星的方向这两个方向。另一方面，因为假设火星与太阳一样是固定不动的，就存在一条固定的轴，即火星与太阳之间的轴。因此，我们得到了一条固定的边，两个夹角，这就可以确定地球相对于火星和太阳的位置。如果你知道中学几何中的“角边角”定理，即如果你知道一条边和两个角，则你就可以确定这个三角形，因而可以知道你在哪里。这是一种称为“三角测量（triangulation）”的技术。
海上航行时，要确定船的位置。如果可以见到地标，测量其方向，就得到了足够的信息来确定你在哪里了。你可能会认为这个太简单了，我们今日已不再需要用到它了。但实际上，你们中的许多人可能已经通过应用它来找到会场，来到这里。GPS（陶哲轩掏出手机），即用到三角测量。或说三边测量（trilateration），用到四颗卫星，但其中的原理是相同的【注】。
【注】 GPS是英文Global Positioning System（全球定位系统）的缩写，它利用卫星导航进行测时和测距。三边测量是利用测量距离来确定位置的方法。三维空间中，如果知道到四个已知位置的距离，则可以确定该点的位置。
现在我们知道，假设太阳和火星是固定的，用三角测量，可以确定地球相对于太阳与火星的位置，即确定地球的轨道。不巧的是，火星并不是固定不动的，它自己也沿着未知的轨道运动。这样一来，似乎三角测量派不上用场：三角测量中一条边不是固定的，而是在按照一种你不知道的方式在运动。
图：地球和火星都在运动
但开普勒并没有放弃，他有另外的一条信息，一条你们已经从哥白尼那里获得的信息：每隔687天，火星会回到原来的位置。因此，如果你不选取所有的数据，而是将第谷的数据按687天的距离间隔使用，则在分割点上，火星是固定的，因而对这样的分割点，可以使用三角测量。
第谷的数据中，有勉强足够的数据，使得开普勒可以这样做。好在第谷连续做了10余年的观测。这样，用687天对数据进行分割的数据，用三角测量，相应于火星轨道上的某个不动点，足以给出地球的轨道。
图：通过火星不动点计算地球轨道
一旦有了地球的轨道，就能够反过来将地球轨道当做固定的参考点。利用另外一个用687天分割的数据序列，可以参考已经得到的地球轨道，得到火星轨道上的另外一个点。不断地这样做，就可以得到火星的轨道。
图：已知地球轨道，计算火星轨道
这就是开普勒的想法。爱因斯坦曾给一本关于天文学，实际上是一本关于开普勒的书【注】，写过前言。爱因斯坦在其中称开普勒的这个想法是“真正的天才想法（an idea of pure genius）”。要知道，爱因斯坦自己也是天才，做得很好。
【注】 这本书是Carola Baumgardt写的开普勒传记Johannes Kepler: Life and Letters, New York: Philosophical Library, 1951。原文表述为“an idea of true genius”。
开普勒计算了所有行星的轨道。当然，我们今日不需计算了，因为我们现在有开普勒定律。但在当时，开普勒并没有这些定律。正是因为开普勒花了很多功夫算出火星和土星等所有行星的轨道，他才总结出了他的行星运动三大定律【注】：
- 每一个行星的轨道是椭圆，而太阳处在椭圆的一个焦点上；
- 在相等时间内，行星在相同时间内扫过的面积相等；
- 行星椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方成正比。
【注】似乎开普勒没有类似地计算其他行星的轨道。1609年出版的《新天文学》中包含了三大定律中的前两个，第三定律出现在1619年出版的《世界的和谐》（Harmonices Mundi）。
开普勒的定律在其之后的一、二个世纪的物理学的发展过程中非常重要。牛顿（Issac Newton，1643－1727）从开普勒的定律导出了他自己的定律，即万有引力定律：
任意两个质点相互吸引，吸引力与质量成正比，与距离平方成反比： $$|F|=\frac{Gm_1m_2}{r^2}.$$
这在整体上非常重要。
借助于天文单位，开普勒的方法可以做的一件事情就是给出各个行星到地球的距离，非常精确。
- 水星（Mercury）: 0.307-0.466 AU
- 金星（Venus）: 0.718-0.728 AU
- 地球（Earth）: 0.98-1.1 AU
- 火星（Mars）: 1.36-1.66 AU
- 木星（Jupiter）: 4.95-5.46 AU
- 土星（Saturn）: 9.05-10.12 AU
- 天王星（Uranus）: 18.4-20.1 AU
- 海王星（Neptune）: 29.8-30.4 AU
反过来，如果有另外的方法来计算行星距离，则可以给出天文单位的测量。例如，假如我们能测出金星到地球的距离，则结合开普勒给出的结果，可以反过来算出天文单位。
对天文单位的第一次精确测量就利用了开普勒的方法，并且结合了到行星（如金星）的距离测量。
一个测量这样的距离的方法是视差法（paralax）【注】。如果你能在两个不同的地点，如分别在南半球和北半球同时观测同一个行星，测量从两个地点进行观测的视角。考虑这两个视角的差，因为我们已经知道地球的半径，按照三角学，如果我们知道地球的半径，又知道夹角，即可知道到行星的距离。然后根据开普勒定律，可以得到到太阳的距离。
【注】 读者可以将手指竖于脸前来演示视差法的原理（最好有一个有参照物的背景）。分别以左眼、右眼看手指，可以发现手指似乎移动了位置。若将手指离脸放远点，则会发现视差移动变小了。如果测量出手指与每一只眼睛的夹角，双眼间的距离，则可以通过计算得出脸与手指的距离。
后文将涉及所谓的秒差距（英文parsec, 缩写pc），这是天文学上的一种长度单位，与恒星视差有关。解释秒差距的同时可以解释视差原理，因此借用一图解释如下。
图：秒差距与恒星视差
以地球公转轨道的平均半径（即1AU）为底边所对应的三角形内角（即视差）为1角秒（3600分之一度）时，这个三角形一条边的长度（即地球到这个恒星的距离，这个三角形可视为等腰三角形）就称为1秒差距。
原则上可以这样做，但很需要技巧。首先你需要旅行到星球的另一边，此外，你好需要精确的钟表，好的望远镜和好的六分仪。哥白尼没有这些东西，开普勒也没有。但到18世纪，欧洲人已经有了这些。能把天文单位计算得相当精确了。
第一位如此做，并且得到非常准确的天文单位的测量的是詹姆斯·库克（James Cook，1728－1779）。他通过观测金星凌日（transit of Venus）【注】来测量太阳视差。他做了两个测量中的一个。大家知道，必须要有人去南半球做另外的测量。詹姆斯得到了这个机会。詹姆斯的航行很出名，特别是在我的祖国，澳大利亚。但他航行是有科学任务的，他的部分任务就是做观测。发现澳大利亚实际上是一个意外收获。
【注】金星凌日是指位于太阳和地球之间的金星直接从太阳的前方掠过，成为太阳表面的可见暗斑（并且遮蔽一小部分太阳对地辐射）的天文现象。当凌日发生时，从地球可以看见金星是在太阳表面上移动的一个小黑点。哈雷的方法就是在不同观测地点，测定这个小黑点经过太阳表面的时间（观察整个凌日的过程比单独测量如凌始或凌末时的视差角要精确些），经过计算可以得到太阳视差，加上两个观测点之间的距离，就可以用三角法得到日地距离。
我们现在已经有了更为精确的方法来测量天文单位。利用如雷达和星际卫星等现代技术，天文单位与行星的轨道已经能被极其高精度地得到：
1个天文单位=149 597 871千米=92 955 807英里。
得到精确的测量非常重要。因为只有这样，才能发现开普勒定律并不完全准确。特别地，考虑水星的轨道。开普勒说，水星的轨道是一个椭圆。但实际上，水星每转动一次，它的轨道就偏移一点。这种近日点进动（precession）不能完全由牛顿力学来解释。这是一个重要的观察，是广义相对论的第一个验证或说爱因斯坦广义相对论的第一个应用。在距离之梯的后面阶中，我们需要用到广义相对论。
图：水星轨道（此图为译者加）
我们已看到天文学帮助了物理学的发展；反过来，物理学的发展也有益于天文学的发展。两者携手前行，互相促进。
第五阶：光速
图：“千年隼”号飞船（来自卢卡斯电影《星球大战》。影片中人物“韩”声称千年隼可以达到零点五倍光速）
下一轮是光速。我需要一张图片来直观地表示光速。这张图（即《星球大战》中“千年隼”号飞船图）是我所能想到的最好的图片。为此我要感谢UCLA数学系，是数学系帮忙从卢卡斯电影取得授权，所以你们今天能在这里看到这图片。
原则上，光速，$c$，并不是一个距离。严格来说，它不属于距离之梯。然而，你们将看到，知道光速是很重要的，在距离之梯后面阶梯上需要用到光速。
光速的测量很需要技巧。曾有很长时间，要证明光速是有限的，都有很大的困难【注】。17世纪时，伽利略曾经试图测量光速。他请求他的一个朋友帮忙，说，我提着灯笼爬到一山顶，你也提着灯笼爬到另一山顶。我掀开灯笼，并开始计时，当你见到亮光后就掀开灯笼，通过测量光花多长时间“来回”，就可以算出光速。伽利略报告说，这个实验没有成功。
【注】例如，开普勒和笛卡尔都认为光的传播不需要时间，是在瞬时进行的。
然而，伽利略的方法是正确的。他的方法没成功只是因为没有好的技术。现在，我们有毫微秒，可以做类似于伽利略那样的实验。利用激光和LCD显示屏等，我们在实验室的桌面上就可以精确测量光速了。
17世纪，奥勒·罗默（Ole Rømer，1644－1710） 和克里斯蒂安·惠更斯（ Christiaan Huygens，1629－1695）对光速进行了第一次精确测量。他们用了相同的想法，但是是间接的，借助了木星的卫星。
伽利略原来的实验之所以不成功是因为两座不同的山顶之间的距离不够远。因此，可考虑用行星来代替。特别地，他们用到木星，木星的卫星艾奥（Io）。
艾奥是木星的四颗最大的卫星中离木星最近、轨道最短的卫星。因为离木星很近，所以转动速度非常快。它每隔42.5小时绕木星转一圈，约两天的时间。大家知道，月球，我们地球的卫星，绕地球一周要28天，这是慢的，但木星的卫星，艾奥，只要两天就转一圈，而且艾奥运行的轨道更大【注】。
【注】艾奥的平均轨道半径为421 700千米，地球的轨道半径为385 000千米。
可以用望远镜观测到艾奥绕木星的转动。可以观察到艾奥消失，又重现，又消失，又重现。艾奥消失是因为艾奥落入了木星的阴影中，即发生了艾奥食。
罗默在一年多的时间里对艾奥进出艾奥的阴影进行了许许多多次测量，并对艾奥进入、离出木星阴影的时间进行了记录。在每个42.5小时内，艾奥就进出一次木星的阴影。他观测了一年多。他发现有一半的测量要快，一半要慢。
图：罗默
图：惠更斯
他注意到，当木星和地球在太阳的同一边时，轨道前进稍快，比预期的要快；而当木星和地球相背，两者分别在太阳的两边时，轨道前进稍缓，比“时间表”要慢。其中的差别也不是很大，当木星和地球相背时，大约慢20分钟。
图：木星的卫星艾奥（木卫一）
惠更斯认为这个差别是因为，当艾奥在地球的另一边时，从艾奥到达地球的光需要走更长的距离。多长呢？两个天文单位。也就是说，光需要20分钟来走完两个天文单位这么远的距离。这就足够用来计算光速了。
惠更斯利用他所知的天文单位的最好测量，他第一次合理地得到了光速。他计算的光速为220 000千米/秒=140 000英里/秒。 这不完全准确。光速的真实值为299 792千米/秒=186 282英里/秒。但考虑到当时的技术条件，这也是相当了不起的估计。
在此观测之后不久，因为天文单位有了更好的估计，他们很快就得到了更好的光速估计。
图：麦克斯韦
图：电磁谱（Science Learning Hub, University of Waikato, NZ）
光速的计算对物理学的发展具有很重要的作用。例如，它给了不久之后的麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831－1879）一个机会。当时麦克斯韦在研究电磁定律，他将电与磁统一为他的四个电磁方程，你们在这里的物理课上已经学到过了。他的理论的推论之一就是，存在电磁波（电磁辐射）。他根据真空电容率（permittivity，或说真空介电常数） $$ \varepsilon_0\sim 8.9\times 10^{-12} F/m（法拉／米） $$ 以及真空磁导率（Permeability，或说真空中的磁场常数） $$ \mu_0\sim 1.3\times 10^{-6} H/m（亨利/米） $$ 他计算了电磁辐射的速度 $$ (\varepsilon_0\mu_0)^{1/2}\sim 3.0\times 10^8 米/秒. $$
麦克斯韦得到一个常数。这个数看起来有些熟悉，于是他查了下。他发现当时对光速最好的估计几乎就是这个数。也就是说，光速几乎和他对电磁辐射的理论预测值相匹配。他因而得出一个重要的结论：光是一种电磁辐射，是电磁谱中的可见部分【注】。他是第一个认识到这一点的人。这在科学上是非常超前的。
【注】译者翻译此演讲时（2015年），恰好为麦克斯韦的第三篇关于电磁学的论文《电磁场的动力学理论》（A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field，1865年）出版150周年。正是在这篇论文中，麦克斯韦得到了描述电磁波的波动方程，而且该方程所描述的波动的波速等于光波的速度。
这个观测还对爱因斯坦在1905年得到狭义相对论有所帮助。狭义相对论的问题是，如果光速不变会有什么事情发生。它也导致光谱学的发展。光谱学可以用来精确地确定各种东西的颜色。这两者将是在宇宙距离之梯上更上一层的重要工具。
图：狭义相对论的概念：同时的相对性（在绿参考系中，时件B和A同时发生；在蓝参考系中，事件B发生在A之前；在红参考系中，事件B发生在A之后）
第六阶：临近恒星
图：临近恒星图（ 距离太阳在14光年以内的32颗恒星位置图）
我们的下一轮是临近恒星。希望大家仍有兴趣。
此前我们已见到地球上两个不同位置的视差（parallax）可以用于测量到其他行星的距离。如果在地球上两个不同的位置观测同一个对象，就有视差。这类似于用双眼观测可以判断观测对象的远近。但裸眼所能判断的距离有一定的范围。同样，视差法对所能计算的距离有范围限制。
假设使用詹姆斯·库克的方法来观测恒星，即使是最近的恒星，比邻星（Proxima Centauri ），也因为太远而不能用视差法。比邻星离我们的距离是270 000个天文单位，也就是270 000倍太阳到地球的距离： $$270\ 000 AU = 4.2 光年 = 1.3 秒差距 = 4.0 \times 10^{16}米 = 2.5 \times 10^{13}英里。$$
在地球上两个不同位置做观测，没有足够的视差来得到它的距离。实际上，比邻星的视差大约为1000分之1角秒（arcsecond）： $$\frac{2倍地球半径}{270 000个天文单位} = 0.000 065秒差距。$$
1角秒是60分之1角分，1角分是60分之1度。1度是360分之一整个圆。因此，比邻星的视差角是极其微小的。即使是现今最好的望远镜也不能观察到视差。
图：星位视差示意图（图片来自Bennett et al.等的The Essential Cosmic Perspective）
然而，我们可利用地球半径。我们先在地球上做一次测量，6个月后，太阳会把你带到另一个地方，与原来的位置有两个天文单位那么远。这就可以得到更大的视差，足够在天上看到一些偏差。你可以对夜空中的某一部分拍一张照片，六个月之后，再观察夜空。与先前的拍摄照片作比较，大多数星星保持不动，但有一些临近恒星会有移动。如果有好的望远镜就可以观察到视差。如果知道天文单位，就可以得到与恒星的距离。所有在100光年之内，或30秒差距（parsec）之内的恒星，都可以用视差法测量距离。（1秒差距的距离正好是视差为1角秒时的距离。）这是利用望远镜所能做到的视差法的极限。
用这种方法可以计算出成千上万颗恒星的距离。所得到数据很重要，我们需要用到它们来攀登下一阶梯。在距离之梯中，这是很常见的。为了继续前行，我们需要不断地收集越来越多的数据。你们将看到人们为搜集数据所做的巨大努力。
这样的视差计算，需要精确的望远镜。这首先由贝塞尔（Friedrich Bessel, 1784－1846）在1838年做到【注】。
图：贝塞尔
【注】贝塞尔出生于德国的明登（Minden），距译者所生活城市比勒费尔德只有半个小时的车程。贝塞尔年幼家贫，自学成才，受到过高斯的鼓励与支持。1838年，贝塞尔在柯尼斯堡天文台（Sternwarte Königsberg）用太阳仪成功观测到天鹅座61（61 Cygni，又名贝塞尔星或皮亚齐飞行之星，中国传统名称为天津增廿九）的视差，并据此计算出天鹅座61到地球的距离约为10.3光年（实际距离为11.4光年，作为比较：太阳光只要8分钟到达地球）。
阿里斯塔克斯提出他的日心模型时，他同时代的人对之进行驳斥。他们说，这种理论不可能对，因为如果地球绕到太阳的另一边，那么就应该可以观察到视差，夜空中的恒星的位置应该有所变化，7月份（演讲视频中说6月份）的位置应该和1月份的不同。因为缺乏望远镜等技术（而最近的恒星又实在是太过遥远，无法用肉眼观察到），他们没有观察到视差【注】。因为没有观察到任何视差效应，因此他们认为日心模型不可能对，除非其他恒星是不可思议地遥远。但如此遥远的恒星只有（如太阳那样）足够亮并且足够大，才能被看到。这就是荒谬之处。他们无法理解宇宙是如此的广大。因此，他们没有选择日心模型。
【注】 例如，与阿里斯塔克斯同时代的天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，约公元前195-前125年）虽然传说视力非常好，但也没观察到恒星视差。喜帕恰斯也是三角函数的奠基人。
希腊人真是很遗憾。他们做了很多伟大的事情，发展了逻辑与数学等许多很好的东西。但有时他们也会犯错误。这真是一个遗憾。他们本可以更早地得知真相，但却没有。因为最近的恒星实在是太遥远了。日心模型实际上就隐含了最近的恒星非常遥远这一事实（当然，也确实如此）。
第七阶：银河
上一阶中我们介绍了临近恒星。临近恒星只是我们所处的星系——银河系——中很小很小的一部分。在图片中，一个小小的圈，就是100光年的范围，仅仅是很小的一部分。视差法对星系的其他部分没有效果。
图：银河系（Serge Brunier）
但我们可以利用针对临近恒星的详细观察数据来得到遥远恒星的距离。我们有很聪明的方法来这样做。
我们现在有如光谱学（spectrocopy）这样的工具，观察恒星，不管远或近，可以精确地测量它的颜色，例如，在特定涵义下，有的是蓝色，有的是红色，有的是黄色。
利用摄影（photography）或电子光度感应器（photodetector），可以测量恒星有多亮，有的恒星比其他恒星要亮。即使是希腊人，也知道这一点。但我们可以精确地测量恒星的亮度。但这仅仅是恒星的视亮度（apparent brightness），即恒星看起来有多亮。恒星看起来很亮，可能是它确实很亮，但也可能是因为它离我们很近。一颗昏暗的星星因为离我们很近，也可能看起来很亮。例如，太阳其实不是最亮的恒星，但因为离我们近，所以看起来无疑是最亮的。
对一颗临近恒星，我们已经知道它的距离，知道它有多远，并且知道它的视亮度，就可以利用平方反比定律（inverse square law），计算出这些恒星的绝对亮度【注】： $$M=m-5(\log_{10}D_L-1).$$
【注】 星体的亮度（brightness）是描述星体明暗的方式，通常通过测量其辐射量来得到亮度。亮度与星体的距離平方成反比。而星体的光度（Luminosity）则是描述星体的发光能力，与距离无关。天文学家常用星等（magnitude）来描述星体的亮度：星等=$-2.5\log_{10}(亮度)$。相应于视亮度视星等（apparent magnitude）。绝对星等（absolute magnitude）是将星体都移到地球100秒差距处所得到的星等亮度。公式$M=m-5(\log_{10}D_L-1)$中的$M,m,D_L$分别为绝对星等，视星等和距离。
对所有的临近恒星，可以利用对它们的距离测量和视亮度的测量数据，就可以得到他们的绝对亮度，也就是说，这些临近恒星的真实亮度。
图：丹麦天文学家埃希纳·赫茨普龙
图：美国天文学家亨利·罗素
现在我们已经知道数万颗临近恒星的绝对亮度和颜色。大约在100年前（1905年到1915年间），两位天文学家，埃希纳·赫茨普龙（Ejnar Hertzsprung，1873－1967）和亨利·罗素（Henry Russell，1877－1957），做出了数千颗临近恒星的绝对亮度-颜色图。这就是著名的赫罗图（Hertzsprung-Russell diagram）。
图：赫罗图（左轴为亮度，右轴为绝对星等，上轴为光谱型，下轴为颜色）。
他们发现了颜色和绝对亮度的关系。图中的$x$轴为颜色，$y$轴为亮度。红星较暗，蓝星较亮。太阳大约在中间的位置。因此我们有了颜色与亮度的关系图——一条曲线。对天文学很重要。你可以利用这条曲线做一些事情。事实上，可以反过来用这张图以测量到更多恒星的距离，包括很遥远的恒星。这比视差法测量的范围要广得多。
具体是怎样做的呢？对一颗很遥远的恒星，可以用光谱学来测量其颜色，用摄影得到它的视亮度。只要这颗星不是过于遥远，这两件事情总是可以做到的。然后，根据赫罗图所给出的颜色与绝对亮度的关系，就可以得到它的绝对亮度。最后根据平方反比定律，利用已知的视亮度和绝对亮度，即可算出到它的距离。
综合这些技术，就可以得到很远的恒星的距离。这种方法很好用，被称为主序拟合（main sequence fitting），可以计算的距离达300 000光年（$=2.8\times 10^{21}米=1.8\times 10^{18}英里$）。特别地，这个范围覆盖了整个银河系！银河系的直径只有大约100 000光年。
因此，利用这种技术，基本上可以测量到整个银河系范围以内的恒星的距离。在这个范围之外，主序星太暗，不能准确测定；同时，它们与其他恒星太接近，很难确定它们的亮度。
第八阶：其他星系
我们已经介绍了到银河系的距离。但银河系不是宇宙中唯一的星系，我们还需要考虑其他星系。这项工作首先由亨丽爱塔·勒维特（Henrietta Swan Leavitt，1868－1921）在19世纪末和20世纪初做出。
图：美国女天文学家亨丽爱塔·勒维特（聋哑人，造父变星周光关系的发现者）
勒维特观察到一类被称为造父星（Cepheids）的恒星。这类恒星的亮度很不稳定，有时变得很亮，有时很暗，做周期性变动。例如，每隔14天，亮度就发生变化。这样的恒星有一些在我们的星系中，有一些在其他星系。
对在我们星系中的造父星，勒维特可以得到它的距离，也可得到它的亮度。对我们星系中的每一颗造父星，她都可以得到它的亮度，同时，她也观察它的周期，因此她得到了许多数据来作图。
图：勒维特的原始周期-亮度关系图（ SAO/NASA，横轴为周期，纵轴为（视）亮度）
上面的图实际上是勒维特在1912年的原始图。她做出了许多造父星的视亮度与周期性之间的关系图。其中，造父星被分成了两类。造父星越亮，它的周期就越长。
因为使用的是受控的数据，图中的数据拟合得并不很好。按现在的数据，20%的数据会拟合得更好。但即使是在那个时代，她仍可以做出关系图。类似于赫罗图那样，一旦有了曲线，就可以外推（extrapolate），得到到银河系之外的星系的距离。
旋转星系（spiral galaxy）NGC 3021中的造父变星（NASA/ESA哈伯空间望远镜拍摄）
因为造父星非常亮，这个方法可以测量到非常非常远的星系的距离。例如，利用哈伯望远镜，我们可以观察到的最远的造父星是100 000 000光年！作为比较，银河系的直径为100 000光年，因此可以测量的距离是银河系的距离的1000倍！
幸运的是，大多数星系至少包含有一个造父星。现在对所有距离在一亿光年之内的星系的距离，都可以测量了。
虽然可以测量的距离很大，但不完全覆盖整个宇宙。宇宙的直径大于76 000 000 000光年。因此，我们仍不处于距离之梯的最高层。这是下一个重要的阶梯。现在我们可以测量到大量的星系的距离了，这可以为距离之梯的下一阶积累很多数据。
实际上我们现在不仅仅使用造父星，使用造父星是最老的测量方法了。现在有许多其他的方法。例如，用超新星（supernovae）替代造父星，有时可以得到更大尺度的距离。超新星是宇宙中最亮的星体之一。同样幸运的是，超新星在星系中也经常出现。作为比较，已知探测到的最远的1a型超新星（type 1a supernova）的距离(1997ff)为11 000 000 000光年。同时，这个方法也可以独立地用于确认基于造父星的距离测量。
第九阶：宇宙
上面一阶给了我们见到了巨大宇宙，但还不是整个。最终我们可以讲述距离之梯的最高阶，即整个宇宙。
我们测量宇宙其他部分的距离的方法要归功于爱德温·鲍威尔·哈伯（Edwin Powell Hubble，1889－1953）。
图：爱德温·哈伯，美国著名天文学家
哈伯做了与赫茨普龙和罗素所曾经做过的类似的事情。他收集了很多数据，想看是否可以得到曲线。他测量了他所知道的所有星系，许许多多的星系。但他发现某些星系比他们本应该那样的更红。某些谱线从他所预期处向红端处移动。这就是星系的红移（red shift）。他发现星系越远，它就越红。相对论告诉他，有红移的原因是因为星系在远离【注】。
【注】 红移是指物体的电磁辐射由于某种原因导致波长增加的现象。在可见光波段，表现为光谱的谱线朝红端移动了一段距离，即波长变长、频率降低。例如，物体和观察者之间的相对运动可以导致红移，即多普勒红移。这里指的是宇宙学红移。
哈伯用数百个星系的数据作图，横轴是距离，即星系有多远，纵轴表示星系远离我们有多快。他得到了很好的线性关系。现在被称为哈伯定律。任何星系的退行速度（recessional velocity）都正比于它们与我们的距离。
图：哈伯定律：横轴为距离，纵轴为退行速度，退行速度=哈勃常数$\times$距离
这在物理学上也非常重要。如果宇宙在膨胀，考虑时间的追溯，则宇宙必在某一时刻压缩到某一点。这就得到了著名的膨胀宇宙的大爆炸模型（big bang model）的主要验证。现在此理论已被广泛接受。这个理论的验证不仅仅是因为有这一事实，还是因为有许多其他证据。
图：大爆炸模型（Nasa，WMAP）
同时，哈伯定律也给我们以另一种测量距离的方法。这样的距离适用于整个宇宙。假设我们有一个星系，要测量到它的距离，就可以先测量它的红移。这可以通过应用光谱学来得到。可以测量星系退行有多快。然后应用哈伯定律，就可以到得到它的距离：
| 光速 | 哈伯定律 | |||
| ↓ | ↓ | |||
| 光谱学→ | 红移→ | 退行速度 | → | 距离 |
之前已经说过，天文学中的一个难点就是，人们测量的不是距离，而是方位角。一旦有了距离，就有了极坐标所需要的极角和极径，就可以得到二维或三维的宇宙地图。
现在我们可以收集许许多多的数据，包括所有可测量的星系数据：测量方位角，测量红移得到距离。在极坐标系中，星系的位置就可以确定了。这样就有了宇宙的大尺度真实地图。
下图是2度视场星系红移巡天图。图中的每一个点都是一个星系。从图中可以得到，星系在空间中不是均匀分布的。他们倾向于连成串，组成纤维状结构（strand）。我们给它们取了些名字。左边这个被称为长城，是星系长城。比中国的长城要大得多得多。事实上，它几乎是迄今所知的宇宙中最大的结构。
图：2度视场星系红移巡天（Two degree field Galaxy red-shift survey, W. Schaap et al.）
我们现在已经有了这样的大尺度结构。
所有这些数据，已经告诉了我们许多有关宇宙形状的信息：大爆炸模型。现在我们对宇宙是如何产生，已经有了相当可信的模型。它给我们以一些信心来认识宇宙，即使是在我们所能直接看到的范围之外。例如，利用伽马射线暴（Gamma Ray Burst），可直接探测到的最远对象的距离为130亿光年。可观测宇宙的直径为280亿光年。但是利用我们对宇宙形状的认识，可以外推至可直接观察的范围之外。虽然有些部分我们不能看到，但是我们现在知道整个宇宙的直径至少有780亿光年。（宇宙的年龄=137亿年。）我们能得到这一点，不是通过观察今日的宇宙，因为距离太大，我们不能做到这一点，而是考虑遥远的过去，接近大爆炸的时刻。大爆炸后残留有背景辐射，这就是所谓的宇宙微波背景辐射。可以用这个，我们目前所有的关于时空的模型来得到宇宙直径的估计。
古希腊人做的天文测量只用到中学数学知识，没有什么技术。我们现在这个阶段，则需要许多数学以及许多技术来得到这些数据。距离之梯上每更上一阶，就需要更多的东西，更多的技术，更多的物理，更多的数学，更多的统计，等等。因此， 数学变得愈加高等：广义相对论（在宇宙的这个尺度上，广义相对论的效应高度影响测量数据），一些统计，一些回归，一些概率，很多计算等许多东西。
图：黑洞的艺术表现（Nasa）
我们还需要cutting-edge技术（例如哈伯空间望远镜，1990－，以及威尔金森微波各向异性探测器（Wilkinson Microwave Anisotropy Probe，简称WMAP，2001－2010）。它在测量中也非常关键。不幸的是，WMAP刚在上周结束它的任务。
图：哈伯空间望远镜
图：威尔金森微波各向异性探测器
图：根据WMAP对宇宙微波背景辐射的观测所绘制的图像
总之，我们需要最先进的技术，最新的数学。我们的任务还远没结束。我们还没有一张宇宙的全图。攀登宇宙距离之梯仍是今日天文学中非常活跃的领域。
结束语：世界地图
作为本演讲的结尾，我只给大家看四副地图。这些地图可以很清晰地总结我们目前所到达的状态。
左上图：托勒密世界地图 （参考 http://www.hellenicaworld.com/Greece/Literature/SamuelButler/en/AtlasOfAncientAndClassicalGeography.html）
右上图：地球
左下图：2度视场星系红移巡天（W. Schaap et al.）
右下图：宇宙中物质分布的模拟（Greg Bryan）
左上图是托勒密世界地图，非常著名。它由托勒密绘制。托勒密与之前提到的，在1世纪中，试图计算到行星的距离的人是同一人。托勒密生活在埃及，他没有旅行到所有这些地方，他不可能做到。他所能做到的，首先是购买他所能买到的每一份地图。他也可以与商人交谈，如从印度，从英国，或从北非来的商人。他会问他们，你需要多长时间将丝绸从中国运到印度，从印度运到其他地方。从所得的时间，他可以算出距离。尽其所能，托勒密能得到一张世界地图。这张图就是他所得到的。就一世纪时期的技术而言，这实在是一张好地图。你可以将它和右上图，即今日真实的地图作比较。自托勒密之后的一千年多年间，这是最好的地图，被翻来覆去地拷贝着。
左下图是2度视场。我们之前已经见过。这相当于我们今日的托勒密地图。这是我们目前所知的最好的宇宙图。巧合的是，这幅图与托勒密的图的作图原则是相同的。对每一个星系，我们问，它有多远。我们也尽我们所能，将其在图上标出。
按理我应该在右下图放一张实际的宇宙图 。但我没能在网上找到合适的图（观众笑声）。作为替代，我找到了一张星系的模拟图。因为灯光有点昏暗，图片有点难以看清（相对于现场听众）。
图中的每一点都是一个星系。从大爆炸开始，星系在引力的作用下运动，经过几十亿年演化。你会发现，经过几十亿年，引力将星系组织成纤维状结构。所得的结构非常类似于我们通过距离之梯以及从我们的数据和观察所得到的。这是一个很好的信号，证明了我们的理论是正确的。它表明，到目前为止，我们的所有计算是正确的，因为它与我们现在所用的宇宙模型的模拟相匹配。
或许未来，几十年之内，我们真的可以用计算机模拟来表示真实的宇宙。这将是一项伟大的成就。但我们现在还没能达到这样的目的，也可能在本世纪内，我们就可以看到。
非常感谢大家！
2015年1月18日完稿，比勒和乐屋