补码加减法运算和溢出判断

在二进制计算中，如果计算结果超过计算机的位数，就会发生溢出。

设机器字长为 8 位（包括一位符号位），A = 15，B = -24，C = 124，求 [A+B]补、[A-B]补、[A+C]补、[B-C]补

将十进制数转换成二进制机器数

• [A]原 = 00001111，[A]补 = 00001111
• [B]原 = 10011000，[B]补 = 11101000
• [C]原 = 01111100，[C]补 = 01111100

加法和减法运算

加法运算，可以直接把两个有符号数的补码进行相加，计算第一个式子：[A+B]补 = [A]补 + [B]补 = 00001111 + 11101000 = 11110111，得到 [A+B]补 = 11110111 转换成真值为 -9，和用十进制计算 A+B 的结果一样。

减法运算，是先把它变成加法运算，然后用补码的进行加法运算，计算第二个式子：[A-B]补 = [A]补 + [-B]补 = 00001111 + 00011000 = 00100111，得到 [A-B]补 = 00100111 转换成真值为 39，和用十进制计算 A-B 的结果是一样的。

加法运算和减法运算在计算机内部都是加法运算，只是对于减法运算来说，多了一个求相反数的电路：B -> -B

溢出判断

两个机器数，进行了加减运算后，得到的结果和十进制数加减运算后的结果不一致，这就造成了溢出

• [A+C]补 = [A]补 + [C]补 = 00001111 + 01111100 = 10001011，真值是 -11，十进制 A+C 真值是 139
• [B-C]补 = [B]补 + [-C]补 = 11101000 + 10000100 = 01101100，真值是 108，十进制 B-C 真值是 -148

溢出的几种判断方式：

• 采用一位符号位
• 采用一位符号位和数据位进位
• 采用双符号位

采用一位符号位

假设被加数的符号位为 As，加数的符号位为 Bs，结果位的符号位为 Ss

将符号位进行异或运算：V = AsBs!Ss ⊕ !As!BsSs

• 异或运算的原理是相同得到 0，不同得到 1

  • 如果 V = 0，表示无溢出
  • 如果 V = 1，表示有溢出

采用一位符号位，根据数值位和符号位的进位情况判断溢出

假设数值位的进位为C1，符号位最高位进位为 Cs

将符号位进行异或运算：V = C1 ⊕ CS

• 异或运算的原理是相同得到 0，不同得到 1

  • 如果 V = 0，表示无溢出
  • 如果 V = 1，表示有溢出

采用双符号位

存储在计算机内部的二进制数是正确的数据，也就是说不存在溢出的行为，所以采用一位符号位即可，比如 00001111 或者 10001111。

双符号位就是在单符号位的基础上在添加一位符号位，两位符号位分别记为：S1、S2。

将符号位进行异或运算：V = S1 ⊕ S2

• 异或运算的原理是相同得到 0，不同得到 1

  • 如果 V = 0，表示无溢出
  • 如果 V = 1，表示有溢出

采用双符号位的移位运算

• 低位符号位参与移位，高位符号位代表真正的符号
• 使用双符号位的数一般是补码