[Algorithm]分治法 Divide and Conquer 与 主定理 Master Theorem

警：此文是理论深度文，如果想从这里找源代码或者“神马是归并排序”之类的东西的话，提前放弃吧。这文的来源主要是MIT的算法导论。

主定理 Master Theorem

这中文名字十分蛋疼（其实英文名字也十分蛋疼），我感觉确切地应该叫做递归复杂度判定定理，不过姑且就这么用吧。

分治法 Divide and Conquer

分治法分为三步：分、治、合(Divide, Conquer, Combine)。

分是递归的，不是说分一次就结束了，分后的子问题，被看做一个完整的问题，再进行分的过程，否则，算法的复杂度是不会降低的。

分治法的时间复杂度计算

使用公式：

然后套用主定理求解，PS：不适用主定理时，就悲剧鸟~

分治法举例

归并排序 Merge Sort

too simple, something naive了，简单说下就是：分成子队列、子队列排序、合并子队列。这一过程迭代执行

公式：

套用主定理第2种情况，得

二分查找

更加simple：先和队列中点比较，选择结果的位置，然后再从子队列中查找。这一过程迭代执行。队列必须是有序的。

公式：

套用主定理第1种情况，得

求幂值a^x

分治法不是唯一的方法，这和前边两个不大一样，确切说小标题应该是“用分治法求幂值”

简单说是先求ax/2，然后再求ax/2*a^x/2得出结果，当然，这一步骤也是要递归的。

公式：

套用主定理第1种情况，得

矩阵乘法

正常的算法，套用公式

使用i、j、k三重循环，复杂度为n³

使用分治法，将矩阵分块，进行分块相乘（主方法第一种情况）：

是不能降低复杂度的，悲了个摧。

Strassen's Algorithm

http://en.wikipedia.org/wiki/Strassen_algorithm

应用这个算法，可以将复杂度降低一点点……

时间复杂度是

求斐波那契数值 Fibonacci Numbers

多说一句，如果用递归求斐波那契，则

斐波那契无法直接使用分治法求解，不过其计算公式可以使用分治法求值。

这是错误的方法：

斐波那契近似计算公式

其中的幂值计算可以使用分治法，最终复杂度为

不过计算机无法精确计算浮点数，也就是说会存在误差累积的问题~（另外据说大数乘法也不是常数时间，据说而已）

所以不可行。

这是正确的方法，使用了线性代数：

斐波那契计算公式

硬件布线

分治法还可以有神奇的用途，例如计算硬件布线占用的电路板面积：

方案1下的:

目标方案的：

可以反推出

如果有灵感的话，可以得出H布局