torch.nn.functional.normalize详解

一、 函数分析

函数的默认情况：
torch.nn.functional.normalize(input, p=2, dim=1, eps=1e-12, out=None)
含义：返回在指定维度上的输入数据input的L-p范数的标准化后的数据。（在指定维度上，该数据的每个元素除以其L-p范数）
L-p范数：数学上的范数是指一个向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$的模。公式如下。

如果数学概念不理解的话：

• 每个向量(1维还是多维)都具有“方向”和“长度”两个特征。在实数空间内，正负性表示“方向”，实数的绝对值$|a|$表示“长度”，该长度成为数学上的模(或者范数)。
• 对于二维向量(a,b)来说，同样具有一个“方向”[比如，向量与x轴的夹角,可以用内积表示]，以及“长度”[通常用$\sqrt[2]{(a^2+b^2)}$表示，即为L-2范数。]
• 同理在三维或者多维向量下，类推得到L-p范数。
  $$||x||=\sum _1^n((|x_i|{)}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$
  思维误区：不表示，L-2空间内的二维向量只能用L-2范数，也是可以用L-1范数的。当然高于L-2的范数也能说，只是毫无意义。因此，往往在L-p空间内使用$\le p$的范数。
  此外，L-2范数其实类似于机器学习上的RSME，L-1范数类似于MAE.

参数解析：

• input:输入任何形式的torch.tensor
• p :理解了L-p范数的定义，显然这里的p是用来指代L-p范数的。
• eps: 因为要除以L-p范数，为避免分母过于小，因此设定了一个阈值，其默认为1e-12

二、 案例讲解

2.1 p的栗子

import math
a = torch.Tensor([1,2,3])
# a的L1范数为 6=1+2+3;L2的范数为 sqrt(14)=sqrt(1^2+2^2+3^2)
a1 =torch.nn.functional.normalize(a, p=1,dim=0)
a2=torch.nn.functional.normalize(a, dim=0)#p默认为2
print(a1,a2) 
print(torch.div(a,6),torch.div(a,math.sqrt(14))) 

out:

tensor([0.1667, 0.3333, 0.5000]) tensor([0.2673, 0.5345, 0.8018])
tensor([0.1667, 0.3333, 0.5000]) tensor([0.2673, 0.5345, 0.8018])

2.2 dim的栗子

b = torch.Tensor([[1,2,3], [4,5,6]]) # shape=(2,3)
b0=torch.nn.functional.normalize(b,p=1, dim=0)
b1=torch.nn.functional.normalize(b,p=1, dim=1)
print("dim=0 outset's shape:",b0.shape)
print(b0)
print("dim=1 outset's shape:",b1.shape)
print(b1) 

在理解dim的时候，为方便运算和验证，我这里设置的是L-1范数。
out:

dim=0 outset's shape: torch.Size([2, 3])
tensor([[0.2000, 0.2857, 0.3333],
        [0.8000, 0.7143, 0.6667]])
dim=1 outset's shape: torch.Size([2, 3])
tensor([[0.1667, 0.3333, 0.5000],
        [0.2667, 0.3333, 0.4000]])

解析：
对于轴的理解可以参考：https://mathpretty.com/12065.html
我的规律,不明白看图(左侧是一维扩展到二维的情况。右侧是具体轴维度的运算情况)：

规律：

1. 判断：确定好轴方向(dim为哪个维度)
2. 简化：沿轴方向的(一堆)数据看作一个新数据，不妨取一堆的第一个命名为新数据
3. 运算：对新数据们进行当前的运算
4. 扩维：沿轴方向进行逐一运算

验证：

b00 = torch.div(b,torch.Tensor([5,7,9])) #有广播机制
b11 = torch.div(b,torch.Tensor([[6,6,6],[15,15,15]]))
print(b0==b00)
print(b1==b11) 

out：

tensor([[True, True, True],
        [True, True, True]])
tensor([[True, True, True],
        [True, True, True]])