ARAP变形分析

网格变形要求产生视觉合理并且大致满足物理规律的变形效果，而模型细节的保持很大程度地满足了这种需求。刚性作为一个重要的属性在保细节方面具有明显的优势，从某种意义上讲，保持模型的刚性很大程度地促进了模型表面细节的保持。

一、算法简介

ARAP网格变形原文出自：Sorkine O, Alexa M. As-rigid-as-possible surface modeling,是04年一篇经典的网格变形的论文。如下图所示，ARAP变形算法首先定义网格顶点与1-邻域的边构成刚性变形单元，所有点的变形单元重叠地覆盖网格表面。变形过程中假设变形单元仅仅发生旋转变换，形式化的表示如公式（1）所示，变形单元的刚性变换使得网格顶点相对于1-邻域顶点的位置保持不变，从而有效地保持了模型局部的细节。

p′i−p′j=Ri(pi−pj),∀j∈N(i)(1)

ARAP变形算法的核心能量函数如下所示，通过最小化该能量函数实现模型的尽可能刚性变形。

E(Ci,C′i)=∑j∈N(i)wij∣∣∣∣(p′i−p′j)−Ri(pi−pj)∣∣∣∣2(2)

其中， Ci 和 C′i 分别表示变形前后模型顶点 pi 和 p′i 对应的变形单元， N(i) 表示 pi 的1-邻域点的索引，而pj和 p′j 分别表示 pi 和 p′i 的1-邻域顶点， Ri 表示 Ci 到 C′i 的最优旋转矩阵， wij 是边 eij=(pi,pj) 的权重。“““`
对于公式（2）所示的二次能量函数最小化，首先，根据中间变形结果 P′ 和初始模型坐标 P 使用奇异值分解估算出变形单元的最优旋转矩阵Ri。接下来，在旋转矩阵已知的情况下，令能量函数的导数等于0即可得到函数取得最小值时的 P′ ，即等价于求解公式（3）所示的线性方程组，从而更新了中间变形结果 P′ 。下一次迭代中，再将 P′ 作为已知量， Ri 作为未知量进行类似的求解，如此反复，直到能量误差小于用户指定的阈值为止。

∑j∈N(i)wij(p′i−p′j)=∑j∈N(i)wij2(Ri+Rj)(pi−pj)(3)

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二、相关原理
参考文献:
[1] : http://blog.csdn.net/seamanj/article/details/50597420 (Tr(M) >= Tr(RM))
[2] : http://blog.csdn.net/chan15/article/details/49948849 (Tr(AB) >= Tr(BA))
[3] : https://zhuanlan.zhihu.com/p/25846219 (知乎专栏)