排序七 归并排序

要点

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归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用 分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。

将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

 

归并排序的基本思想

将待排序序列R[0...n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2个长度为2的有序表；将这些有序序列再次归并，得到n/4个长度为4的有序序列；如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序序列。

综上可知：

归并排序其实要做两件事：

（1）“分解”——将序列每次折半划分。

（2）“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序。

 

我们先来考虑第二步，如何合并？

在每次合并过程中，都是对两个有序的序列段进行合并，然后排序。

这两个有序序列段分别为 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。

先将他们合并到一个局部的 暂存数组R2中，带合并完成后再将R2复制回R中。

为了方便描述，我们称 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 为第二段。

每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。

经过这样的过程，R2已经是一个有序的序列，再将其复制回R中，一次合并排序就完成了。

核心代码：

public  void Merge( int[] array,  int low,  int mid,  int high) {
     int i = low;  //  i是第一段序列的下标
     int j = mid + 1;  //  j是第二段序列的下标
     int k = 0;  //  k是临时存放合并序列的下标
     int[] array2 =  new  int[high - low + 1];  //  array2是临时合并序列

     //  扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束
     while (i <= mid && j <= high) {
         //  判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描
         if (array[i] <= array[j]) {
            array2[k] = array[i];
            i++;
            k++;
        }  else {
            array2[k] = array[j];
            j++;
            k++;
        }
    }

     //  若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
     while (i <= mid) {
        array2[k] = array[i];
        i++;
        k++;
    }

     //  若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
     while (j <= high) {
        array2[k] = array[j];
        j++;
        k++;
    }

     //  将合并序列复制到原始序列中
     for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
        array[i] = array2[k];
    }
}

 

掌握了合并的方法，接下来，让我们来了解如何分解。

在某趟归并中，设各子表的长度为gap，则归并前R[0...n-1]中共有n/gap个有序的子表：R[0...gap-1], R[gap...2*gap-1], ... , R[(n/gap)*gap ... n-1]。

调用Merge将相邻的子表归并时，必须对表的特殊情况进行特殊处理。

若子表个数为奇数，则最后一个子表无须和其他子表归并（即本趟处理轮空）：若子表个数为偶数，则要注意到最后一对子表中后一个子表区间的上限为n-1。

核心代码：

public  void MergePass( int[] array,  int gap,  int length) {
     int i = 0;
    
     //  归并gap长度的两个相邻子表
     for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
        Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
    }
    
     //  余下两个子表，后者长度小于gap
     if (i + gap - 1 < length) {
        Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
    }
}

public  int[] sort( int[] list) {
     for ( int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {
        MergePass(list, gap, list.length);
    }
     return list;
}

算法分析

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归并排序算法的性能

排序类别	排序方法	时间复杂度			空间复杂度	稳定性	复杂性
		平均情况	最坏情况	最好情况
归并排序	归并排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(n)	稳定	较复杂

 

时间复杂度

归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log₂n)。

 

空间复杂度

由前面的算法说明可知，算法处理过程中，需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。

算法稳定性

在归并排序中，相等的元素的顺序不会改变，所以它是稳定的算法。

 

归并排序和堆排序、快速排序的比较

若从空间复杂度来考虑：首选堆排序，其次是快速排序，最后是归并排序。

若从稳定性来考虑，应选取归并排序，因为堆排序和快速排序都是不稳定的。

若从平均情况下的排序速度考虑，应该选择快速排序。

完整实现

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以下代码可以直接运行。

public  class MergeSort {
     public  void Merge( int[] array,  int low,  int mid,  int high) {
         int i = low;  //  i是第一段序列的下标
         int j = mid + 1;  //  j是第二段序列的下标
         int k = 0;  //  k是临时存放合并序列的下标
         int[] array2 =  new  int[high - low + 1];  //  array2是临时合并序列

         //  扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束
         while (i <= mid && j <= high) {
             //  判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描
             if (array[i] <= array[j]) {
                array2[k] = array[i];
                i++;
                k++;
            }  else {
                array2[k] = array[j];
                j++;
                k++;
            }
        }

         //  若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
         while (i <= mid) {
            array2[k] = array[i];
            i++;
            k++;
        }

         //  若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
         while (j <= high) {
            array2[k] = array[j];
            j++;
            k++;
        }

         //  将合并序列复制到原始序列中
         for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
            array[i] = array2[k];
        }
    }

     public  void MergePass( int[] array,  int gap,  int length) {
         int i = 0;
        
         //  归并gap长度的两个相邻子表
         for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
            Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
        }
        
         //  余下两个子表，后者长度小于gap
         if (i + gap - 1 < length) {
            Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
        }
    }

     public  int[] sort( int[] list) {
         for ( int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {
            MergePass(list, gap, list.length);
            System.out.print("gap = " + gap + ":\t");
             this.printAll(list);
        }
         return list;
    }

     //  打印完整序列
     public  void printAll( int[] list) {
         for ( int value : list) {
            System.out.print(value + "\t");
        }
        System.out.println();
    }

     public  static  void main(String[] args) {
         int[] array = { 9, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 8, 7};
        MergeSort merge =  new MergeSort();
        System.out.print("排序前:\t\t");
        merge.printAll(array);
        merge.sort(array);
        System.out.print("排序后:\t\t");
        merge.printAll(array);
    }
}

归并排序之JAVA实现

 

运行结果

排序前:      9    1    5    3    4    2    6    8    7    
gap = 1:    1    9    3    5    2    4    6    8    7    
gap = 2:    1    3    5    9    2    4    6    8    7    
gap = 4:    1    2    3    4    5    6    8    9    7    
gap = 8:    1    2    3    4    5    6    7    8    9    
排序后:      1    2    3    4    5    6    7    8    9   

 

 

参考资料

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《数据结构习题与解析》（B级第3版） 

 

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