【概率论基础进阶】随机事件和概率-古典概型与伯努利概型

一、古典概型

定义：当试验结果为有限$n$个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件$A$由$n_A$个样本点组成，则事件$A$的概率
$$P(A)=\frac{n_A}{n}=\frac{A所包含的样本点数}{样本点总数}$$
称有限等可能试验中事件$A$的概率$P(A)$为古典型概率

例1：已知$6$个产品中混有$2$个次品，现每次一个的逐个随机抽取检验，求

• 恰好查三次就确定$2$次品的概率
• 不超过三次就确定$2$次品的概率

恰好查三次就确定$2$次品的概率，可以用全排列的方式
$$\frac{\stackrel{两个次品挑一个}{C_2^1}\stackrel{前两个位置挑一个}{C_2^1}{A}_4^4}{A_6^6}=\frac{2}{15}$$
也可以从位置的角度考虑，六个位置任选两个放次品，前两个选一个位置放次品，第三个位置放一个次品
$$\frac{C_2^1}{C_6^2}=\frac{2}{15}$$
不超过三次就确定$2$次品的概率，可以用全排列的方式
$$\frac{C_3^2{A}_2^2{A}_4^4}{A_6^6}=\frac{1}{5}$$
也可以从位置的角度考虑，挑两个位置给次品，次品必须在前三个位置中的两个
$$\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$$

一定要保持分子分母考虑对象相同，例如本题分母对所有物品排序，分子就是对所有物品符合条件的排序，或者另一种从位置的角度，分母对两个位置考虑，分子就是对符合条件的两个位置考虑

二、几何概型

定义：当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维、二维或三维等等），以$L(\Omega )$表示其几何度量（长度、面积、体积等等）。$L(\Omega )$为有限，且试验结果出现在$\Omega$中任何区域可能性只与该区域几何度量成正比。事件$A$的样本点所表示的区域为${\Omega }_A$，则事件$A$的概率
$$P(A)=\frac{L({\Omega }_A)}{L(\Omega )}=\frac{{\Omega }_A的几何度量}{\Omega 的几何度量}$$
称这样样本点个数无限但几何度量上的等可能试验中事件$A$的概率$P(A)$为几何型概率

三、伯努利概型

定义：把一随机试验独立重复做若干次，即各次试验所联系的事件之间相互独立，且同一事件在各个试验中出现的概率相同，称为独立重复试验

定义：如果每次试验只有两个结果$A$和$\bar{A}$，则称这种试验为伯努利试验，将伯努利试验独立重复进行$n$次，称为$n$重伯努利试验
设在每次试验中，概率$P(A)=p(0<p<1)$，则在$n$重伯努利试验中事件$A$发生$k$次的概率，又称为二项概率公式
$$C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n$$

例2：某人打靶的命中率为$\frac{1}{2}$，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中的概率为（）

本题可以理解为条件概率，即在射击命中的条件下是第一次命中的概率为（）
设$A$为至少命中一次，$B$为第一次命中，显然$B\subset A$。所求概率为
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{1-P(\bar{A})}=\frac{\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2}{)}^3}=\frac{4}{7}$$