【线性代数】第一章 1.1矩阵及其运算

【写在前面的话】众所周知，线性代数在计算机应用方面也是比较广的（比如人工智能等前沿科技领域）。所以...在CSDN记录线性代数的知识不为过吧，哈哈（//狗头保命）。从这里开始我将详细记录线性代数知识点。想要学线性代数的小伙伴可以跟随我的脚步一起学习一下。（坚持每天至少发一篇）话不多说，我们直接开始。

目录

1.1矩阵及其运算

一，矩阵的概念

二，矩阵的线性运算

三，矩阵的乘法

四，矩阵的转置

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一，矩阵的概念

我们先来看一下书上关于 矩阵的标准定义：由m×n个数排成的m行n列数表

 称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵，其中表示第i行第j列处的元（或称元素），i称为

的行指标，j称为 的列指标。

元是实数的矩阵称为实矩阵，元为复数的矩阵称为复矩阵。一般未加特殊说明，都默认为是实矩阵。

 举个简单的例子：如果你看到了一个形如这样的东西

,那么我们可以称它是一个3×5的矩阵，其中“3”表示这个矩阵的行，“4”表示这个矩阵的列（基于此，我们可以利用下标表示矩阵里的任何一个元，如：=3,,=6）。

以为矩阵的概念到此就介绍了吗？（哈哈，同学，你还是太单纯）请接收由矩阵的基础定义而拓展的一系列其他矩阵相关概念的“轰炸”。但是看的时候也不要有太多的心里负担，因为这些概念可以更好的帮助我们理解矩阵。（新增拓展矩阵概念已用“绿色”标记）

系数矩阵：

n元线性方程组

 的系数可以组成一个m行n列矩阵

 称为方程组的系数矩阵；

增广矩阵：

而系数及常数项可以组成一个m行n+1列矩阵

 称为方程组的增广矩阵。

 零矩阵：

元全为零的矩阵称为零矩阵，记作或（注意：m和n之间应该有个“×”，实在打不出来，呜呜呜┭┮﹏┭┮，之后类似的试子也是如此，比如下方的,，此后不再复述）.如

，.

当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方程）。

行矩阵和列矩阵：

只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵

   ,  分别称为行矩阵和列矩阵。

对角矩阵：

若矩阵的元=0(i≠j),则称A为对角矩阵，(i=1,2...,n)称为A的对角元，记作A=diag()

例如，

为二阶对角矩阵.

单位矩阵：

对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为,在不致混淆时也记为,即

要记住的含义呦~之后会经常用到的

上三角矩阵和下三角矩阵：

形如

的矩阵被称为上三角矩阵和下三角矩阵。

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二，矩阵的线性运算

为了讨论矩阵的运算，我们首先给出矩阵相等的概念。

如果A和B都是m×n矩阵，就称A和B为同型矩阵。

两个矩阵A=()和B=()如果是同型矩阵，且对应元相等，即,就称A和B相等。

现在我们介绍矩阵的加法

定义2（矩阵的加法）设矩阵

是两个m×n矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的m×n矩阵

则称矩阵C是矩阵A和B的和，记为C=A+B.

举个栗子：若

 那么

值得注意的是，只有同型矩阵才能相加，且同型矩阵之和仍为同型矩阵。

下面介绍矩阵与数的乘积 

定义3（矩阵的乘数）设m×n是一个m×n矩阵，k是一个数，则称矩阵

为矩阵A和数k的乘积（简称矩阵的数乘），记为kA.

也就是说，用数k乘矩阵A就是将A中每一元都乘k.

 矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算。

基于此，容易得出矩阵的线性运算满足下列八条性质。

设A,B,C为同型矩阵，k,l为数.

   A+B=B+A

   (A+B)+C=A+(B+C)

   A+O=A

   A+(-A)=O

   1A=A

   k(lA)=(kl)A

   k(A+B)=kA+kB

   (k+l)A=kA+lA  

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 三，矩阵的乘法 

定义4 设m×p矩阵m×p，p×n矩阵B=p×n，则由元

         

构成的m×n矩阵m×n称为矩阵A和B的乘积，记为C=AB.

举个例子：设

则

有定义可知：

（1）A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；

（2）乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数；

（3） 乘积C中第i行第j列元等于A的第i行元与B的第j列元对应乘积之和，即 

矩阵乘法满足下列运算规律：

   结合律  （AB）C=A(BC);

   数乘结合律  k(AB)=(kA)B=A(kB),k为数;

   分配律  A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.

 请看下面的例子：设求AB和BA.

显然

在上述例子中我们可以看出矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般AB≠BA。

当AB≠BA时，称A与B不可交换；当AB=BA时，称A与B可交换。

 由例子还可见，A,B都是非零矩阵，但AB=O.由此可知，矩阵的乘法不满足消去律，即A≠0时，由AB=AC不能推出B=C.

 矩阵乘法一般不满足交换律，但是，容易得到如下常用结果：

m×n=m×n，×n=m×n.   我们称

            （k≠0）

为数量矩阵。

n阶数量矩阵与任意n阶矩阵A也是可交换的，这是因为

我们还可定义方阵的幂和方阵的多项式.

定义 5 设A是n阶方阵，k为正整数，定义

由定义可证明：当m,k为正整数时，

但需注意，一般≠.

当AB=BA时，但其逆不真。

定义 6 设f(x)=是x的k次多项式，A是n阶方阵，则

 f(A)=

 称为方阵A的k次多项式.

由定义容易证明：若f(x),g(x)为多项式，A,B均为n阶方阵，则

f(A)g(A)=f(B)g(B).

 但是一般情况下

f(A)g(B)≠g(B)f(A)

 这里要注意，一般来说

等等 。但是，由于（当时）因而 

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 四，矩阵的转置

把一个矩阵A的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置，记为.确切的定义如下

定义 7 设

则称

 为A的转置。

显然，m×n矩阵的转置是n×m矩阵.

矩阵的转置满足以下规律：

   

   

   k为数

   

定义 8 若 则称A为对称矩阵；若,则称A为反称矩阵.

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海

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