守枫竹清
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四元数

四元数

对于四元数的概念也许大家不太熟悉，这里介绍下四元数概念，四元数、矩阵和欧拉角之间的关系，四元数球面插值的概念。这还是从当年写的本科毕业论文中摘录下来的，相当的没有技术含量。四元数的代码实现，见下载页面。

一． 四元数

1.1 四元数的概念

四元数是由爱尔兰数学家威廉•卢云•哈密顿在1843年发现的数学概念，在图形学中有重要的应用。在3D程序中，通常用四元数来计算3D物体的旋转角度，与矩阵相比，四元数更加高效，占用的储存空间更小，此外也更便于插值。 可以把四元数看做一个标量和一个3D向量的组合。实部w表示标量，虚部表示向量标记为V或三个单独的分量（x,y,z）,则四元数可以记为[ w, V]或[ w，（x,y,z）]。正规化四元数可以表示为：在三维中，可以用四元数表示绕着某个轴的旋转，如下公式所示：

α表示旋转的角度，cos(βx), cos(βy) 和cos(βz)表示定位旋转轴的方向余弦

根据欧拉旋转定理，任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征矢量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。上面这段话阐述了四元数的原理：三维空间内所有的旋转都可以用四个数来表示。在通过四元数方法来计算旋转，已经替代了方向余弦方法，这是因为它能减少所需的工作，和它能减小舍入误差。在电脑图形学里，四元数与四元数之间，简易执行插值的能力是很有价值的。

1.2 旋转矩阵

旋转矩阵（Rotation Matrix）与一个向量相乘，会改变向量的方向但不改变大小的效果。旋转可分为主动旋转与被动旋转。主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴所做出的旋转。被动旋转是对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。只用三个实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

1.2 欧拉角

图1 欧拉角表示

设定 xyz-轴为参考系的参考轴，称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:（1）a 是 x-轴与交点线的夹角；（2）B是 z-轴与Z-轴的夹角；（3）r 是交点线与X-轴的夹角。 欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向，如图1所示。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。 设定刚体取向的旋转矩阵[R]是由三个基本旋转矩阵合成的，单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转。但是，当它们照次序相乘，最里面的(最右的) 矩阵代表绕着 z 轴的旋转，最外面的(最左的) 矩阵代表绕着 Z 轴的旋转，在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。

1.3    旋转矩阵、欧拉角和四元数之间的转化关系

旋转矩阵、欧拉角、四元数都可以表示三维空间模型的旋转，三者间也可以相互转化。正规化四元数q0+iq1+jq2+kq3可以用矩阵形式表示：  欧拉角也可转化成矩阵形式，欧拉角φ, θ, ψ表示的顺时针旋转可以用下面的矩阵形式表示：  通过组合欧拉旋转（欧拉角分别是, θ, ψ）的四元数表达示，可以得到欧拉角到四元数的转化关系，如下面的公式所示：  同时可以得到，四元数到欧拉角的转换关系，如下面的公式所示：

arctan和arcsin的结果是[-π/2,π/2]，这并不能覆盖所有朝向，因此需要用atan2来代替arctan，从而产生所有可能的朝向，得到新的公式如下面所示：

1.4    线性插值与球面插值

在二维空间对向量进行线性插值，如图2所示，从而在向量间取得线性平滑的插值。得到等式P(t)=P0+(P1-P0)*t , 0 <= t <=1，通常还要将它标准化，转化为P(t)=P(t)/|P(t)|，这种方式的缺点便是在以 |P0| 为半径的圆的曲线轨迹上不是恒速变化的。

图2线性插值

四元数在球面插值（Spherical Linear Interpolation）中仍只用于描述旋转，它是关于单位四元数构成的球表面上的操作，并且这一插值过程适用于在由三维向量升维构成的单位四元数中进行，所以基本上一次的插值过程可以降维到三维空间解释。其次，当向量仅发生旋转时，要求其起点向量到终点向量位于同一个二维空间，所以，球面插值本质上是处于二维空间的弧形插值。并且我们总是使用单位四元数来描述角度插值，因此在二维空间，被插值向量的长度是单位长度的，起始和终止向量以及由其长度为半径构成的圆中向量所夹的弧形便是我们观察的插值轨迹。 如图3球面插值所示，将 P(t) 分解为 P0 以及 P1 向量上的两个分量，根据平行四边形法则，我们首先观察在 P0 上的分量的长度 a(t)，为了得到这个长度，作了 P0 末端到 A 以及 P(t) 末端到 B 的辅助线，根据相似三角形，各个边，得到比例关系a(t)/|P0|=sin(ang*(1-f))|P(t)|/(sin(ang)*|P0|),如果使用标准化的向量，简化为：a(t)=sin(ang*(1-f))/sin(ang)。使用同样的手段来计算另一个分量 b(t)=sin(ang*f)/sin(ang)，最后得到这样的一组公式：P(t)=a(t)*P0+b(t)*P1。

图3 球面插值

二． 参考

【1】      http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

【2】      http://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles

【3】      http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion
转载：http://www.twinklingstar.cn/2013/534/intro-to-quaternion/

矩阵，欧拉角，四元素之间的相互转换

 

矩阵转四元素：

[cpp] view plaincopy
  1. FQuat::FQuat( const FMatrix& M )  
  2. {  
  3.     //const MeReal *const t = (MeReal *) tm;  
  4.     FLOAT   s;  
  5.   
  6.     // Check diagonal (trace)  
  7.     const FLOAT tr = M.M[0][0] + M.M[1][1] + M.M[2][2];  
  8.   
  9.     if (tr > 0.0f)   
  10.     {  
  11.         FLOAT InvS = appInvSqrt(tr + 1.f);  
  12.         this->W = 0.5f * (1.f / InvS);  
  13.         s = 0.5f * InvS;  
  14.   
  15.         this->X = (M.M[1][2] - M.M[2][1]) * s;  
  16.         this->Y = (M.M[2][0] - M.M[0][2]) * s;  
  17.         this->Z = (M.M[0][1] - M.M[1][0]) * s;  
  18.     }   
  19.     else   
  20.     {  
  21.         // diagonal is negative  
  22.         INT i = 0;  
  23.   
  24.         if (M.M[1][1] > M.M[0][0])  
  25.             i = 1;  
  26.   
  27.         if (M.M[2][2] > M.M[i][i])  
  28.             i = 2;  
  29.   
  30.         static const INT nxt[3] = { 1, 2, 0 };  
  31.         const INT j = nxt[i];  
  32.         const INT k = nxt[j];  
  33.   
  34.         s = M.M[i][i] - M.M[j][j] - M.M[k][k] + 1.0f;  
  35.   
  36.         FLOAT InvS = appInvSqrt(s);  
  37.   
  38.         FLOAT qt[4];  
  39.         qt[i] = 0.5f * (1.f / InvS);  
  40.   
  41.         s = 0.5f * InvS;  
  42.   
  43.         qt[3] = (M.M[j][k] - M.M[k][j]) * s;  
  44.         qt[j] = (M.M[i][j] + M.M[j][i]) * s;  
  45.         qt[k] = (M.M[i][k] + M.M[k][i]) * s;  
  46.   
  47.         this->X = qt[0];  
  48.         this->Y = qt[1];  
  49.         this->Z = qt[2];  
  50.         this->W = qt[3];  
  51.     }  
  52. }  
  53.   
  54.   
  55. //  
  56. // MSM: Fast float inverse square root using SSE.  
  57. // Accurate to within 1 LSB.  
  58. //  
  59. FORCEINLINE FLOAT appInvSqrt( FLOAT F )  
  60. {  
  61.     const FLOAT fThree = 3.0f;  
  62.     const FLOAT fOneHalf = 0.5f;  
  63.     FLOAT temp;  
  64.   
  65.     __asm  
  66.     {  
  67.         movss   xmm1,[F]  
  68.         rsqrtss xmm0,xmm1           // 1/sqrt estimate (12 bits)  
  69.   
  70.         // Newton-Raphson iteration (X1 = 0.5*X0*(3-(Y*X0)*X0))  
  71.         movss   xmm3,[fThree]  
  72.         movss   xmm2,xmm0  
  73.         mulss   xmm0,xmm1           // Y*X0  
  74.         mulss   xmm0,xmm2           // Y*X0*X0  
  75.         mulss   xmm2,[fOneHalf]     // 0.5*X0  
  76.         subss   xmm3,xmm0           // 3-Y*X0*X0  
  77.         mulss   xmm3,xmm2           // 0.5*X0*(3-Y*X0*X0)  
  78.         movss   [temp],xmm3  
  79.     }  
  80.   
  81.     return temp;  
  82. }  

矩阵转欧拉角

[cpp]  view plain copy
  1. FRotator FMatrix::Rotator() const  
  2. {  
  3.     const FVector       XAxis   = GetAxis( 0 );  
  4.     const FVector       YAxis   = GetAxis( 1 );  
  5.     const FVector       ZAxis   = GetAxis( 2 );  
  6.   
  7.     FRotator    Rotator = FRotator(   
  8.                                     appRound(appAtan2( XAxis.Z, appSqrt(Square(XAxis.X)+Square(XAxis.Y)) ) * 32768.f / PI),   
  9.                                     appRound(appAtan2( XAxis.Y, XAxis.X ) * 32768.f / PI),   
  10.                                     0   
  11.                                 );  
  12.       
  13.     const FVector       SYAxis  = FRotationMatrix( Rotator ).GetAxis(1);  
  14.     Rotator.Roll        = appRound(appAtan2( ZAxis | SYAxis, YAxis | SYAxis ) * 32768.f / PI);  
  15.     return Rotator;  
  16. }  
  17.   
  18. FRotator( INT InPitch, INT InYaw, INT InRoll )  
  19.     :   Pitch(InPitch), Yaw(InYaw), Roll(InRoll) {}  

 

欧拉角转矩阵

 

 

[cpp]  view plain copy
  1. FRotationMatrix(const FRotator& Rot)  
  2.     {  
  3.         const FLOAT SR  = GMath.SinTab(Rot.Roll);  
  4.         const FLOAT SP  = GMath.SinTab(Rot.Pitch);  
  5.         const FLOAT SY  = GMath.SinTab(Rot.Yaw);  
  6.         const FLOAT CR  = GMath.CosTab(Rot.Roll);  
  7.         const FLOAT CP  = GMath.CosTab(Rot.Pitch);  
  8.         const FLOAT CY  = GMath.CosTab(Rot.Yaw);  
  9.   
  10.         M[0][0] = CP * CY;  
  11.         M[0][1] = CP * SY;  
  12.         M[0][2] = SP;  
  13.         M[0][3] = 0.f;  
  14.   
  15.         M[1][0] = SR * SP * CY - CR * SY;  
  16.         M[1][1] = SR * SP * SY + CR * CY;  
  17.         M[1][2] = - SR * CP;  
  18.         M[1][3] = 0.f;  
  19.   
  20.         M[2][0] = -( CR * SP * CY + SR * SY );  
  21.         M[2][1] = CY * SR - CR * SP * SY;  
  22.         M[2][2] = CR * CP;  
  23.         M[2][3] = 0.f;  
  24.   
  25.         M[3][0] = 0.f;  
  26.         M[3][1] = 0.f;  
  27.         M[3][2] = 0.f;  
  28.         M[3][3] = 1.f;  
  29.     }  
  30. class FGlobalMath  
  31. {  
  32. public:  
  33.     // Constants.  
  34.     enum {ANGLE_SHIFT   = 2};       // Bits to right-shift to get lookup value.  
  35.     enum {ANGLE_BITS    = 14};      // Number of valid bits in angles.  
  36.     enum {NUM_ANGLES    = 16384};   // Number of angles that are in lookup table.  
  37.     enum {ANGLE_MASK    =  (((1<
  38.   
  39.     // Basic math functions.  
  40.     FORCEINLINE FLOAT SinTab( int i ) const  
  41.     {  
  42.         return TrigFLOAT[((i>>ANGLE_SHIFT)&(NUM_ANGLES-1))];  
  43.     }  
  44.     FORCEINLINE FLOAT CosTab( int i ) const  
  45.     {  
  46.         return TrigFLOAT[(((i+16384)>>ANGLE_SHIFT)&(NUM_ANGLES-1))];  
  47.     }  
  48.     FLOAT SinFloat( FLOAT F ) const  
  49.     {  
  50.         return SinTab(appTrunc((F*65536.f)/(2.f*PI)));  
  51.     }  
  52.     FLOAT CosFloat( FLOAT F ) const  
  53.     {  
  54.         return CosTab(appTrunc((F*65536.f)/(2.f*PI)));  
  55.     }  
  56.   
  57.     // Constructor.  
  58.     FGlobalMath();  
  59.   
  60. private:  
  61.     // Tables.  
  62.     FLOAT  TrigFLOAT        [NUM_ANGLES];  
  63. };  

 

四元素转矩阵

 

[cpp]  view plain copy
  1. FQuatRotationTranslationMatrix(const FQuat& Q, const FVector& Origin)  
  2. {  
  3.     const FLOAT x2 = Q.X + Q.X;  const FLOAT y2 = Q.Y + Q.Y;  const FLOAT z2 = Q.Z + Q.Z;  
  4.     const FLOAT xx = Q.X * x2;   const FLOAT xy = Q.X * y2;   const FLOAT xz = Q.X * z2;  
  5.     const FLOAT yy = Q.Y * y2;   const FLOAT yz = Q.Y * z2;   const FLOAT zz = Q.Z * z2;  
  6.     const FLOAT wx = Q.W * x2;   const FLOAT wy = Q.W * y2;   const FLOAT wz = Q.W * z2;  
  7.   
  8.     M[0][0] = 1.0f - (yy + zz); M[1][0] = xy - wz;              M[2][0] = xz + wy;          M[3][0] = Origin.X;  
  9.     M[0][1] = xy + wz;          M[1][1] = 1.0f - (xx + zz);     M[2][1] = yz - wx;          M[3][1] = Origin.Y;  
  10.     M[0][2] = xz - wy;          M[1][2] = yz + wx;              M[2][2] = 1.0f - (xx + yy); M[3][2] = Origin.Z;  
  11.     M[0][3] = 0.0f;             M[1][3] = 0.0f;                 M[2][3] = 0.0f;             M[3][3] = 1.0f;  
  12. }  
  13.   
  14. QuatRotationTranslationMatrix( *this, FVector(0.f) )  

 四元素与欧拉角的转换都是通过矩阵来做中间跳板！

 

从一个向量旋转到另一个向量的四元素：

[cpp]  view plain copy
  1. FQuat FQuatFindBetween(const FVector& vec1, const FVector& vec2)  
  2. {  
  3.     const FVector cross = vec1 ^ vec2;  
  4.     const FLOAT crossMag = cross.Size();  
  5.   
  6.     if(crossMag < KINDA_SMALL_NUMBER)  
  7.     {  
  8.         const FLOAT Dot = vec1 | vec2;  
  9.         if(Dot > -KINDA_SMALL_NUMBER)  
  10.         {  
  11.             return FQuat::Identity; // no rotation  
  12.         }  
  13.         else  
  14.         {  
  15.             // rotation by 180 degrees around a vector orthogonal to vec1 & vec2  
  16.             FVector Vec = vec1.SizeSquared() > vec2.SizeSquared() ? vec1 : vec2;  
  17.             Vec.Normalize();  
  18.   
  19.             FVector AxisA, AxisB;  
  20.             Vec.FindBestAxisVectors(AxisA, AxisB);  
  21.   
  22.             return FQuat(AxisA.X, AxisA.Y, AxisA.Z, 0.f); // (axis*sin(pi/2), cos(pi/2)) = (axis, 0)  
  23.         }  
  24.     }  
  25.   
  26.     FLOAT angle = appAsin(crossMag);  
  27.   
  28.     const FLOAT dot = vec1 | vec2;  
  29.     if(dot < 0.0f)  
  30.     {  
  31.         angle = PI - angle;  
  32.     }  
  33.   
  34.     const FLOAT sinHalfAng = appSin(0.5f * angle);  
  35.     const FLOAT cosHalfAng = appCos(0.5f * angle);  
  36.     const FVector axis = cross / crossMag;  
  37.   
  38.     return FQuat(  
  39.         sinHalfAng * axis.X,  
  40.         sinHalfAng * axis.Y,  
  41.         sinHalfAng * axis.Z,  
  42.         cosHalfAng );  
  43. }  
  44.   
  45. #define KINDA_SMALL_NUMBER  (1.e-4)  
  46.   
  47. FQuat( FLOAT InX, FLOAT InY, FLOAT InZ, FLOAT InA )  
  48.     :   X(InX), Y(InY), Z(InZ), W(InA)  
  49.     {}  

 


矩阵，欧拉角，四元素之间的相互转换

 

矩阵转四元素：

[cpp] view plaincopy
  1. FQuat::FQuat( const FMatrix& M )  
  2. {  
  3.     //const MeReal *const t = (MeReal *) tm;  
  4.     FLOAT   s;  
  5.   
  6.     // Check diagonal (trace)  
  7.     const FLOAT tr = M.M[0][0] + M.M[1][1] + M.M[2][2];  
  8.   
  9.     if (tr > 0.0f)   
  10.     {  
  11.         FLOAT InvS = appInvSqrt(tr + 1.f);  
  12.         this->W = 0.5f * (1.f / InvS);  
  13.         s = 0.5f * InvS;  
  14.   
  15.         this->X = (M.M[1][2] - M.M[2][1]) * s;  
  16.         this->Y = (M.M[2][0] - M.M[0][2]) * s;  
  17.         this->Z = (M.M[0][1] - M.M[1][0]) * s;  
  18.     }   
  19.     else   
  20.     {  
  21.         // diagonal is negative  
  22.         INT i = 0;  
  23.   
  24.         if (M.M[1][1] > M.M[0][0])  
  25.             i = 1;  
  26.   
  27.         if (M.M[2][2] > M.M[i][i])  
  28.             i = 2;  
  29.   
  30.         static const INT nxt[3] = { 1, 2, 0 };  
  31.         const INT j = nxt[i];  
  32.         const INT k = nxt[j];  
  33.   
  34.         s = M.M[i][i] - M.M[j][j] - M.M[k][k] + 1.0f;  
  35.   
  36.         FLOAT InvS = appInvSqrt(s);  
  37.   
  38.         FLOAT qt[4];  
  39.         qt[i] = 0.5f * (1.f / InvS);  
  40.   
  41.         s = 0.5f * InvS;  
  42.   
  43.         qt[3] = (M.M[j][k] - M.M[k][j]) * s;  
  44.         qt[j] = (M.M[i][j] + M.M[j][i]) * s;  
  45.         qt[k] = (M.M[i][k] + M.M[k][i]) * s;  
  46.   
  47.         this->X = qt[0];  
  48.         this->Y = qt[1];  
  49.         this->Z = qt[2];  
  50.         this->W = qt[3];  
  51.     }  
  52. }  
  53.   
  54.   
  55. //  
  56. // MSM: Fast float inverse square root using SSE.  
  57. // Accurate to within 1 LSB.  
  58. //  
  59. FORCEINLINE FLOAT appInvSqrt( FLOAT F )  
  60. {  
  61.     const FLOAT fThree = 3.0f;  
  62.     const FLOAT fOneHalf = 0.5f;  
  63.     FLOAT temp;  
  64.   
  65.     __asm  
  66.     {  
  67.         movss   xmm1,[F]  
  68.         rsqrtss xmm0,xmm1           // 1/sqrt estimate (12 bits)  
  69.   
  70.         // Newton-Raphson iteration (X1 = 0.5*X0*(3-(Y*X0)*X0))  
  71.         movss   xmm3,[fThree]  
  72.         movss   xmm2,xmm0  
  73.         mulss   xmm0,xmm1           // Y*X0  
  74.         mulss   xmm0,xmm2           // Y*X0*X0  
  75.         mulss   xmm2,[fOneHalf]     // 0.5*X0  
  76.         subss   xmm3,xmm0           // 3-Y*X0*X0  
  77.         mulss   xmm3,xmm2           // 0.5*X0*(3-Y*X0*X0)  
  78.         movss   [temp],xmm3  
  79.     }  
  80.   
  81.     return temp;  
  82. }  

矩阵转欧拉角

[cpp]  view plain copy
  1. FRotator FMatrix::Rotator() const  
  2. {  
  3.     const FVector       XAxis   = GetAxis( 0 );  
  4.     const FVector       YAxis   = GetAxis( 1 );  
  5.     const FVector       ZAxis   = GetAxis( 2 );  
  6.   
  7.     FRotator    Rotator = FRotator(   
  8.                                     appRound(appAtan2( XAxis.Z, appSqrt(Square(XAxis.X)+Square(XAxis.Y)) ) * 32768.f / PI),   
  9.                                     appRound(appAtan2( XAxis.Y, XAxis.X ) * 32768.f / PI),   
  10.                                     0   
  11.                                 );  
  12.       
  13.     const FVector       SYAxis  = FRotationMatrix( Rotator ).GetAxis(1);  
  14.     Rotator.Roll        = appRound(appAtan2( ZAxis | SYAxis, YAxis | SYAxis ) * 32768.f / PI);  
  15.     return Rotator;  
  16. }  
  17.   
  18. FRotator( INT InPitch, INT InYaw, INT InRoll )  
  19.     :   Pitch(InPitch), Yaw(InYaw), Roll(InRoll) {}  

 

欧拉角转矩阵

 

 

[cpp]  view plain copy
  1. FRotationMatrix(const FRotator& Rot)  
  2.     {  
  3.         const FLOAT SR  = GMath.SinTab(Rot.Roll);  
  4.         const FLOAT SP  = GMath.SinTab(Rot.Pitch);  
  5.         const FLOAT SY  = GMath.SinTab(Rot.Yaw);  
  6.         const FLOAT CR  = GMath.CosTab(Rot.Roll);  
  7.         const FLOAT CP  = GMath.CosTab(Rot.Pitch);  
  8.         const FLOAT CY  = GMath.CosTab(Rot.Yaw);  
  9.   
  10.         M[0][0] = CP * CY;  
  11.         M[0][1] = CP * SY;  
  12.         M[0][2] = SP;  
  13.         M[0][3] = 0.f;  
  14.   
  15.         M[1][0] = SR * SP * CY - CR * SY;  
  16.         M[1][1] = SR * SP * SY + CR * CY;  
  17.         M[1][2] = - SR * CP;  
  18.         M[1][3] = 0.f;  
  19.   
  20.         M[2][0] = -( CR * SP * CY + SR * SY );  
  21.         M[2][1] = CY * SR - CR * SP * SY;  
  22.         M[2][2] = CR * CP;  
  23.         M[2][3] = 0.f;  
  24.   
  25.         M[3][0] = 0.f;  
  26.         M[3][1] = 0.f;  
  27.         M[3][2] = 0.f;  
  28.         M[3][3] = 1.f;  
  29.     }  
  30. class FGlobalMath  
  31. {  
  32. public:  
  33.     // Constants.  
  34.     enum {ANGLE_SHIFT   = 2};       // Bits to right-shift to get lookup value.  
  35.     enum {ANGLE_BITS    = 14};      // Number of valid bits in angles.  
  36.     enum {NUM_ANGLES    = 16384};   // Number of angles that are in lookup table.  
  37.     enum {ANGLE_MASK    =  (((1<
  38.   
  39.     // Basic math functions.  
  40.     FORCEINLINE FLOAT SinTab( int i ) const  
  41.     {  
  42.         return TrigFLOAT[((i>>ANGLE_SHIFT)&(NUM_ANGLES-1))];  
  43.     }  
  44.     FORCEINLINE FLOAT CosTab( int i ) const  
  45.     {  
  46.         return TrigFLOAT[(((i+16384)>>ANGLE_SHIFT)&(NUM_ANGLES-1))];  
  47.     }  
  48.     FLOAT SinFloat( FLOAT F ) const  
  49.     {  
  50.         return SinTab(appTrunc((F*65536.f)/(2.f*PI)));  
  51.     }  
  52.     FLOAT CosFloat( FLOAT F ) const  
  53.     {  
  54.         return CosTab(appTrunc((F*65536.f)/(2.f*PI)));  
  55.     }  
  56.   
  57.     // Constructor.  
  58.     FGlobalMath();  
  59.   
  60. private:  
  61.     // Tables.  
  62.     FLOAT  TrigFLOAT        [NUM_ANGLES];  
  63. };  

 

四元素转矩阵

 

[cpp]  view plain copy
  1. FQuatRotationTranslationMatrix(const FQuat& Q, const FVector& Origin)  
  2. {  
  3.     const FLOAT x2 = Q.X + Q.X;  const FLOAT y2 = Q.Y + Q.Y;  const FLOAT z2 = Q.Z + Q.Z;  
  4.     const FLOAT xx = Q.X * x2;   const FLOAT xy = Q.X * y2;   const FLOAT xz = Q.X * z2;  
  5.     const FLOAT yy = Q.Y * y2;   const FLOAT yz = Q.Y * z2;   const FLOAT zz = Q.Z * z2;  
  6.     const FLOAT wx = Q.W * x2;   const FLOAT wy = Q.W * y2;   const FLOAT wz = Q.W * z2;  
  7.   
  8.     M[0][0] = 1.0f - (yy + zz); M[1][0] = xy - wz;              M[2][0] = xz + wy;          M[3][0] = Origin.X;  
  9.     M[0][1] = xy + wz;          M[1][1] = 1.0f - (xx + zz);     M[2][1] = yz - wx;          M[3][1] = Origin.Y;  
  10.     M[0][2] = xz - wy;          M[1][2] = yz + wx;              M[2][2] = 1.0f - (xx + yy); M[3][2] = Origin.Z;  
  11.     M[0][3] = 0.0f;             M[1][3] = 0.0f;                 M[2][3] = 0.0f;             M[3][3] = 1.0f;  
  12. }  
  13.   
  14. QuatRotationTranslationMatrix( *this, FVector(0.f) )  

 四元素与欧拉角的转换都是通过矩阵来做中间跳板！

 

从一个向量旋转到另一个向量的四元素：

[cpp]  view plain copy
  1. FQuat FQuatFindBetween(const FVector& vec1, const FVector& vec2)  
  2. {  
  3.     const FVector cross = vec1 ^ vec2;  
  4.     const FLOAT crossMag = cross.Size();  
  5.   
  6.     if(crossMag < KINDA_SMALL_NUMBER)  
  7.     {  
  8.         const FLOAT Dot = vec1 | vec2;  
  9.         if(Dot > -KINDA_SMALL_NUMBER)  
  10.         {  
  11.             return FQuat::Identity; // no rotation  
  12.         }  
  13.         else  
  14.         {  
  15.             // rotation by 180 degrees around a vector orthogonal to vec1 & vec2  
  16.             FVector Vec = vec1.SizeSquared() > vec2.SizeSquared() ? vec1 : vec2;  
  17.             Vec.Normalize();  
  18.   
  19.             FVector AxisA, AxisB;  
  20.             Vec.FindBestAxisVectors(AxisA, AxisB);  
  21.   
  22.             return FQuat(AxisA.X, AxisA.Y, AxisA.Z, 0.f); // (axis*sin(pi/2), cos(pi/2)) = (axis, 0)  
  23.         }  
  24.     }  
  25.   
  26.     FLOAT angle = appAsin(crossMag);  
  27.   
  28.     const FLOAT dot = vec1 | vec2;  
  29.     if(dot < 0.0f)  
  30.     {  
  31.         angle = PI - angle;  
  32.     }  
  33.   
  34.     const FLOAT sinHalfAng = appSin(0.5f * angle);  
  35.     const FLOAT cosHalfAng = appCos(0.5f * angle);  
  36.     const FVector axis = cross / crossMag;  
  37.   
  38.     return FQuat(  
  39.         sinHalfAng * axis.X,  
  40.         sinHalfAng * axis.Y,  
  41.         sinHalfAng * axis.Z,  
  42.         cosHalfAng );  
  43. }  
  44.   
  45. #define KINDA_SMALL_NUMBER  (1.e-4)  
  46.   
  47. FQuat( FLOAT InX, FLOAT InY, FLOAT InZ, FLOAT InA )  
  48.     :   X(InX), Y(InY), Z(InZ), W(InA)  
  49.     {}  

 

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    辛丑小阳春，新自剪扇面400品，大多为各色撒金、撒银、描金、描银、水印、彩绘、荧光等亚粉、色宣纸，以及域外包装填充纸等；王一品长锋羊毫秃笔；一得阁云头艳墨、宿墨、水等。书体有甲骨文，金文(商周金文、春秋战国金文、中山王厝器金文、汉金文……)，楚简帛书，侯马盟书，温县盟书，小篆，果蝙书等，隶书(秦简、汉简帛书、汉碑……)，草书(章草、小草、大草……)，行书(行楷、行草)，楷书(魏碑及北朝墓志、隋朝墓
  • 南美洲的奇特艺术品【神秘档案馆·第三期】 清风小和尚
    本期回答问题：1.复活节岛石像是谁建造的？2.复活节岛石像的建造方法与目的？3.纳斯卡线条的设计意义？南美洲是南亚美利加洲的简称，位于西半球的南部，东濒大西洋，西临太平洋，北滨加勒比海，南隔德雷克海峡与南极洲相望。对南美洲最简单的定位方法是：美国南面。南美洲是地球上第四大的大洲，有着种类繁多的物种和丰富的地形。在这片广袤的土地上，有两样奇特的艺术品---复活节岛摩艾石像与纳斯卡线条。摩艾石像（Mo
  • 数据结构之哈希表 X同学的开始 数据结构数据结构散列表
    哈希表(散列表)出现的原因在顺序表中查找时，需要从表头开始，依次遍历比较a[i]与key的值是否相等，直到相等才返回索引i；在有序表中查找时，我们经常使用的是二分查找，通过比较key与a[i]的大小来折半查找，直到相等时才返回索引i。最终通过索引找到我们要找的元素。但是，这两种方法的效率都依赖于查找中比较的次数。我们有一种想法，能不能不经过比较，而是直接通过关键字key一次得到所要的结果呢？这时，
  • 209. 长度最小的子数组（滑动窗口法） 清榎 leetcode刷题c++leetcode算法
    209.长度最小的子数组题目描述：给定一个含有n个正整数的数组和一个正整数target。找出该数组中满足其和≥target的长度最小的连续子数组[numsl,numsl+1,...,numsr-1,numsr]，并返回其长度。如果不存在符合条件的子数组，返回0。解答：法一：直接使用暴力法。两重循环，对每一个元素向后进行寻找，若找到一个子数组≥target，比较其长度和result的大小，如果其长度
  • Python中深拷贝与浅拷贝的区别 yuxiaoyu.
    转自：http://blog.csdn.net/u014745194/article/details/70271868定义：在Python中对象的赋值其实就是对象的引用。当创建一个对象，把它赋值给另一个变量的时候，python并没有拷贝这个对象，只是拷贝了这个对象的引用而已。浅拷贝：拷贝了最外围的对象本身，内部的元素都只是拷贝了一个引用而已。也就是，把对象复制一遍，但是该对象中引用的其他对象我不复
  • 女儿考研完报考雅思 捡拾流年
    是否我过于焦虑？会不会无形间让女儿觉得压力太大了啊。2022年对于我们家来说是不平常的一年。女儿今年大四，为了准备考研，暑假也没回家，年初去了学校到了年末才回家。女儿自己一个人面对考研，没有参加培训，大四学校作业论文等课业也多，她同时也是很努力复习考研的。在疫情开放很多羊的时期，女儿终于顺顺利利参加12月24、25号的考研，我们和家人都觉得女儿回家来要好好休息调养。可女儿回到家，我再查阅考研信息，
  • “这才好”麻辣香锅 能够增加人身体的免疫能力 小补文知
    我就来介绍一种香锅，那就是“这才好”麻辣香锅，它产出于著名的蜀地文化，具有悠久的历史土家风味，麻辣鲜香，健康安全。采用传统秘制麻辣香锅油辣子，还有贴心加料“孜然包”满足人们的不同口味需求，香锅底料辣椒，微辣且香，含有丰富微量元素和维生素，具有辣而不躁，味道纯正，醇厚温和。花椒采用历史悠久，被列为宫廷供品的“贡椒”的汉源花椒。我们还挑选了“川菜之魂”郫县豆瓣的鼻祖品牌豆瓣，保留最原始的郫县豆瓣味道，
  • 《太虚游》第六十二章。玄牝之威。 古楼臭道士
    “好好好，流云这孩子深得我心，想必长爻知道是你的话定然会惊喜不已的。”白玄牝听得风流云应了下来，脸色慈和，伸手在他头顶轻轻抚了抚，如同抚在怀中九尾小狐一样自然，极其温柔。身后的四位青丘长老同时一怔，嘴角微动，似要开口劝阻。风流云只感到一道霞光瑞气如有实质一般顺着头顶百会大穴直沉在下丹田内，随后这股气息又逐渐凝聚，似乎给自己吃了什么东西一般。啊喔不好，这祖奶奶该不会是看中我这肉身，像人魔一样，要给她
  • 一文掌握python常用的list（列表）操作 程序员neil pythonpython开发语言
    目录一、创建列表1.直接创建列表：2.使用list()构造器3.使用列表推导式4.创建空列表二、访问列表元素1.列表支持通过索引访问元素，索引从0开始：2.还可以使用切片操作访问列表的一部分：三、修改列表元素四、添加元素1.append()：在末尾添加元素2.insert()：在指定位置插入元素五、删除元素1.del：删除指定位置的元素2.remove()：删除指定值的第一个匹配项3.pop()：
  • Java开发中，spring mvc 的线程怎么调用？ 小麦麦子 springmvc
    今天逛知乎，看到最近很多人都在问spring mvc 的线程http://www.maiziedu.com/course/java/ 的启动问题，觉得挺有意思的，那哥们儿问的也听仔细，下面的回答也很详尽，分享出来，希望遇对遇到类似问题的Java开发程序猿有所帮助。 问题：     在用spring mvc架构的网站上，设一线程在虚拟机启动时运行，线程里有一全局
  • maven依赖范围 bitcarter maven
    1.test 测试的时候才会依赖，编译和打包不依赖，如junit不被打包 2.compile 只有编译和打包时才会依赖 3.provided 编译和测试的时候依赖，打包不依赖，如：tomcat的一些公用jar包 4.runtime 运行时依赖，编译不依赖 5.默认compile 依赖范围compile是支持传递的，test不支持传递 1.传递的意思是项目A，引用
  • Jaxb org.xml.sax.saxparseexception : premature end of file darrenzhu xmlprematureJAXB
    如果在使用JAXB把xml文件unmarshal成vo(XSD自动生成的vo)时碰到如下错误： org.xml.sax.saxparseexception : premature end of file 很有可能时你直接读取文件为inputstream，然后将inputstream作为构建unmarshal需要的source参数。InputSource inputSource = new In
  • CSS Specificity 周凡杨 html权重Specificitycss
      有时候对于页面元素设置了样式，可为什么页面的显示没有匹配上呢？ because specificity CSS 的选择符是有权重的，当不同的选择符的样式设置有冲突时，浏览器会采用权重高的选择符设置的样式。     规则：   HTML标签的权重是1 Class 的权重是10 Id 的权重是100
  • java与servlet g21121 servlet
    servlet 搞java web开发的人一定不会陌生，而且大家还会时常用到它。 下面是java官方网站上对servlet的介绍： java官网对于servlet的解释 写道 Java Servlet Technology Overview Servlets are the Java platform technology of choice for extending and enha
  • eclipse中安装maven插件 510888780 eclipsemaven
    1.首先去官网下载 Maven： http://www.apache.org/dyn/closer.cgi/maven/binaries/apache-maven-3.2.3-bin.tar.gz 下载完成之后将其解压， 我将解压后的文件夹：apache-maven-3.2.3， 并将它放在 D:\tools目录下， 即 maven 最终的路径是：D:\tools\apache-mave
  • jpa@OneToOne关联关系 布衣凌宇 jpa
    Nruser里的pruserid关联到Pruser的主键id，实现对一个表的增删改，另一个表的数据随之增删改。 Nruser实体类 //***************************************************************** @Entity @Table(name="nruser") @DynamicInsert @Dynam
  • 我的spring学习笔记11-Spring中关于声明式事务的配置 aijuans spring事务配置
    这两天学到事务管理这一块，结合到之前的terasoluna框架，觉得书本上讲的还是简单阿。我就把我从书本上学到的再结合实际的项目以及网上看到的一些内容，对声明式事务管理做个整理吧。我看得Spring in Action第二版中只提到了用TransactionProxyFactoryBean和<tx:advice/>,定义注释驱动这三种，我承认后两种的内容很好，很强大。但是实际的项目当中
  • java 动态代理简单实现 antlove javahandlerproxydynamicservice
    dynamicproxy.service.HelloService package dynamicproxy.service; public interface HelloService { public void sayHello(); }   dynamicproxy.service.impl.HelloServiceImpl package dynamicp
  • JDBC连接数据库 百合不是茶 JDBC编程JAVA操作oracle数据库
             如果我们要想连接oracle公司的数据库，就要首先下载oralce公司的驱动程序，将这个驱动程序的jar包导入到我们工程中;   JDBC链接数据库的代码和固定写法;     1,加载oracle数据库的驱动;     &nb
  • 单例模式中的多线程分析 bijian1013 javathread多线程java多线程
    谈到单例模式，我们立马会想到饿汉式和懒汉式加载，所谓饿汉式就是在创建类时就创建好了实例，懒汉式在获取实例时才去创建实例，即延迟加载。 饿汉式： package com.bijian.study; public class Singleton { private Singleton() { } // 注意这是private 只供内部调用 private static
  • javascript读取和修改原型特别需要注意原型的读写不具有对等性 bijian1013 JavaScriptprototype
            对于从原型对象继承而来的成员，其读和写具有内在的不对等性。比如有一个对象A，假设它的原型对象是B，B的原型对象是null。如果我们需要读取A对象的name属性值，那么JS会优先在A中查找，如果找到了name属性那么就返回；如果A中没有name属性，那么就到原型B中查找name，如果找到了就返回；如果原型B中也没有
  • 【持久化框架MyBatis3六】MyBatis3集成第三方DataSource bit1129 dataSource
    MyBatis内置了数据源的支持，如：   <environments default="development"> <environment id="development"> <transactionManager type="JDBC" /> <data
  • 我程序中用到的urldecode和base64decode,MD5 bitcarter cMD5base64decodeurldecode
    这里是base64decode和urldecode，Md5在附件中。因为我是在后台所以需要解码： string Base64Decode(const char* Data,int DataByte,int& OutByte) { //解码表 const char DecodeTable[] = { 0, 0, 0, 0, 0, 0
  • 腾讯资深运维专家周小军：QQ与微信架构的惊天秘密 ronin47
    社交领域一直是互联网创业的大热门，从PC到移动端，从OICQ、MSN到QQ。到了移动互联网时代，社交领域应用开始彻底爆发，直奔黄金期。腾讯在过去几年里，社交平台更是火到爆，QQ和微信坐拥几亿的粉丝，QQ空间和朋友圈各种刷屏，写心得，晒照片，秀视频，那么谁来为企鹅保驾护航呢？支撑QQ和微信海量数据背后的架构又有哪些惊天内幕呢？本期大讲堂的内容来自今年2月份ChinaUnix对腾讯社交网络运营服务中心
  • java-69-旋转数组的最小元素。把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个排好序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素 bylijinnan java
    public class MinOfShiftedArray { /** * Q69 旋转数组的最小元素 * 把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个排好序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。 * 例如数组{3, 4, 5, 1, 2}为{1, 2, 3, 4, 5}的一个旋转，该数组的最小值为1。 */ publ
  • 看博客，应该是有方向的 Cb123456 反省看博客
    看博客，应该是有方向的:  我现在就复习以前的，在补补以前不会的，现在还不会的，同时完善完善项目，也看看别人的博客.  我刚突然想到的:  1.应该看计算机组成原理，数据结构，一些算法，还有关于android,java的。  2.对于我，也快大四了，看一些职业规划的，以及一些学习的经验，看看别人的工作总结的.    为什么要写
  • [开源与商业]做开源项目的人生活上一定要朴素,尽量减少对官方和商业体系的依赖 comsci 开源项目
         为什么这样说呢？  因为科学和技术的发展有时候需要一个平缓和长期的积累过程，但是行政和商业体系本身充满各种不稳定性和不确定性，如果你希望长期从事某个科研项目，但是却又必须依赖于某种行政和商业体系，那其中的过程必定充满各种风险。。。       所以，为避免这种不确定性风险，我
  • 一个 sql优化 （[精华] 一个查询优化的分析调整全过程！很值得一看 ） cwqcwqmax9 sql
    见   http://www.itpub.net/forum.php?mod=viewthread&tid=239011 Web翻页优化实例 提交时间: 2004-6-18 15:37:49      回复    发消息  环境： Linux ve
  • Hibernat and Ibatis dashuaifu Hibernateibatis
    Hibernate  VS  iBATIS 简介 Hibernate 是当前最流行的O/R mapping框架，当前版本是3.05。它出身于sf.net，现在已经成为Jboss的一部分了 iBATIS 是另外一种优秀的O/R mapping框架，当前版本是2.0。目前属于apache的一个子项目了。 相对Hibernate“O/R”而言，iBATIS 是一种“Sql Mappi
  • 备份MYSQL脚本 dcj3sjt126com mysql
    #!/bin/sh # this shell to backup mysql #[email protected] (QQ:1413161683 DuChengJiu) _dbDir=/var/lib/mysql/ _today=`date +%w` _bakDir=/usr/backup/$_today [ ! -d $_bakDir ] && mkdir -p
  • iOS第三方开源库的吐槽和备忘 dcj3sjt126com ios
    转自 ibireme的博客   做iOS开发总会接触到一些第三方库，这里整理一下，做一些吐槽。   目前比较活跃的社区仍旧是Github，除此以外也有一些不错的库散落在Google Code、SourceForge等地方。由于Github社区太过主流，这里主要介绍一下Github里面流行的iOS库。   首先整理了一份 Github上排名靠
  • html wlwmanifest.xml eoems htmlxml
    所谓优化wp_head()就是把从wp_head中移除不需要元素，同时也可以加快速度。 步骤： 加入到function.php remove_action('wp_head', 'wp_generator'); //wp-generator移除wordpress的版本号，本身blog的版本号没什么意义，但是如果让恶意玩家看到，可能会用官网公布的漏洞攻击blog remov
  • 浅谈Java定时器发展 hacksin java并发timer定时器
    java在jdk1.3中推出了定时器类Timer,而后在jdk1.5后由Dou Lea从新开发出了支持多线程的ScheduleThreadPoolExecutor，从后者的表现来看，可以考虑完全替代Timer了。 Timer与ScheduleThreadPoolExecutor对比： 1.    Timer始于jdk1.3,其原理是利用一个TimerTask数组当作队列
  • 移动端页面侧边导航滑入效果 ini jqueryWebhtml5cssjavascirpt
    效果体验：http://hovertree.com/texiao/mobile/2.htm可以使用移动设备浏览器查看效果。效果使用到jquery-2.1.4.min.js，该版本的jQuery库是用于支持HTML5的浏览器上，不再兼容IE8以前的浏览器，现在移动端浏览器一般都支持HTML5，所以使用该jQuery没问题。HTML文件代码： <!DOCTYPE html> <h
  • AspectJ+Javasist记录日志 kane_xie aspectjjavasist
    在项目中碰到这样一个需求，对一个服务类的每一个方法，在方法开始和结束的时候分别记录一条日志，内容包括方法名，参数名+参数值以及方法执行的时间。   @Override public String get(String key) { // long start = System.currentTimeMillis(); // System.out.println("Be
  • redis学习笔记 MJC410621 redisNoSQL
    1)nosql数据库主要由以下特点：非关系型的、分布式的、开源的、水平可扩展的。 1，处理超大量的数据 2，运行在便宜的PC服务器集群上， 3，击碎了性能瓶颈。 1)对数据高并发读写。 2)对海量数据的高效率存储和访问。 3)对数据的高扩展性和高可用性。 redis支持的类型： Sring 类型 set name lijie get name lijie set na
  • 使用redis实现分布式锁 qifeifei
    在多节点的系统中，如何实现分布式锁机制，其中用redis来实现是很好的方法之一，我们先来看一下jedis包中，有个类名BinaryJedis,它有个方法如下：   public Long setnx(final byte[] key, final byte[] value) { checkIsInMulti(); client.setnx(key, value); ret
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           BI是商业智能的缩写，是可以帮助企业做出明智的业务经营决策的工具，其数据来源于各个业务系统，如ERP、CRM、SCM、进销存、HER、OA等。        BI系统不同于传统的管理信息系统，他号称是一个整体应用的解决方案，是融入管理思想的强大系统：有着系统整体的设计思想，支持对所有
  • 安装rvm后出现rvm not a function 或者ruby -v后提示没安装ruby的问题 wudixiaotie function
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