微积分Z1J1 预备知识

简介

这章主要介绍一些基本的知识，以便于后期微积分学习。
内容主要包括：

• 实数的简要介绍以及区间，邻域概念
• 代数式的简单介绍和常见式子
• 数列的简单介绍

实数的简要介绍以及区间，邻域概念

数的概念是随着人类意识的不断加深而产生发展的。

自然数

最早出现的数是自然数，它是从0开始并包括0（0，1，2，3.，…）的一系列数字。
全体自然数的集合叫做自然数集，记作N,自然数分为奇数和偶数，能被2整除的数叫偶数，否则是奇数。
奇数和偶数可以用一定的式子表示出来，
比如奇数：$Z=2kx+1$或者$Z=2k-1$,其中k为整数。
偶数则是$Z=2k$

自然数加法和乘法封闭,即自然数相加或者相乘仍然是自然数.

整数

自然数之间相减,将会产生自然数之外的数字,即负数,我们将负数与自然数构成的整体数集称为整数,当然也可以说,每个自然数的相反数所构成的数集便是负数集.

自然数集的符号$Z$,正整数集:$Z_{+}$

当整数n除以m,结果是没有余数的整数,则m是n的因数,反过来说,n就是m的倍数.
只有1和本身作为因数的自然数叫做因数,或者素数.
反过来除了1和本身外还存在其他因数的自然数就叫合数.

需要注意:0和1既不是素数也不是合数.

有理数

当整数相除时,有时会出现结果并不是整数的数,这种数被称为分数,可以化为小数形式.当然特定的分数也可以化为整数.

分数集和整数集构成的集合称为有理数集,符号为$Q$.

有理数的四则运算封闭.

所有有理数可以写成分数的形式:$\frac{p}{q},p,q\in Z,q\ne 0$,
从这个角度也可以将有理数集理解为分数集.

有理数具有稠密性,即有理数在数轴上对应的点的数量要远远多于整数.
换句话说,任意给定两个有理数$a,b$,它们之间至少存在一个有理数$\frac{a+b}{2}$，而$\frac{a+b}{2}$分别与a，b之间又至少存在一个无理数，以此类推，则$a,b$之间存在无穷多个有理数。

无理数

有理数存在稠密性，但它仍然不能覆盖整个数轴。因此有理数虽然很“稠密”，但不“连续”。任意两个有理数之间仍然存在无穷多个空隙点，这些空隙点所代表的数字就是无理数，例如$e,\sqrt{2},\sqrt{3}$等都是无理数。

实数

有理数和无理数共同组成实数。符号为$R$。当然在实数集之外存在名为复数集的数集，不过这不是我们研究的对象了。

实数与数轴上的点是一一对应的，所有实数都能用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都能表示一个实数。

绝对值

数轴上表示数$a$到原点$0$的距离，就是数$a$的绝对值。记作$|a|$

绝对值的常见性质：

1. $|x|=\sqrt{(x{)}^2}$,$(|x|{)}^2=x^2$$\to |x{|}^{2n}=x^{2n}$，但注意$|x{|}^{2n-1}\ne x^{2n-1}$
   如：$\sqrt{1-\sin 2x}=|\sin x-\cos x|$
2. $-|x|\le x\le |x|$
3. 绝对值不等式(对任意实数x，y)，括号内是取等号的条件：
   a. $|x+y|\le |x|+|y|,(x，y同号)$
   b. $|x+y|\ge ||x|-|y||（x，y异号）$
   c. $|x-y|\le |x|+|y|（x，y异号）$
   d. $|x-y|\ge ||x|-|y||（x，y同号）$
4. $x^2+y^2=\ge 2|xy|$

区间，领域

区间是常用的一类数集，分为有限区间和无限区间两种。
有限区间分为开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间四种。如$(a,b),[a,b],(a,b],[a,b)$
无限区间数字一端可开可闭，但另一端必开。如$(a,+\infty ),(-\infty ,b],(-\infty ,+\infty )$

值得注意的是，实数集$R=(-\infty ,+\infty )$

领域是一种特殊的区间。
对任意正数$\delta$，开区间（$a-\delta ,\delta +a$）称为点a的领域。记作$U_{(a,\delta )}$,而当该集合不包括a本身时，该领域为去心邻域，记作$U_{(a,\delta )}^o$。

代数式

由数和表示数的字母经过有限次四则运算、乘方开方等代数运算所得的式子叫做代数式。
或者说，含有字母的数字表达式就是代数式。
在实数范围内，代数式分为有理式和无理式。

有理式包括整式和分式，整式是除数中没有字母的有理式，除数中含有字母且不为0的有理式是分式。
有理式只能进行有限次四则运算和整数次乘方。

相对的，含有字母的更是或者字母的非整数次方的代数式就是无理式，

下面给出常用的有理式分解公式和无理式有理化方法。
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$
$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$
以及二项式定理：$(a+b{)}^n=a^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+...+C_n^n{b}^n$。

1. 分母有理化：
   $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})}=\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{2}$

2. 有理函数化为各项分式之和：
   $\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+x(Bx+C)}{x(x^2+1)}=\frac{(A+B)x^2+Cx+A}{x(x^2+1)}$
   对比式子即可知：
   $$\begin{gathered} A=1 \\ B=-1 \\ C=0 \end{gathered}$$
   即：$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x}$

3. 有理假分式化为多项式和真分式的和：
   $\frac{x^3+3x^2+2x-1}{x^2+1}=(x+3)+\frac{x-4}{x^2+1}$
   方法是以分子除以分母，按基本除法列式即可。

数列的简单介绍

数列是一种特殊的函数。它是按一定次序排列的一列数。
数列的次序称为项，第一位是第一项，第二位是第二项，以此类推，即$a_1,a_2,a_3,...$。简记为$\{a_n\}$。
其中$a_1$为首项，$a_n$称为数列通项，数列n项之和$S_n=a_1+a_2+....+a_n$
显然数列是n的函数，$n\in N$或者其子集。

数列分类：

• 项数标准：有穷数列和无穷数列
• 按项与项之间的大小关系：递增数列，递减数列，常数数列。其中递增数列和递减数列合称为递减数列。
• 有界无界：每一项绝对值都小于某个正数，则为有界数列，否则是无界数列。

对于数列而言，更多的数列并不具有通项公式，数列和也就无从谈起。
不过有两种基本的数列是具有通项公式的。

等差数列

等差数列中，后一项减去前一项所得的差为一个常数$d$，即$a_n=a_{n-1}+d,n>1$

采用累加法推导公式：
由定义有：
$$\begin{gathered} a_2-a_1=d \\ {a}_3-a_2=d \\ {a}_4-a_3=d \\ ... \\ {a}_n-a_{n-1}=d \end{gathered}$$,$n>1$
又
$a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})=a_n$
则$a_1+d(n-1)=a_n,n>1$
而当$n=1$时，$a_1=a_1+d(n-1)=a_1$
所以$a_n=a_1+(n-1)d,n\ge 1$

这也是等差数列的通项公式。

由等差数列通项公式可知,$a_n+a_m=a_x+a_y,(n+m=x+y)$
则可推导等差数列n项和公式：
$S_n=a_1+a_2+...+a_n$
$S_n=a_n+a_{n-1}+...+a_1$
$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_n+a_1)=n(a_1+a_n)$

$S_n=\frac{n(a_n+a_1)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$

等比数列

等比数列中，后一项与前一项的比值始终是一个常数，换句话说$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q,(q\ne 0)$

通项公式：$a_n=a_1{q}^{n-1}$
n项和公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

等比数列通项公式采用类似等差数列公式方法推导的，只不过不是相减而是相除，推导公式为乘积形式，也就是累积法。

常见的前n项和公式

1. $1+2+3+...+n=\frac{1}{2}n(n+1)$
2. $1^2+2^2+...+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
3. $1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)}{4}$
4. $\frac{1}{1\ast 2}+\frac{1}{2\ast 3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$