对皮尔逊相关系数进行假设检验

对皮尔逊相关系数进行假设检验

第一步：提出原假设和备择假设

假设我们计算出一个皮尔逊相关系数r，我们想检验一下它是否显著地异于0。那我们可以这样设定原假设和备择假设：
$$H_0:r=0,H_1:r\ne 0$$

第二步：构造统计量

在原假设成立的条件下，利用我们要检验的量构造出一个符合某一分布的统计量
**注1：**统计量相当于我们要检验的一个函数，里面不能有其他的随机变量
**注2：**这里的分布一般有四种：标准正态分布、t分布、${\chi }^2$分布、和F分布
对于皮尔逊相关系数r而言，在满足一定条件下，我们可以构建统计量：
$$t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}$$
可以证明t是服从自由度为n-2的t分布。

第三步：将我们要检验的这个值代入，得到检验值

将我们要检验的这个值代入这个统计量中，可以得到一个特定的值（检验值）、
例如：我们计算出关系系数为0.5，n=30，那么我们可以得到：
$$t^{\ast }=0.5\sqrt{\frac{30-2}{1-0.5^2}}=3.05505$$

第四步：画出概率密度函数

由于我们知道统计量的分布情况，因此我们可以画出该分布的概率密度函数pdf，并给定一个置信水平，根据这个置信水平通过查表找到临界值，并画出检验统计量的接受域和拒绝域。
例如：我们知道上述统计量服从自由度为28的t分布，其概率密度函数图形如下：

%% 假设检验部分
x = -4:0.1:4;
y = tpdf(x,28);  %求t分布的概率密度值 28是自由度  
figure(1)
plot(x,y,'-')
grid on  % 在画出的图上加上网格线
hold on  % 保留原来的图，以便继续在上面操作
% matlab可以求出临界值，函数如下
tinv(0.975,28)    %    2.0484
% 这个函数是累积密度函数cdf的反函数
plot([-2.048,-2.048],[0,tpdf(-2.048,28)],'r-')
plot([2.048,2.048],[0,tpdf(2.048,28)],'r-')

第五步：给出置信水平，找到临界并画出接受域和拒绝域

由于我们知道统计量的分布情况，因此我们可以画出该分布的概率密度函数pdf，并给定一个置信水平，根据这个置信水平表查到临界值，并画出检验统计量的接受域和拒绝域。
常见的置信水平有三个：90%，95%，99%，其中95%是最常用的。
因为我们这里是双侧检测，所以我们需要找出能覆盖0.95的概率的部分。查表可知，对应的临界值为2.048，因此我们可以做出接受域和拒绝域。

第六步：判断接受还是拒绝原假设，并得出结论

看我们计算出来的检验值是落在了接受语还是拒绝域，并下结论。
因为我们得到的$t^{\ast }=3.05505>2.048$因此我们得到一下结论：
在95%的置信水平上，我们拒绝原假设$H_0:r=0$,因此r是显著不为0的。

这里有更好用的办法：p值判断法
我们得到的检验值t^*=3.05505,根据这个值，我们可以计算出其对应的那个概率。

%% 计算p值
x = -4:0.1:4;
y = tpdf(x,28);
figure(2)
plot(x,y,'-')
grid on 
hold on
% 画线段的方法
plot([-3.055,-3.055],[0,tpdf(-3.055,28)],'r-')
plot([3.055,3.055],[0,tpdf(3.055,28)],'r-')
disp('该检验值对应的p值为：')
disp((1-tcdf(3.055,28))*2)  %双侧检验的p值要乘以2

计算得出p=0.0049。p<0.05,说明在95%的置信水平上拒绝原假设，意味着皮尔逊相关系数显著地异于0。

%% 计算各列之间的相关系数以及p值
[R,P] = corrcoef(Test)
% 在EXCEL表格中给数据右上角标上显著性符号吧
P < 0.01  % 标记3颗星的位置
(P < 0.05) .* (P > 0.01)  % 标记2颗星的位置
(P < 0.1) .* (P > 0.05) % % 标记1颗星的位置
% 也可以使用Spss操作哦

皮尔逊相关系数假设实验的条件

第一，实验数据通常是对成对的来自于正态分布的整体，因为我们再求皮尔逊相关系数以后，通常还会用t检验之类的方法来进行皮尔逊相关系数检验，而t检验是基于数据呈正态分布的假设的。
第二，实验数据之间的差距不能太大，皮尔逊相关性系数收到异常值的影响比较大。
第三，每组样本之间是相互独立的，构造t统计量时需要用到。