【高等数学】下册 第十二章 第一节 常数项级数的概念和性质

1. 常数项级数的概念

1.1. 常数项级数

一般地，如果给定一个数列$$u_1,u_2,u_3,...,u_n,...,$$那么由这个数列构成的表达式$$u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$$叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，即$$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i=u_1++u_2+u_3+...+u_i+...$$，其中第$n$项$u_n$叫做级数的一般项。

1.2. 部分和

级数的前$n$项和$$s_n=u_1+u_2+...+u_n=\sum _{i=1}^n{u}_i$$称为级数的部分和。

1.3. 无穷级数的收敛和发散

如果级数${\sum }_{i=1}^{\infty }{u}_i$的部分和数列$\{s_n\}$有极限$s$，即：$$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=s,$$那么称无穷级数${\sum }_{i=1}^{\infty }{u}_i$收敛，这时极限$s$叫做这级数的和，并写成$$s=u_1+u_2+...+u_i+...;$$如果$\{s_n\}$没有极限，那么称无穷级数${\sum }_{i=1}^{\infty }{u}_i$发散。

1.4. 余项与误差

当级数收敛时，$$r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+...$$叫做级数的余项。用近似值$s_n$代替$s$所产生的误差就是这个余项的绝对值，即误差是$|r_n|$。

2. 级数与部分和数列的关系

2.1. 给定级数

给定级数，即给定${\sum }_{i=1}^{\infty }{u}_i$，部分和数列为$$\{s_n=\sum _{i=1}^n{u}_i\}。$$

2.2. 给定部分和数列

给定部分和数列$\{s_n\}$，就有以$\{s_n\}$为部分和数列的级数$$\begin{array}{rl}{u}_1+u_2+...+u_i+...& =s_1+(s_2-s_1)+...+(s_i-s_{i-1})+...\\ & =s_1+\sum _{i=2}^{\infty }(s_i-s_{i-1})\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i\end{array}$$其中$u_1=s_1,u_n=s_n-s_{n-1}(n\ge 2)$。按定义，级数与部分和数列具有相同的收敛性，而且在收敛时有$$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n{u}_i。$$

3. 几何级数

3.1 定义

$$\sum _{i=0}^{\infty }a{q}^i=a+aq+a{q}^2+...+a{q}^i+...$$其中$a\ne 0,q$叫做级数的公比。

3.2. 收敛性

$$\begin{array}{rl}{s}_n& =a+aq+...+a{q}^{n-1}\\ & =\frac{a-a{q}^n}{1-q}\end{array}$$

• 当$|q|<1$时，由于$$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0,$$从而$$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\frac{a}{1-q},$$因此这时的级数收敛，其和为$\frac{a}{1-q}$。
• 当$|q|>1时$，由于$$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=\infty ,$$从而$$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\infty ,$$因此这时的级数发散。
• 如果$|q|=1$，当$q=1$时，$s_n=na\to \infty$，因此级数发散；当$q=-1$时，$s_n=(-1{)}^{n}a$，从而$s_n$的极限不存在，这时的级数也发散。
• 综上所述，如果几何级数的公比的绝对值$|q|<1$，那么级数收敛；如果$|q|\ge 1$那么级数发散。

4. 收敛级数的基本性质

4.1. 每一项数乘非零常数

如果级数$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$收敛于和$s$，那么级数$$\sum _{n=1}^{\infty }k{u}_n$$也收敛，且其和为$ks$。
即
$$\sum _{n=1}^{\infty }k{u}_n=k\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$

4.2. 级数的加法

如果级数$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n与\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$$分别收敛于和$s与\sigma$，那么级数$$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$$也收敛，且其和为$s\pm \sigma$。
即
$$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\pm \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$$

4.3. 在级数中去掉、加上或改变有限项

• 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
• 级数本质也是一个极限，是一个趋势，与有限项无关。

4.4. 对级数的项任意加括号

• 如果级数$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数$(u_1+...+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+...+u_{n_2})+...+(u_{n_k+1}+...+u_{n_k})+...$仍收敛，且其和不变。
• 新级数的部分和数列是原级数部分和数列的子列。
• 如果加括号后所成的级数发散，那么原来的级数也发散。

4.5. 级数收敛与一般项

如果级数$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$收敛于和$s$，那么它的一般项$u_n$趋于零，即
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0.$$
如果级数的一般项不趋于零，那么该级数必定发散。

5. 调和级数

5.1. 定义

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$$

5.2. 收敛性

虽然它的一般项$u_n=\frac{1}{n}\to 0(n\to \infty )$，但它是发散的。

• 从部分和数列的角度来看，调和级数的部分和数列单调递增没有上界，因而是发散的。
• 用反证法，假设调和级数收敛，有$s_{2n}-s_n\to s-s=0(n\to \infty )$，但另一方面$s_{2n}-s_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$，故$s_{2n}-s_n\nrightarrow 0(n\to \infty )$与假设矛盾，说明级数必定发散。