【高等数学】下册 第十二章 第一节 常数项级数的概念和性质

文章目录

    • 1. 常数项级数的概念
      • 1.1. 常数项级数
      • 1.2. 部分和
      • 1.3. 无穷级数的收敛和发散
      • 1.4. 余项与误差
    • 2. 级数与部分和数列的关系
      • 2.1. 给定级数
      • 2.2. 给定部分和数列
    • 3. 几何级数
      • 3.1 定义
      • 3.2. 收敛性
    • 4. 收敛级数的基本性质
      • 4.1. 每一项数乘非零常数
      • 4.2. 级数的加法
      • 4.3. 在级数中去掉、加上或改变有限项
      • 4.4. 对级数的项任意加括号
      • 4.5. 级数收敛与一般项
    • 5. 调和级数
      • 5.1. 定义
      • 5.2. 收敛性

1. 常数项级数的概念

1.1. 常数项级数

一般地,如果给定一个数列 u 1 , u 2 , u 3 , . . . , u n , . . . , u_1,u_2,u_3,...,u_n,..., u1,u2,u3,...,un,...,那么由这个数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . u_1+u_2+u_3+...+u_n+... u1+u2+u3+...+un+...叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,即 ∑ i = 1 ∞ u i = u 1 + + u 2 + u 3 + . . . + u i + . . . \sum_{i=1} ^{\infin}u_i=u_1++u_2+u_3+...+u_i+... i=1ui=u1++u2+u3+...+ui+...,其中第 n n n u n u_n un叫做级数的一般项

1.2. 部分和

级数的前 n n n项和 s n = u 1 + u 2 + . . . + u n = ∑ i = 1 n u i s_n=u_1+u_2+...+u_n=\sum_{i=1}^{n}u_i sn=u1+u2+...+un=i=1nui称为级数的部分和。

1.3. 无穷级数的收敛和发散

如果级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui的部分和数列 { s n } \{s_n\} {sn}有极限 s s s,即: lim ⁡ n → ∞ s n = s , \lim_{n\rightarrow\infin}s_n=s, nlimsn=s,那么称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui收敛,这时极限 s s s叫做这级数的和,并写成 s = u 1 + u 2 + . . . + u i + . . . ; s=u_1+u_2+...+u_i+...; s=u1+u2+...+ui+...;如果 { s n } \{s_n\} {sn}没有极限,那么称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui发散。

1.4. 余项与误差

当级数收敛时, r n = s − s n = u n + 1 + u n + 2 + . . . r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+... rn=ssn=un+1+un+2+...叫做级数的余项。用近似值 s n s_n sn代替 s s s所产生的误差就是这个余项的绝对值,即误差是 ∣ r n ∣ |r_n| rn

2. 级数与部分和数列的关系

2.1. 给定级数

给定级数,即给定 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui,部分和数列为 { s n = ∑ i = 1 n u i } 。 \{s_n=\sum_{i=1}^{n}u_i\}。 {sn=i=1nui}

2.2. 给定部分和数列

给定部分和数列 { s n } \{s_n\} {sn},就有以 { s n } \{s_n\} {sn}为部分和数列的级数 u 1 + u 2 + . . . + u i + . . . = s 1 + ( s 2 − s 1 ) + . . . + ( s i − s i − 1 ) + . . . = s 1 + ∑ i = 2 ∞ ( s i − s i − 1 ) = ∑ i = 1 ∞ u i \begin{aligned} u_1+u_2+...+u_i+...&=s_1+(s_2-s_1)+...+(s_i-s_{i-1})+...\\ &=s_1+\sum_{i=2}^{\infin}(s_i-s_{i-1})\\ &=\sum_{i=1}^{\infin}u_i \end{aligned} u1+u2+...+ui+...=s1+(s2s1)+...+(sisi1)+...=s1+i=2(sisi1)=i=1ui其中 u 1 = s 1 , u n = s n − s n − 1 ( n ≥ 2 ) u_1=s_1,u_n=s_n-s_{n-1}(n \ge 2) u1=s1,un=snsn1(n2)按定义,级数与部分和数列具有相同的收敛性,而且在收敛时有 ∑ i = 1 ∞ u i = lim ⁡ n → ∞ s n = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n u i 。 \sum_{i=1}^{\infin}u_i=\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\lim_{n\rightarrow\infin}\sum_{i=1}^{n}u_i。 i=1ui=nlimsn=nlimi=1nui

3. 几何级数

3.1 定义

∑ i = 0 ∞ a q i = a + a q + a q 2 + . . . + a q i + . . . \sum_{i=0}^{\infin}aq^i=a+aq+aq^2+...+aq^i+... i=0aqi=a+aq+aq2+...+aqi+...其中 a ≠ 0 , q a \ne 0,q a=0,q叫做级数的公比。

3.2. 收敛性

s n = a + a q + . . . + a q n − 1 = a − a q n 1 − q \begin{aligned} s_n&=a+aq+...+aq^{n-1}\\ &=\frac{a-aq^n}{1-q} \end{aligned} sn=a+aq+...+aqn1=1qaaqn

  • ∣ q ∣ < 1 |q|<1 q<1时,由于 lim ⁡ n → ∞ q n = 0 , \lim_{n\rightarrow\infin}q^n=0, nlimqn=0,从而 lim ⁡ n → ∞ s n = a 1 − q , \lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\frac{a}{1-q}, nlimsn=1qa,因此这时的级数收敛,其和为 a 1 − q \dfrac{a}{1-q} 1qa
  • ∣ q ∣ > 1 时 |q|>1时 q>1,由于 lim ⁡ n → ∞ q n = ∞ , \lim_{n\rightarrow\infin}q^n=\infin, nlimqn=,从而 lim ⁡ n → ∞ s n = ∞ , \lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\infin, nlimsn=,因此这时的级数发散。
  • 如果 ∣ q ∣ = 1 |q|=1 q=1,当 q = 1 q=1 q=1时, s n = n a → ∞ s_n=na\rightarrow\infin sn=na,因此级数发散;当 q = − 1 q=-1 q=1时, s n = ( − 1 ) n a s_n=(-1)^na sn=(1)na,从而 s n s_n sn的极限不存在,这时的级数也发散。
  • 综上所述,如果几何级数的公比的绝对值 ∣ q ∣ < 1 |q| <1 q<1那么级数收敛;如果 ∣ q ∣ ≥ 1 |q| \ge 1 q1那么级数发散。

4. 收敛级数的基本性质

4.1. 每一项数乘非零常数

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_n n=1un收敛于和 s s s,那么级数 ∑ n = 1 ∞ k u n \sum_{n=1}^{\infin}ku_n n=1kun也收敛,且其和为 k s ks ks

∑ n = 1 ∞ k u n = k ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}ku_n=k\sum_{n=1}^{\infin}u_n n=1kun=kn=1un

4.2. 级数的加法

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n 与 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infin}u_n与\sum_{n=1}^{\infin}v_n n=1unn=1vn分别收敛于和 s 与 σ s与\sigma sσ,那么级数 ∑ n = 1 ∞ ( u n ± v n ) \sum_{n=1}^{\infin}(u_n\pm v_n) n=1(un±vn)也收敛,且其和为 s ± σ s\pm \sigma s±σ

∑ n = 1 ∞ ( u n ± v n ) = ∑ n = 1 ∞ u n ± ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infin}(u_n\pm v_n)=\sum_{n=1}^{\infin}u_n \pm \sum_{n=1}^{\infin}v_n n=1(un±vn)=n=1un±n=1vn

4.3. 在级数中去掉、加上或改变有限项

  • 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性。
  • 级数本质也是一个极限,是一个趋势,与有限项无关。

4.4. 对级数的项任意加括号

  • 如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_n n=1un收敛,那么对这级数的项任意加括号后所成的级数 ( u 1 + . . . + u n 1 ) + ( u n 1 + 1 + . . . + u n 2 ) + . . . + ( u n k + 1 + . . . + u n k ) + . . . (u_1+...+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+...+u_{n_2})+...+(u_{n_k+1}+...+u_{n_k})+... (u1+...+un1)+(un1+1+...+un2)+...+(unk+1+...+unk)+...仍收敛,且其和不变。
  • 新级数的部分和数列是原级数部分和数列的子列。
  • 如果加括号后所成的级数发散,那么原来的级数也发散。

4.5. 级数收敛与一般项

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_n n=1un收敛于和 s s s,那么它的一般项 u n u_n un趋于零,即
lim ⁡ n → ∞ u n = 0. \lim_{n\rightarrow\infin}u_n=0. nlimun=0.
如果级数的一般项不趋于零,那么该级数必定发散。

5. 调和级数

5.1. 定义

∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . \sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+... n=1n1=1+21+31+...+n1+...

5.2. 收敛性

虽然它的一般项 u n = 1 n → 0 ( n → ∞ ) u_n=\dfrac{1}{n}\rightarrow0(n\rightarrow\infin) un=n10(n),但它是发散的。

  • 从部分和数列的角度来看,调和级数的部分和数列单调递增没有上界,因而是发散的。
  • 用反证法,假设调和级数收敛,有 s 2 n − s n → s − s = 0 ( n → ∞ ) s_{2n}-s_n\rightarrow s-s=0(n\rightarrow\infin) s2nsnss=0(n),但另一方面 s 2 n − s n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = 1 2 s_{2n}-s_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}>\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+...+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2} s2nsn=n+11+n+21+...+2n1>2n1+2n1+...+2n1=21,故 s 2 n − s n ↛ 0 ( n → ∞ ) s_{2n}-s_n\nrightarrow0(n\rightarrow\infin) s2nsn0(n)与假设矛盾,说明级数必定发散。

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