线性代数学习笔记4——矩阵的逆

在进行矩阵的运算的时候，我们会发现我们没有定义矩阵的除法，但是经常又需要做类似的操作，因而我们引入矩阵的逆的概念，用以填补这个空白。

矩阵的逆

由于我们在定义矩阵运算的时候只定义了数乘和矩阵乘法，而没有除法运算。和逆元的产生一样，我们为了定义出除法，我们采用乘一个数/矩阵得到单位1/单位矩阵的方法，并定义这个数/矩阵为原数/原矩阵的乘法。

注：单位矩阵是一个除了主对角线为1，其他全为0的方阵。由于阶数不固定，因而有无穷多种单位矩阵。

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

定义：设$A$为$n$阶方阵，若存在$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$B$为$A$的逆，并称$A$为可逆矩阵。 记$A^{-1}$为$A$的逆。

若$A$可逆，则逆唯一。

证明：若$B$与$C$都是$A$的逆，由定义$AB=BA=I$，$AC=CA=I$，则有：

$$B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C$$

即$B=C$

有一种用行列式来判定和计算矩阵是否可逆的方法，过于繁琐，不适用于计算，只在此介绍。

定义：设$n$阶方阵

$$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

由$A$的行列式$|A|$中元素$a_{ij}$的代数余子式$A_{ij}$构成的如下$n$阶方阵：

$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& A_{3n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$

称$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，而$A$可逆的充要条件为$|A|\ne 0$，且

$$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$$

此处证明需要用到行列式的性质，在此略去。

下文有更简单的判定和计算方法。

逆变换有一重要性质：若$A,B$均可逆，则$AB$也可逆，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。该性质可以反复利用，因此可以拓展到$k$个可逆行列式相乘：

$$(A_1{A}_2\dots \dots A_k{)}^{-1}=A_k^{-1}{A}_{k-1}^{-1}\dots \dots A_1^{-1}$$

初等矩阵

把单位矩阵进行一次初等行变换，就得到了初等矩阵。复习一下，初等行变换有以下三种：

1.交换矩阵的任意两行。

2.用一个非零整数$k$乘矩阵的任意一行。

3.将矩阵中某一行乘以$k$倍加到另外一行。

因此对于三阶单位矩阵$I_3$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$

均为初等矩阵。

由于初等行变换可逆（可以改过去又可以改回来），因此初等矩阵可逆。

证明：设$E$为一初等矩阵，由于$EI=E$，因此任意一个初等矩阵可以视为对$I$矩阵的一种变换，使其变为$E$矩阵。由于初等行变换可逆，则存在$E$变换的逆变换$F$，将$E$矩阵变回$I$，因此$EF=I$，即$E$可逆，且其逆为$E$的逆变换。

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到此可以引出本题的证明了：

方阵$A$可逆，当且仅当$A$行等价于$I_n$ ，即$A$经过若干次行变换可以变成$I_n$

充分性：由于$A$可逆，则方程$Ax=b$必有解，其中$x,b$均为向量（求解只需要在等式两边左乘以$A^{-1}$即可）。那么，对于解$x$：

$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$

必可写出与$A$等价的增广矩阵$A^{\prime }$（因为解一样）：

$$A^{\prime }=\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & x_1\\ & 1& & & x_2\\ & & \ddots & & ⋮\\ & & & 1& x_n\end{array}\right]$$

那么原矩阵必与$I_n$等价，否则无法化简成$A^{\prime }$

必要性：如果$A$等价于$I_n$，则$A$是由若干次初等行变换得到。对于每次初等行变换都有一个对应的初等矩阵，那么这些操作可以被记作：

$$E_p{E}_{p-1}\dots \dots E_{1}A=I_n$$

由矩阵逆的另一种定义，若$A$可逆，则必存在一种能让$A$回到$I_n$的方法。考虑对上式两边左乘$(E_p{E}_{p-1}\dots \dots E_1{)}^{-1}$

$$((E_p{E}_{p-1}\dots \dots E_1{)}^{-1}{E}_p{E}_{p-1}\dots \dots E_1)A=(E_p{E}_{p-1}\dots \dots E_1{)}^{-1}{I}_n$$

即$A=(E_p{E}_{p-1}\dots \dots E_1{)}^{-1}$，为可逆矩阵的乘积，因此$A$可逆，且$A^{-1}=E_p{E}_{p-1}\dots \dots E_1$。因此，$A^{-1}$可以由$E_1,E_2,\dots \dots ,E_p$依次作用于$I_n$得到。

得证。

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接下来就是解法时间

我们把$A$和$I_n$置于同一矩阵中：

$$\left[\begin{array}{cc}A& I_n\end{array}\right]$$

对其进行高斯-若尔当消元操作将$A$变换为$I_n$。由于是在同一矩阵中，因此$A$和$I_n$得到的操作都是一样的。我们只需要让前面的$A$变换为$I_n$，那么对于同一过程，$I_n$就会变成矩阵的逆。

用一张图来表示这个互相转化关系：

$$A\stackrel{P}{\underset{P^{\prime }}{\iff }}{I}_n\stackrel{P}{\underset{P^{\prime }}{\iff }}{A}^{-1}$$

下面是洛谷P4783的代码，内含逆元，但是大体思路一样，因而还是放上代码。

#include 
#include 
using namespace std;
const long long mod = 1000000007;
long long power(long long a,int x)//快速幂板子
{
    long long ans = 1;
    while(x)
    {
        if(x&1)
        {
            ans *= a;
            ans %= mod;
        }
        a *= a;
        a %= mod;
        x >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}
long long a[405][805];
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d", &n);
    m = 2 * n;//矩阵的宽
    for (int i = 1; i <= n;i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n;j++)
            scanf("%lld", &a[i][j]);
        a[i][i + n] = 1;//后面要跟上一个n阶单位矩阵
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)//高斯-若尔当消元的板子
    {
        int place = i;
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)//找到绝对值最大的元素开始消元
            if(abs(a[j][i])>abs(a[place][i]))
                place = j;
        if (i != place)
            swap(a[i], a[place]);
        if(!a[i][i])//如果某行没有主元则A无法化为单位矩阵，无解
        {
            printf("No Solution");
            return 0;
        }
        long long inv = power(a[i][i], mod - 2);//本题加入的逆元特色
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if(j!=i)
            {
                long long multiple = a[j][i] * inv % mod;//等价于除以a[i][i]，消去其他行在第i列上的数，使之变成简化阶梯形矩阵
                for (int k = i; k <= m; k++)
                    a[j][k] = ((a[j][k] - a[i][k] * multiple) % mod + mod) % mod;
            }
        for (int j = 1; j <= m; j++)//由于此处需要简化阶梯型矩阵，要把原矩阵化为简化矩阵的必须操作。
        //“在使用高斯-若尔当消元的时候，计算机计算的时候通常采用回带法，而人操作的时候建议采用此法。”——《线性代数及其应用》
            a[i][j] = (a[i][j] * inv % mod);
    }
    for (int i = 1; i <= n;i++)
    {
        for (int j = n + 1; j <= m; j++)//只打印后面，前面的单位矩阵不要打出来了
            printf("%lld ", a[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}