第三单元 用python学习微积分（十七）微积分第一基本定理

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-微积分第一基本定理-网易公开课

开发环境准备：CSDN

目录

一、微积分基本定理（FTC1）

1、例子：

(1)  ​

(2)  求曲线 f(x) = sin(x) ，x 在 (0, ) f(x)到x轴的面积

(3)   ​

二、微积分基本定理的直观解释

1、假设 x(t) 是你在时刻 t 的位置

2、扩展积分到 函数 f < 0 (或 f > 0)

三、积分的性质

1、 ​

2、 ​ 当c是常数

3、a

4、 ​......（ F(a) - F(a) ）

5、 ​（ F(b) - F(a) =- (F(a) - F(b)) ）

6、积分估计

7、改变变量

(1)   ​

(2)

---

一、微积分基本定理（FTC1）

如果F'(x) = f(x),

新的计算符号

1、例子：

(1) 

如上节课上的例子

(2)  求曲线 f(x) = sin(x) ，x 在 (0, ) f(x)到x轴的面积

from sympy import *
import numpy as np 

import matplotlib.pyplot as plt 

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(1 ) 

def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    

def DrawRects(xFrom,xTo,steps,expr,color,plt):
    width = (xTo - xFrom)/steps
    xarrRect = []
    yarrRect = []
    area = 0
    xprev = xFrom
    for step in range(steps):
        yval = expr.subs(x,xprev + width)
        xarrRect.append(xprev)
        xarrRect.append(xprev)
        xarrRect.append(xprev + width)
        xarrRect.append(xprev + width)
        xarrRect.append(xprev)
        yarrRect.append(0)
        yarrRect.append(yval)
        yarrRect.append(yval)
        yarrRect.append(0)
        yarrRect.append(0)
        area += width * yval
        plt.plot(xarrRect, yarrRect, c=color)    
        xprev= xprev + width
    print('width =', width)
    print('area=',area)
    areaFinal = (integrate(expr, (x,xFrom,xTo)))
    print ('area final=',areaFinal)

def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):
    diffExpr = diff(exprY)
    x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')
    expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)
    eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))
    eq1 = Eq(eq,0)
    solveY = solve(eq1)
    return xVal,solveY

def DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):
    x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)
    x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)
    plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)
    
def Newton(expr, x0):
    ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0)
    return ret

x = symbols('x')
expr = sin(x)


DrawXY(0,np.pi,100,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,np.pi,100,expr,'green',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

​

(3)  

x = symbols('x')
expr = x**100


DrawXY(0,1,100,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,1,100,expr,'green',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

​

二、微积分基本定理的直观解释

1、假设 x(t) 是你在时刻 t 的位置

...... （速度）

等式右边是运动的距离，

而左边是运动过程中各个时刻的速度的累加， 这时可以考虑在i时刻 （v的单位m/s）, (s) , 而在这一秒的行进距离则是约等于(m), 当总旅程为10秒时，求总距离只要依次累加这10秒中如前计算的每秒的行进距离即可。

2、扩展积分到 函数 f < 0 (或 f > 0)

例子：

这里老师重新解释了定积分，即曲线与x轴围成的图形总面积，总面积等于x轴上方的面积减去x轴下方的面积

​

x = symbols('x')
expr = sin(x)

DrawXY(0,2*np.pi,100,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,2*np.pi,100,expr,'green',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

​

从程序上看，也是符合计算结果的，因为在x轴下方， y 轴的坐标是负数，所以计算出来的面积也是负数，因此上图中两片面积相互抵消，总面积约等于0

如果把定积分看作求距离， 考虑速度的方向，则存在这样的情况，与它的几何解释类似

​

三、积分的性质

1、

这里有个知识点 代表和， 而 其实也代表和，就是把sum的头字符拉长了

2、 当c是常数

3、a

​

4、 ......（ F(a) - F(a) ）

5、 （ F(b) - F(a) =- (F(a) - F(b)) ）

6、积分估计

如果

例子：

这里可以估计出

对以上结果再次计算不等式:

所以一直这么迭代下去可以得到 一个更好近似的值

7、改变变量

在学不定积分时，学过换元法

在定积分中，

不过这个式子成立有个前提条件就是u'一直保持u的正负符号

例子：

(1)  

计算上下极限

(2)

.....(后面老师说这里面有问题，应该是 )

(这里应该是错的，因为可以看出与x轴围成的图形不会落在x轴下方)

为啥是错的， 因为 ，因为u总是正的无论x正负取值，而 u' 的符号随x的符号变化而变化

按老师的说法，这个应该分开做

......(这个地方似乎还得取正值， 因为函数的取值只能是正的.... x^2 ，而u的值也是从0到1，所以 为正， 必须为正)

同理

x = symbols('x')
expr = x*(1/(2*x**0.5))
print (integrate(expr, (x,0,1)))

​图形：

x = symbols('x')
expr = x*(1/(2*x**0.5))
DrawXY(0,1,100,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,1,100,expr,'green',plt)

​

所以

又：

x = symbols('x')
expr = x**2

DrawXY(-1,1,100,expr,'blue','',plt)
DrawRects(-1,1,100,expr,'green',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

​