算法笔记 树

  1. 树的定义和性质
    现实中的树是由树根,茎干,树叶组成的,树的营养时由树根出发,通过茎干与树枝来不断传递,最终到达树叶的。在数据结构中,树则是用来概括这种传递关系的一种数据结构。为了简化,数据结构中把树枝分叉处,树叶,树根抽象为结点,其中树根抽象为根结点,且对一棵树来说最多存在一个根结点;把树叶概括为叶子结点,且叶子结点不再延伸出新的结点;把茎干和树枝统一抽象为边,且一条边只用来连接两个结点(一个端点一个)。这样,树就被定义为由若干个结点和若干条边组成的数据结构,且在树中的结点不能被边连接成环。在数据结构中,一般把根节点置于最上方(与现实中的树恰好相反),然后向下延伸出若干条边到达子结点(从而向下形成子树),而子结点又向下延伸出边并连接一些结点……直至到达叶子结点,看起来就像是把现实中的树颠倒过来的样子。
    算法笔记 树_第1张图片
    下面给给出几个比较使用实用的概念概念和性质,其中性质①⑤经常被用来出边界数据:
    ①树可以没有结点,这种情况下把树称为空树;
    ②树的层次从根结点开始算起,即根结点为第一层,根结点子树的根结点为第二层,以此类推;
    ③把结点的子树棵树称为结点的度,而树中结点的最大的度称为树的度(也称为数的宽度),如上图三棵树的度分别为2,3,5.
    ④由于一条边连接两个结点,且树中不存在环,因为对此有n个结点的树,边数一定是n-1.且满足连通,边数等于顶点数减一的结构一定是一棵树。
    ⑤叶子结点被定义为度为0的结点,因此当树中只有一个结点(即只有根结点)时,根结点也算作叶子结点;
    ⑥结点的深度是指从根结点(深度为1)开始自顶向下逐层累加至该结点时的深度值;结点的高度是指从最底层叶子结点(高度为1)开始自底向上逐层累加至该结点时的高度值。树的深度是指树中结点的最大深度,树的高度是指树中结点的最大高度。对树而言,深度和高度是相等的,例如上图中的三棵树的深度高度分别为4,4,2,但是具体到某个结点来说深度和高度就不一定相等了。
    ⑦多棵树组合在一起称为森林,即森林就是若干棵树的集合。

摘自《算法笔记》胡凡,曾磊主编

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