初识动态树—— Link Cut Tree

2022年02月01日，第十四天

前言：以下笔记是参考博客：LCT总结——概念篇 （侵删）

一、概念性质

链剖分，是指一类对树的边进行轻重划分的操作，这样做的目的是为了减少某些链上的修改、查询等操作的复杂度。目前总共有三类：重链剖分，实链剖分和不常见的长链剖分。

• 重链剖分，实际上我们经常讲到树剖，就是重链剖分的常用称呼。对于每个点，选择最大的子树，将这条边划分为重边，而连向其它子树的边划分为轻边。若干重边连接在一起构成重链，用树状数组或线段树等数据结构维护。
• 实链剖分，同样将某一个儿子的连边划分为实边，而连向其它子树的边划分为虚边。区别在于虚实是可以动态变化的，因此要使用更高级、更灵活的 $Splay$ 来维护每一条由若干实边连接而成的实链。基于性质更加优秀的实链剖分，$LCT$ 应运而生。$LCT$ 维护的对象其实是一个森林。在实链剖分的基础下，$LCT$ 支持更多的操作。
  • 查询、修改链上的信息（最值、总和等）
  • 随意指定原树的根（即换根）
  • 动态连边、删边
  • 合并两棵树、分离一棵树
  • 动态维护连通性

$LCT$ 的主要性质如下：

• 每一个 $Splay$ 维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历 $Splay$ 得到的每个点的深度序列严格递增。
• 每个结点包含且仅包含于一个 $Splay$ 中。
• 边分为实边和虚边，实边包含在 $Splay$ 中，而虚边总是由一颗 $Splay$ 指向另一个结点（指向该 $Splay$ 中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲）。

由以上性质，当某个结点在原树中有多个儿子时，只能向其中一个儿子拉一条实链（只认一个儿子），而其它儿子是不能在这个 $Splay$ 中的。那么为了保持树的形状，我们要让到其它儿子的边变为虚边，由对应儿子所属的 $Splay$ 的根结点的父亲指向该点，而从该点并不能直接访问该儿子（认父不认子）。

二、各种操作

1. $access(x)$

$LCT$ 核心操作，也是最难理解的操作。其它所有的操作都是在此基础上完成的。因为性质 $3$ ，我们不能总是保证每两个点之间的路径是直接连通的（在一个 $Splay$ 上）。$access$ 定义为打通根结点到指定结点的实链，使得一条中序遍历以根开始、以指定点结束的 $Splay$ 出现。

//建立一条从根结点到x的路径，同时将x变成splay的根结点
void access (int x) {
    int z = x;
    for (int y = 0; x; y = x, x = t[x].fa) {
        splay (x);
        t[x].ch[1] = y;
        pushup (x); // 儿子变了，需要及时上传信息
    }
    splay (z);
}

2. $makeroot(x)$

只是把根到某个结点的路径打通并不能满足我们的需求。更多时候，我们要获取指定两个结点之间的路径信息。然而可能这两个点不是祖孙关系（该路径不能满足按深度严格递增的要求）。根据性质 $1$ ，这样的路径不能在一个 $Splay$ 中。$makeroot$ 定义为换根，让指定点成为原树的根。这时候就利用到 $access(x)$ 和 $Splay$ 的翻转操作。$access(x)$ 后 $x$ 一定是 $Splay$ 中，中序遍历最后的点。$Splay(x)$ 后，$x$ 在 $Splay$ 中将没有右子树（性质 $1$ ）。于是翻转整个 $Splay$ ，使得所有点的深度都倒过来了，$x$ 没了左子树，反倒成了深度最小的点（根结点），达到了我们的目的。

// splay 区间翻转操作
void pushrev (int x) {
    swap (t[x].ch[0], t[x].ch[1]);
    t[x].rev ^= 1;	// lazy tag
}
// 将x变成原树的根结点
void makeroot (int x) {
    access (x);
    pushrev (x);
}

3. $findroot(x)$

找 $x$ 所在原树的树根，主要用来判断两点之间的连通性（$findroot(x)=findroot(y)$ 表示 $x,y$ 在同一颗树中）。利用性质 $1$ ，不停找左儿子，因为其深度一定比当前点深度小。

// 找到x所在原树的根结点,再将原树的根结点旋转成splay的跟结点
int findroot (int x) {
    access (x);
    while (t[x].ch[0]) pushdown (x), x = t[x].ch[0];
    splay (x);  // 保证复杂度
    return x;
}

4. $split(x,y)$

神奇的 $makeroot$ 已经出现，我们可以访问指定的一条在原树中的链。$split(x,y)$ 定义为打通一条 $x$ 到 $y$ 的路径成为一个 $Splay$ ，最终以 $y$ 作为该 $Splay$ 的根，$x$ 成为了根，那么 $x$ 到 $y$ 的路径就可以用 $access(y)$ 直接打通出来了，将 $y$ 转到 $Splay$ 根后，我们就可以直接通过访问 $y$ 来获取该路径的有关信息。

// 给x和y之间的路径建立一个splay，其根结点是y
void split (int x, int y) { 
    makeroot (x);
    access (y), splay(y);
}

5. $link(x,y)$

连一条 $x$ 到 $y$ 的边（使得 $x$ 的父亲指向 $y$ ，连一条轻边）

// 如果x和y不连通，则加入一条x和y之间的边
void link (int x, int y) {  
    makeroot (x);
    if (findroot (y) != x) t[x].fa = y;
}

6. $cut(x,y)$

当不一定存在该边时，我们要考虑三个条件

• 判断一下连通性（注意 $findroot(y)$ 以后 $x$ 成了根）；
• 再看看 $x,y$ 是否有父子关系；
• 还要看 $y$ 是否有左儿子。

原因如下：$access(y)$ 以后，假如 $y$ 与 $x$ 在同一 $Splay$ 中而没有连边。

• 那么这条路径上一定会有其它点，在中序遍历序列中的位置介于 $x$ 与 $y$ 之间；
• 那么可能 $y$ 的父亲就不是 $x$ 了；
• 那么可能 $y$ 的父亲还是 $x$ ，其它的点就在 $y$ 的左子树中。

// 如果x和y之间存在边，那么把它删去
void cut (int x, int y) {  
    makeroot (x);
    if (findroot(y) == x && t[y].fa == x && ! t[y].ch[0]) {
        t[x].ch[1] = t[y].fa = 0;
        pushup (x);
    }
}

7. $isroot(x)$

用于判断 $x$ 是否是当前 $Splay$ 的根。当 $x$ 没有父亲的孩子连边时满足条件。

bool isroot (int x) {
    return t[t[x].fa].ch[0] != x && t[t[x].fa].ch[1] != x;
}

三、一道模板题：P3690 【模板】动态树（Link Cut Tree）

#include 
#define ull unsigned long long
#define ll long long
#define re register
#define endl '\n'

using namespace std;

const int MOD = 998244353;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;
const double Pi = acos(-1.0);
const int N = 1e5 + 5;

int n, m;
struct node {
    int ch[2], fa, val;
    int sum, rev;
}t[N];
int st[N];
inline int ident (int x, int f) { return t[f].ch[1] == x; }
inline void connect (int x, int f, int s) {
    t[x].fa = f, t[f].ch[s] = x;
}

void pushrev (int x) {
    swap (t[x].ch[0], t[x].ch[1]);
    t[x].rev ^= 1;
}

void pushup (int x) {
    t[x].sum = t[t[x].ch[0]].sum ^ t[x].val ^ t[t[x].ch[1]].sum;
}

void pushdown (int x) {
    if (t[x].rev) {
        pushrev (t[x].ch[0]);
        pushrev (t[x].ch[1]);
        t[x].rev = 0;
    }
}

bool isroot (int x) {
    return t[t[x].fa].ch[0] != x && t[t[x].fa].ch[1] != x;
}

void rotate (int x) {
    int f = t[x].fa, ff = t[f].fa, k = ident (x, f);
    if (! isroot (f)) 
        t[ff].ch[ident (f, ff)] = x;
    t[x].fa = ff;
    connect (t[x].ch[k ^ 1], f, k);
    connect (f, x, k ^ 1);
    pushup (f), pushup (x);
}

void splay (int x) {
    int top = 0, r = x;
    st[++ top] = r;
    while (! isroot (r)) st[++ top] = r = t[r].fa;
    while (top) pushdown (st[top --]);
    while (! isroot (x)) {
        int f = t[x].fa, ff = t[f].fa;
        if (! isroot (f)) 
            ident (x, f) ^ ident (f, ff) ? rotate (x) : rotate (f);
        rotate (x);
    }
}

void access (int x) {  //建立一条从根结点到x的路径，同时将x变成splay的根结点
    int z = x;
    for (int y = 0; x; y = x, x = t[x].fa) {
        splay (x);
        t[x].ch[1] = y;
        pushup (x);
    }
    splay (z);
}

void makeroot (int x) { // 将x变成原树的根结点
    access (x);
    pushrev (x);
}

int findroot (int x) {  // 找到x所在原树的根结点,再将原树的根结点旋转成splay的跟结点
    access (x);
    while (t[x].ch[0]) pushdown (x), x = t[x].ch[0];
    splay (x);
    return x;
}

void split (int x, int y) {  // 给x和y之间的路径建立一个splay，其根结点是y
    makeroot (x);
    access (y), splay (y);
}

void link (int x, int y) {  // 如果x和y不连通，则加入一条x和y之间的边
    makeroot (x);
    if (findroot (y) != x) t[x].fa = y;
}

void cut (int x, int y) {  // 如果x和y之间存在边，那么把它删去
    makeroot (x);
    if (findroot(y) == x && t[y].fa == x && ! t[y].ch[0]) {
        t[x].ch[1] = t[y].fa = 0;
        pushup (x);
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i =  1; i <= n; i ++) 
        cin >> t[i].val;
    while (m --) {
        int op, x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        if (op == 0) {
            split (x, y);
            cout << t[y].sum << endl;
        }else if (op == 1) link (x, y);
        else if (op == 2) cut (x, y);
        else {
            splay (x);
            t[x].val = y;
            pushup (x);
        }
    }
    return 0;
}