卷积运算(CNN卷积神经网络)

图像卷积

最近学习到了卷积深度网络，有些本质概念太深暂时还没有理解透彻，现在主要记录下卷积神经网络中的一些计算。

以下介绍与计算均出自李沐老师的《动手学深度学习》，如有疑问请看原文或在下方留言。

互相关运算

严格来说，卷积层是个错误的叫法，因为它所表达的运算其实是互相关运算（cross-correlation），而不是卷积运算。 在卷积层中，输入张量和核张量(又称核函数) 通过互相关运算产生输出张量。

首先，我们暂时忽略通道（第三维）这一情况，看看如何处理二维图像数据和隐藏表示。在下图，输入是高度为 $3$ 、宽度为 $3$ 的二维张量（即形状为 $3\times 3$ ）。卷积核的高度和宽度都是 $2$ ，而卷积核窗口（或卷积窗口）的形状由内核的高度和宽度决定（即 $2\times 2$ ）。

在二维互相关运算中，卷积窗口从输入张量的左上角开始，从左到右、从上到下滑动。 当卷积窗口滑动到新一个位置时，包含在该窗口中的部分张量与卷积核张量进行按元素相乘，得到的张量再求和得到一个单一的标量值，由此我们得出了这一位置的输出张量值。 在如上例子中，输出张量的四个元素由二维互相关运算得到，这个输出高度为 $2$ 、宽度为 $2$ ，如下所示：

$$\begin{gathered} 0\times 0+1\times 1+3\times 2+4\times 3=19, \\ 1\times 0+2\times 1+4\times 2+5\times 3=25, \\ 3\times 0+4\times 1+6\times 2+7\times 3=37, \\ 4\times 0+5\times 1+7\times 2+8\times 3=43. \end{gathered}$$

注意，输出大小略小于输入大小。这是因为卷积核的宽度和高度大于1， 而卷积核只与图像中每个大小完全适合的位置进行互相关运算。 所以，输出大小等于输入大小 $n_h\times n_w$ 减去卷积核大小 $k_h\times k_w$再加上 1， 即

$$(n_h-k_h+1)\times (n_w-k_w+1)$$

接下来，我们在corr2d函数中实现如上过程，该函数接受输入张量X和卷积核张量K，并返回输出张量Y。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

#定义互相关操作函数
def corr2d(X, K):
    """计算二维互相关运算"""
    h, w = K.shape                                         #卷积核高、宽(张量行、列)
    Y = torch.zeros((X.shape[0]-h+1, X.shape[1]-w+1))     #计算输出张量Y的形状
    
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            Y[i, j] = (X[i:i+h, j:j+w] * K).sum()         #计算每次局部张量与卷积核的互相关运算运算
    
    return Y                                              #返回卷积核后的张量Y

输入上图的张量X和卷积核张量K，我们来验证上述二维互相关运算的输出。

X = torch.tensor([[0,1,2],[3,4,5],[6,7,8]])
K = torch.tensor([[0,1],[2,3]])
Y = corr2d(X, K)
X.shape, K.shape, Y.shape, Y

(torch.Size([3, 3]),
 torch.Size([2, 2]),
 torch.Size([2, 2]),
 tensor([[19., 25.],
         [37., 43.]]))

卷积层

卷积层对输入和卷积核权重进行互相关运算，并在添加标量偏置之后产生输出。

所以，卷积层中的两个被训练的参数是卷积核权重和标量偏置。 就像我们之前随机初始化全连接层一样，在训练基于卷积层的模型时，我们也随机初始化卷积核权重。

基于上面定义的corr2d函数实现二维卷积层。在__init__构造函数中，将weight和bias声明为两个模型参数。前向传播函数调用corr2d函数并添加偏置。

class Conv2D(nn.Module):
    #初始化卷积层模型参数，包含卷积核和标量偏置
    def __init__(self, kernel_size):
        super().__init__()
        
        #定义一个卷积核参数，形状为(kernel_size, kernel_size)，均匀分布
        self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
        
        #定义偏置量，初始化为0
        self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))
    
    #定义前向传播函数
    def forward(self, X):
        #计算 输入张量X 和 卷积核张量K的互相关运算
        return corr2d(X, self.weight) + self.bias
    

高度和宽度分别为 $h$ 和 $w$ 的卷积核可以被称为$h\times w$ 卷积或$h\times w$ 卷积核。 我们也将带有$h\times w$ 卷积核的卷积层称为$h\times w$ 卷积层。

图像中目标的边缘检测

如下是卷积层的一个简单应用：通过找到像素变化的位置，来检测图像中不同颜色的边缘。 首先，我们构造一个 $6\times 8$ 像素的黑白图像。中间四列为黑色（$0$），其余像素为白色（$1$）。

X = torch.ones((6, 8))
X[:, 2:6] = 0
X

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

接下来，我们构造一个高度为 $1$、宽度为 $2$ 的卷积核K。当进行互相关运算时，如果水平相邻的两元素相同，则输出为零，否则输出为非零。

K = torch.tensor([[1.0, -1.0]])

现在，我们对参数X（输入）和K（卷积核）执行互相关运算。 如下所示，输出Y中的1代表从白色到黑色的边缘，-1代表从黑色到白色的边缘，其他情况的输出为 $0$ 。

Y = corr2d(X, K)
Y

tensor([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.]])

现在我们将输入的二维图像转置，再进行如上的互相关运算。 其输出如下，之前检测到的垂直边缘消失了。 不出所料，这个卷积核K只可以检测垂直边缘，无法检测水平边缘。

corr2d(X.t(), K)

tensor([[0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.]])

学习卷积核

如果我们只需寻找黑白边缘，那么以上[1, -1]的边缘检测器足以。然而，当有了更复杂数值的卷积核，或者连续的卷积层时，我们不可能手动设计滤波器。那么我们是否可以学习由X生成Y的卷积核呢？

现在让我们看看是否可以通过仅查看“输入-输出”对来学习由X生成Y的卷积核。 我们先构造一个卷积层，并将其卷积核初始化为随机张量。接下来，在每次迭代中，我们比较Y与卷积层输出的平方误差，然后计算梯度来更新卷积核。为了简单起见，我们在此使用内置的二维卷积层，并忽略偏置。

#构造一个二维卷积层，它具有1个输入通道、1个输出通道和形状为 (1, 2) 的卷积核
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(1, 2), bias=False)

conv2d.weight

Parameter containing:
tensor([[[[ 0.0951, -0.3358]]]], requires_grad=True)

# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式(批量大小、通道、高度、宽度)
#其中批量大小和通道数都为1
"""
torch.nn.Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size, stride=1, padding=0,
dilation=1, groups=1, bias=True, padding_mode='zeros', device=None, dtype=None)
"""
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2                                         #学习率

for i in range(10):
    Y_hat = conv2d(X)
    l = (Y_hat - Y) ** 2                          #计算平方误差
    conv2d.zero_grad()                            #清空梯度
    l.sum().backward()                            #调用反向传播函数计算梯度
    #迭代卷积核
    conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.grad
    
    if (i + 1) % 2 == 0:
        print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum(): .3f}')
    
    
    

epoch 2, loss  0.007
epoch 4, loss  0.003
epoch 6, loss  0.001
epoch 8, loss  0.000
epoch 10, loss  0.000

在 $10$ 次迭代之后，误差已经降到足够低。现在我们来看看我们所学的卷积核的权重张量。

conv2d.weight.data.reshape((1,2))

tensor([[ 0.9985, -1.0013]])

细心一定会发现，我们学习到的卷积核权重非常接近我们之前定义的卷积核K。

小结

1.二维卷积层的核心计算是二维互相关运算。最简单的形式是，对二维输入数据和卷积核执行互相关操作，然后添加一个偏置。

2.我们可以设计一个卷积核来检测图像的边缘。

3.我们可以从数据中学习卷积核的参数。

4.学习卷积核时，无论用严格卷积运算或互相关运算，卷积层的输出不会受太大影响。

5.当需要检测输入特征中更广区域时，我们可以构建一个更深的卷积网络。