并联四足机器人项目开源教程（五） --- 四足机器人相关书籍&论文研读
这个是本人在大三期间做的项目 ---- 基于MIT的Cheetah方案设计的十二自由度并联四足机器人，这个项目获得过两个国家级奖项和一个省级奖项。接下来我会将这个机器人的控制部分所有代码进行开源，并配有相关的教程博客，希望能够帮助到在学习相关领域知识或者进行项目开发的同学。
学习建议
自从MIT开源了Cheetah项目，网上出现了很多的论文解读，相关开源项目，也有很多人在原论文的基础上，对某个算法进行改进，发表了论文。对于初学者，建议从四足机器人的基础理论知识学起，再到Cheetah开源论文和其他算法改进的论文。Cheetah开源论文中有些算法细节描述不是很清楚，基本都可以通过查阅其他解读性的文章和论文，来进一步理解。
因为本人的水平有限，可能以下叙述会带有个人解读的偏见，也欢迎读者来与我联系交流：[email protected]
书籍列表
以下是我阅读过觉得比较有价值的书目，包含了四足机器人的基础理论，建议先看书籍进行知识储备，再看论文。书籍后期可以作为工具书进行查阅使用。
推荐学习路线：机械结构 -> 运动学建模及控制 -> 刚体动力学建模 -> 浮动基动力学
入门
- 《Legged-Robots-That-Balance》：讲述了弹簧倒立摆，动态控制，从单腿到双腿到四足机器人推广等算法，系统讲解了足式机器人工作的基本原理和思想，是四足机器人领域启蒙式读物。
- 《仿生四足机器人》 北理工出版：机械模型（弹簧腿）、正逆运动学、CGP控制思想等。
进阶
- 《Robot Dynamics Lecture Notes》：正逆运动学，浮动基座系统动力学与运动学，接触动力学
- 《Rigid Body Dynamics Algorithms》：空间向量代数、刚体系统动力学、刚体系统建模、正逆动力学、浮动基座动力学、接触动力学
论文列表
- 《MIT Cheetah 3: Design and Control of a Robust, Dynamic Quadruped Robot》：MIT Cheetah 3 开源论文
- 《Highly Dynamic Quadruped Locomotion via Whole-Body Impulse Control and Model Predictive Control》：MIT Cheetah mini开源论文
- 《XDog-新型电驱式四足机器人研制与测试》：宇树科技创始人的硕士学位论文，一套比较完整的四足开源方案，发表于MIT开源Cheetah项目之前，所以跟MIT所采用的结构框架不同，非常值得研读。
- 《Dynamic Locomotion in the MIT Cheetah 3 Through Convex Model-Predictive Control》：详细讲解了Cheetah项目中的MPC算法实现流程，包括动力学模型的建立和简化，MPC问题的创建以及QP求解。
- 《Passive Whole-body Control for Quadruped Robots: Experimental Validation over Challenging Terrain》：WBC算法在四足机器人上的应用，每个子任务讲的非常详细，可以用于理解WBC算法。
要点总结
下面的内容以Cheetah mini的控制架构及算法为例，进行展开叙述。
1. 控制架构
论文中给出的控制架构：
简化和总结后得到以下的控制架构：
- 在整个流程中，最核心的算法是MPC和WBIC算法，但在不使用WBIC算法的时候，单MPC算法也是可以正常工作的，只要将MPC计算所得的关节目标角度，角速度，前馈力矩直接输出到关节控制器即可。
- 因为状态估计是采用了传感器数据处理得到，与实际值存在有误差，在仿真环境中验证控制算法时，可以将该环节替换为读取仿真环境中绝对正确的测量数值。
2. 步态规划（Gait Scheduler）
步态类型
四足机器人常用的步态有：stand，trot，walk等。
步态之间的属性区别在于运动周期，初始相位，转换相位。
| 步态名称 | 运动周期/s | 起始相位 | 转换相位 |
|---|---|---|---|
| Stand | 10 | (0.5, 0.5, 0.5, 0.5) | 1 |
| Trot | 0.45 | (0, 0.5, 0.5, 0) | 0.5 |
| Walk | 1 | (0.25, 0, 0.75, 0.5) | 0.75 |
运动周期：足端站立态 + 摆动态一次的时间之和。
相位：数值为0 - 1，代表一个运动周期内的各个腿部所处的状态
起始相位：每个腿部在切换到当前步态时的相位值。
转换相位：腿部从站立态切换为摆动态的相位值。
规划方式
Cheetah项目中采用的是贝赛尔曲线进行足端运动的路径规划。并且采用了动态的方法，执行流程如下：
贝塞尔曲线的详细介绍可以参考我的笔记：贝赛尔曲线学习
落足点计算
p s t e p , i = p h , i + T c ϕ 2 p ˙ c , d ⏟ R a i b e r t H e u r i s t i c + z 0 ∣ ∣ g ∣ ∣ ( p ˙ c − p ˙ c , d ) ⏟ C a p t u r e P o i n t p_{step,i}=p_{h,i}+\underbrace{\frac{T_{c_\phi}}{2}{\dot{p}}_{c,d}}_{Raibert \ Heuristic}+\underbrace{\sqrt{\frac{z_0}{||g||}}({\dot{p}}_c-{\dot{p}}_{c,d})}_{Capture \ Point} pstep,i=ph,i+Raibert Heuristic 2Tcϕp˙c,d+Capture Point ∣∣g∣∣z0(p˙c−p˙c,d)
T c ϕ 2 p ˙ c , d \frac{T_{c_\phi}}{2}{\dot{p}}_{c,d} 2Tcϕp˙c,d ----根据《Legged robots that balance》中的描述，足端按照该公式确定的落足点，会使运动为对称运动，加速度为0
z 0 ∣ ∣ g ∣ ∣ ( p ˙ c − p ˙ c , d ) \sqrt{\frac{z_0}{||g||}}({\dot{p}}_c-{\dot{p}}_{c,d}) ∣∣g∣∣z0(p˙c−p˙c,d) ----根据《Capture point: A step toward humanoid push recovery》中的描述，目标就是让落脚点趋近capture point，在该点腿部会获得平衡。
T c φ T_{c_\varphi} Tcφ ----理想状态下的stance态持续时间
z 0 z_0 z0 ----目标位置点的高度
p h , i p_{h,i} ph,i----腿i对应髋关节电机hip的位置
3. 状态估计（State Estimation）
在仿真环境中，机器人的世界坐标，速度大小和方向，都可以进行读取，并基于此对机器人进行控制。
但由于四足机器人的传感器都是安装在机器人上面，一般不存在有外部传感器，所以在实际运行中，机器人的全局信息需要由IMU等传感器数据进行复杂计算得到，并且难以避免累计误差，只能尽量减少。
卡尔曼滤波（Kalman Filter）
Cheetah项目中采用了卡尔曼滤波进行状态估计。卡尔曼滤波的作用在于对不同传感器的数据进行数据融合，利用观测量并结合系统的模型来对系统的状态进行估计。
Cheetah分为以下两步进行状态估计：
航向估计（orientation）：高频的IMU的gyro数据 + 低频的IMU加速度计数据（重力偏差值）-> 旋转矩阵 0 R b ^0R_b 0Rb
位置/速度估计：上述所得 0 R b ^0R_b 0Rb + 腿部电机数据（结合机器运动学公式） -> 世界坐标系下的位置/速度
详细公式参考论文《MIT Cheetah 3: Design and Control of a Robust, Dynamic Quadruped Robot 》中的“H. State Estimation”部分 。
卡尔曼滤波的公式推导：卡尔曼滤波
4. 关节控制器（Joint-Level Control）
Cheetah项目对关节电机的控制采用PD控制器 + 前馈力矩 τ \tau τ 的方式。
其中一共用到了两套控制器，一套用于计算前馈力矩，即补偿足端落点位置所需的力矩大小。一套用于控制各个电机逼近目标角度位置。
前馈力矩的计算
τ f f , i = J i ⊤ Λ i ( B a i , ref − J ˙ i q ˙ i ) + C i q ˙ i + G i \tau_{\mathrm{ff}, i}=\boldsymbol{J}_{i}^{\top} \boldsymbol{\Lambda}_{i}\left({ }^{\mathfrak{B}} \boldsymbol{a}_{i, \text { ref }}-\dot{\boldsymbol{J}}_{i} \dot{\boldsymbol{q}}_{i}\right)+\boldsymbol{C}_{i} \dot{\boldsymbol{q}}_{i}+\boldsymbol{G}_{i} τff,i=Ji⊤Λi(Bai, ref −J˙iq˙i)+Ciq˙i+Gi
J i J_i Ji ----足部的雅可比矩阵
Λ i \Lambda _i Λi ----操作空间的惯性矩阵
B a i , r e f ^\mathfrak{B}a_{i,ref} Bai,ref ----参考加速度
q i q_i qi ----关节结构的向量
C i C_i Ci ----科里奥利矩阵
G i G_i Gi -----重力矩
τ i = J i ⊤ [ K p ( B p i , ref − B p i ) + K d ( B v i , r e f − B v i ) ] + τ f f , i \boldsymbol{\tau}_{i}=\boldsymbol{J}_{i}^{\top}\left[\boldsymbol{K}_{p}\left({ }^{\mathfrak{B}} \boldsymbol{p}_{i, \text { ref }}-{ }^{\mathfrak{B}} \boldsymbol{p}_{i}\right)+\boldsymbol{K}_{d}\left({ }^{\mathfrak{B}} \boldsymbol{v}_{i, \mathrm{ref}}-{^\mathfrak{B}} \boldsymbol{v}_{i}\right)\right]+\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{ff}, i} τi=Ji⊤[Kp(Bpi, ref −Bpi)+Kd(Bvi,ref−Bvi)]+τff,i
电机输出力矩的计算
τ = K p ( q d e s − q i ) + K d ( q d d e s − q d i ) + τ i \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{K}_{p}\left(\boldsymbol{q}_{des}-\boldsymbol{q}_{i}\right)+\boldsymbol{K}_{d}\left(\boldsymbol{qd}_{des}-\boldsymbol{qd}_{i}\right)+\boldsymbol{\tau}_{ i} τ=Kp(qdes−qi)+Kd(qddes−qdi)+τi
5. MPC算法（Model Predictive Control）
在Cheetah项目中，MPC算法主要用于计算保持四足机器人正常运动的情况下，每条支撑腿的足端所需的输出力。
MPC算法的公式推导参考我的学习笔记：手推MPC公式
其中，运动方程的建立将机器人看作单刚体模型：
[ I 3 … I 3 [ p 1 p c ] × … [ p 4 p c ] × ] ⏟ A F = [ m ( p ¨ c + g ) I G ω b ˙ ] ⏟ b \underbrace{\begin{bmatrix} I_3 &\dots & I_3 \\ [p_1 p_c]\times &\dots &[p_4 p_c]\times \end{bmatrix}}_{A} F=\underbrace{\begin{bmatrix} m(\ddot{p}_c+g )\\ I_G\dot{\omega _b} \end{bmatrix}}_b A [I3[p1pc]×……I3[p4pc]×]F=b [m(p¨c+g)IGωb˙]
上式运用了基本的牛顿运动定律
- 合力 = ma
- 合力矩 = 惯量*角加速度
6. WBIC算法（Whole-Body Impulse Control）
WBIC算法中运用到了机器人的浮动基动力学模型，吸收了MPC计算得到数据以及机器人运动学模型所得数据。
WBIC的工作原理如下：
- 将机器人的运动分为多个任务，如触地控制任务，姿态控制任务，位置/速度控制任务等，并且任务具有优先级。
- 按照优先级的顺序，依次求解各个任务所需的电机前馈力矩输出公共解。
- 输出电机控制力矩
WBC的公式推导及应用可以参考我的学习笔记：
手推WBC公式
WBC控制的实际应用