Pipage Rounding的python代码实现

理论部分详细内容见https://blog.csdn.net/yusijinfs/article/details/127292028?csdn_share_tail=%7B%22type%22%3A%22blog%22%2C%22rType%22%3A%22article%22%2C%22rId%22%3A%22127292028%22%2C%22source%22%3A%22yusijinfs%22%7D

Pipage Rounding

记 $\mathcal{P}$ 为一 $n$ 维多面体. 一个 0-1 规划问题为:
$$\max \{F(x):x\in \mathcal{P}\cap \{0,1{\}}^n\}$$

其中, $F(x)$ 为目标函数, $\mathcal{P}$ 为约束条件.

假设:

1. 对所有非整数的 $x\in \mathcal{P}$, 总是存在一个向量 $v_x$ 与两个标量 ${\alpha }_x,{\beta }_x>0$, 使得:
   $x+{\alpha }_x{v}_x$ 与 $x-{\beta }_x{v}_x$ 比起 $x$ 都有严格更大数量的整数坐标.
2. $F(x)$ 在 $v_x$ 方向上是凸函数.

则, 存在 pipage rounding 的方法,使: 给定任意的分数向量 $x\in \mathcal{P}$, 总能找到整数向量 $x^{\text{int}}\in \mathcal{P}$, 使得 $F(x^{\text{int}})\ge F(x)$ 成立.

Pipage Rounding 的一个例子

• 记 $\mathcal{P}:=\{x\in [0,1{]}^n:{\sum }_{j=1}^n{x}_j=k\}$.

• 假设 $x$ 是 $\mathcal{P}$ 中的非整数向量, 则至少存在两个分数坐标, 记为 $x_p$ 和 $x_q$.

• 令 $e_p$ 和 $e_q$ 为 $x_p$ 和 $x_q$ 分量方向上的单位向量. 即 $e_p$ 在第 $p$ 个坐标为 $1$, 其它坐标为 $0$, $e_q$ 同理.

• 令 $v_x=e_p-e_q$, 令 ${\alpha }_x=\min (1-x_p,x_q)$, 令 ${\beta }_x=\min (1-x_q,x_p)$.

则 $x+{\alpha }_x{v}_x$ 和 $x-{\beta }_x{v}_x$ 总是能在第 $p$ 和 $q$ 分量上取整数, 且由于 $F(x)$ 在 $v_x$ 是凸的, 则必有 $F(x+{\alpha }_x{v}_x)\ge F(x)$ 和 $F(x-{\beta }_x{v}_x)\ge F(x)$ 成立.

Pipage Rounding 算法

Step 1: 给定非整数点 $x$, 选择一个尽量小的 tight 的集合 $T$. 注意, $x$ 至少有两个非整数点 $0<x(e)<1,0<x(f)<1$.

Step 2: 过点 $x$ 画一条直线, 记往 $x(e)$ 递增方向为 $+1$, 往 $x(f)$ 递增方向为 $-1$. 保持 $x(e)+x(f)$ 不变, 随机地在该直线上移动, 直到碰到多面体的表面.

记 $x_1$ 和 $x_2$ 分别为直线在 $+1$ 和 $-1$ 方向上与拟阵多面体的交点, 我们以概率 $p$ 从 $x$ 到达 $x_1$, 以概率 $1-p$ 从 $x$ 到达 $x_2$. $p$ 取 $p{x}_1+(1-p)x_2=x$ 的解.

这一做法得到得到一个 tight 的集合 $S$.

Step 3: 令 $x\leftarrow x_1$ (或 $x_2$), $T\leftarrow S\cap T$, 重复 Step 1, 直到 $x$ 为整数点.

算法至多需要 $|E|\cdot r_M(E)$ 次迭代.

代码

import numpy as np

def pipage_rounding(x):
    x = np.array(x)
    n = len(x)
    satisfy = np.zeros(n,dtype=np.bool8)
    
    for i in range(n-1):
        idx = np.random.choice(np.where(satisfy==False)[0],2,replace=False)
        x_select = x[idx]
        a,b = x_select
        if a + b <= 1:
            if np.random.uniform()< (a/(a+b)):
                x[idx[0]] += x[idx[1]]
                x[idx[1]] = 0
                satisfy[idx[1]]=True
            else:
                x[idx[1]] += x[idx[0]]
                x[idx[0]] = 0
                satisfy[idx[0]]=True
        else:
            if np.random.uniform()< ((1-a)/(2-a-b)):
                x[idx[0]] -= 1-x[idx[1]]
                x[idx[1]] = 1
                satisfy[idx[1]]=True
            else:
                x[idx[1]] -= 1-x[idx[0]]
                x[idx[0]] = 1
                satisfy[idx[0]]=True
    
    return (x+0.01).astype(np.int32)

测试单次pipage rounding

# test
pipage_rounding([0.1,0.8,0.4,0.7])  # result: [0,1,0,1]

测试pipage rounding分布期望

epoch = 10000
x = [0.1,0.9,0.3,0.7,0.4,0.6]
cnt = np.zeros(len(x))
for i in range(epoch):
    x_round = pipage_rounding(x)
    cnt += x_round
cnt/epoch