非线性干扰观测器简介

最近要用到非线性干扰观测器，搜了搜网上的资料，关于干扰观测器的资料不少，但是关于 非线性干扰观测器的不多，原因在于非线性干扰观测器较难设计。本文在此简单介绍一下非线性干扰观测器的基本原理及其稳定性证明。

1. 系统方程

这里依然采用系统的标准柯西形式：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=f+gU+d\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$U$为控制量，$d$为干扰。

对于不同的实际系统，表达式(1)可能有所不同，但最终都可以通过数学化简得到(1)式的结果。

现不考虑干扰$d$，可以得到系统的理想微分方程组：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=f+gU\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

2. 非线性干扰观测器的设计

设计干扰观测器如下：
$$\begin{array}{rl}\dot{z}& =-Lz-L\left(L{x}_2+f+gU\right)\\ \hat{d}& =z+L{x}_2\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$利用上式得出干扰的估计值$\hat{d}$，将其引入系统中加以消除，即可以将系统补偿为趋近于理想系统(2)的情况。

3. 非线性干扰观测器稳定性证明

不出意外地，依然使用李雅普诺夫稳定性理论进行证明。
对$\hat{d}$进行求导：
$$\begin{array}{rl}\dot{\hat{d}}& =\dot{z}+L{\dot{x}}_2\\ & =-Lz-L\left(L{x}_2+f+gU\right)+L\left(f+gU+d\right)\\ & =-Lz-L^2{x}_2-L\left(f+gU\right)+L\left(f+gU\right)+Ld\\ & =-L\left(z+L{x}_2\right)+Ld\\ & =-L\hat{d}+Ld\\ & =L\left(d-\hat{d}\right)\\ & =L\tilde{d}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$设李雅普诺夫函数
$$V=\frac{1}{2}{\tilde{d}}^2$$对其求导：
$$\dot{V}=\tilde{d}\dot{\tilde{d}}=\tilde{d}\left(\dot{d}-\dot{\hat{d}}\right)$$代入式(4)：
$$\dot{V}=\tilde{d}\left(\dot{d}-\dot{\hat{d}}\right)=\tilde{d}\left(\dot{d}-L\tilde{d}\right)=-L{\tilde{d}}^2+\tilde{d}\dot{d}\text{\hspace{1em}(5)}$$根据基本不等式
$$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$对式(5)有
$$\dot{V}\le -L{\tilde{d}}^2+\frac{{\tilde{d}}^2+{\dot{d}}^2}{2}=-\left(L-\frac{1}{2}\right){\tilde{d}}^2+\frac{1}{2}{\dot{d}}^2\text{\hspace{1em}(6)}$$又有以下定理：
定理1：若李雅普诺夫函数$V$满足
$$\dot{V}\le -\kappa V^{\lambda }+\theta ,\kappa ,\lambda ,\theta >0,且\theta 有界$$则系统为稳定的。

则(6)式为稳定的，其中$\kappa =L-\frac{1}{2},\lambda =1,\theta =\frac{1}{2}{\dot{d}}^2$。

4. 总结

非线性干扰观测器的方程核心即为(3)式，通过计算(3)式可以得到干扰的估计值$\hat{d}$，再引入系统中与干扰$d$相减，即可得到近似理想的无干扰系统。但使用该干扰观测器仍需注意：

• 干扰必须为有界的，否则定理1将不成立。
• 由于式(3)为迭代计算过程，在实际中需要注意代数环的产生，必要时可使用延迟模块delay进行规避。