Mixture Density Network：拟合多值函数

参考：当神经网络撞上薛定谔：混合密度网络入门 - 代码律动的文章 - 知乎，本文中的图片也来自这篇知乎文章，版权归原作者所有。

一般可通过神经网络来拟合任意的函数，为了进行简单的测试，作者通过：$$y=7.0\ast sin(0.75x)+0.5x+Gaussiannoise$$ 得到如下所示的蓝色数据点。那么就可以使用简单的神经网络对这些数据进行拟合，假设拟合的函数是$F(x)$，训练好后，就可以对任意$x$的函数值进行预测，红色点的高度就是每个$x$对应的函数值。

如果这些蓝色数据点以 $y=x$ 进行镜面对称的话，那么我们得到的数据无法再通过刚才的方法进行拟合，因为它本质上不是函数。如果非要拟合，将得到如下误差非常大的效果：

为此 Mixture Density Network 应运而生，它不是直接预测函数值，实际上也不好操作，因为对于具体的每个$x$，它有几个函数值是不确定的。因此， Mixture Density Network直接预测函数值对应的分布。假设$x$对应的多个函数值服从混合高斯分布，假设该混合高斯模型由$n$个高斯模型构成，那么，神经网络的输出就是：$n$个权重：$\{w_1,w_2,w_3,...w_n\}$，$n$个均值: $\{{\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,...{\mu }_n\}$, $n$个方差：$\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,...{\sigma }_n\}$. 混合高斯模型可以简单的表示为：
$$\sum _i^n{w}_i\frac{1}{\sqrt{(}2\pi ){\sigma }_i}{e}^{-\frac{x-{\mu }_i}{2{\sigma }_i^2}}$$

有了这个高斯分布，就可以通过在这个分布上采样得到多个函数值。

为此，可以在训练集上训练一个模型表示函数值服从的高斯混合分布。在对数据进行测试的时候，对于每一个数据 $x$ 均可预测出$n$个权重：$\{w_1,w_2,w_3,...w_n\}$，$n$个均值: $\{{\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,...{\mu }_n\}$, $n$个方差：$\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,...{\sigma }_n\}$，那么就可以在这个混合高斯分布上采样多个点作为 $x$ 对应的多个函数值 $y$。 这里在$x\in [-15,15]$区间内，以0.1为步长，对每个 $x$都随机采样10个 $y$ 值， 也就是每个$x$对应10个$y$值，把所有这些$(x,y)点画到图上（红色的点）$，就以得到如下的图像。可以看到，这些红色的点很好的拟合了蓝色数据点的分布。