最佳平方逼近多项式

一 内积与正交多项式

定义1  设 ， 是［a，b］上的权函数，记

      (1)

称为函数 上带权 的内积。

内积具有以下性质：

① 对称性 ；

② 齐次性 ；

③ 可加性  ；

④ 非负性 ，且 当且仅当 ， x∈［a，b］。

定义2  如果内积 (2)则称函数f，g在［a，b］上带权 正交。

例如，三角函数系 是 上带权 ≡1的正交函数系。

 如果［a，b］上的连续函数系 满足

     （3）

则称 是［a，b］上带权 的正交函数系。如果 为多项式系， 且 是最高项系数 的n次多项式，则称 为区间［a，b］上 带权 的正交多项式系，并称 是［a，b］上带权 的n次正交多项式。

利用Gram-Schmidt 方法可以构造出［a，b］上的带权 的正交多项式系 如下：

         （4）

 这样构造出的正交多项式系 具有以下性质：

① 是最高项系数为1的n次多项式；

② 任意n次多项式均可表示为前n+1个 的线性组合；

③ 对于任意i≠j， ，并且 与任一次数小于n的多项式都正交；

④ 在区间［a，b］ 内有n个互异的实零点。

首项系数为1的正交多项式系 有下面递推关系：

    (5)

其中

            (6)

 

二  常见的正交多项式系

1. 勒让德多项式

在区间［-1，1］上权函数为 ≡1的正交多项式

（7）

称为勒让德(Legendre)正交多项式，显然 的首项 的系数 ，故

表示首项系数为1的勒让德多项式。

勒让德多项式 具有以下性质：

① 正交性  

      （8）

② 递推关系

    （9）

由 递推可得

   

③ 奇偶性

即：当n为奇数时， 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数。  

④ 在区间［-1，1］内有n个互异的实零点。

2.切比雪夫多项式在区间［-1，1］上权函数为 的正交多项式

     （10）

称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。

切比雪夫多项式具有以下性质：

①    ①    正交性

   （11）

② 递推关系

       （12）

由 递推可得

显然， 的首项系数 (n≥1)。

③ 奇偶性 当n为奇数时， 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数。即

④ 在区间［-1，1］内有n个互异的实零点 。

三 最佳平方逼近多项式

定义3 设f(x)∈C［a，b］，若有一次数不超过n(n≤m)的多项式 ，使得

     （1 3）

称满足式（13）的 为f(x)在区间［a，b］上的n次最佳平方逼近多项式。该问题等价于求多元函数

的最小值。由多元函数求极值的必要条件，得

  

即

     （14）

式（14）是关于 的线 性方程组，用矩阵表示为

     （15） 

式（14）或式（15）称为正规方程组或法方程组。

可以 证明，方程组（15）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（14）中解出 ，从而可得最佳平方逼近多项式

若［a，b］=［0， 1］， ≡1，则

方程组（15）的系数矩阵为

称为希尔伯特（Hierbert）矩阵。以后，不特别声明，均取 ≡1。

例1  求 在区间［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。

解

得正规方程组

解得 ，所以



用 作基，求最佳平方逼近多项式，当n 较大时，系数矩阵是病态矩阵， 求正规方程组的解，舍入误差会很大，这时选正交多项式为基，就可避免这种情况。

一般地，设

同式（14）的推导完全类似，可得 应满足的正规方程组为        

其中

若取 ，则式（16）就是式（13）；若取 为区间［a，b］上的正交多项式，则式（16）的系数矩阵为对角矩阵，解为

     （17） 

例4   求 在区间［-1,1］上的三次最佳平方逼近多项式。

解 在式（16）中，取勒让德多项式系中 为基，则

 得

所以

对于有限区间［a，b］，做变量替换

于是 在区间［-1,1］上可用勒让德多项式为基求得最佳平方逼近多项式 ，从而得到在区间［a,b］的最佳平方逼近多项式 ，这与用（15）求得的是一致的，但用前者计算公式比较方便，不存在病态问题。