核酸检测多少人为一组混检合适?

今天在想一个有趣的问题。核酸检测的混检,必然是当患病率越低时,则混到一个管子的人数越多越好,因为这样检测的期望次数就会更少。那么问题来了,当患病率多高时,混检就失去了意义?当混检没失去意义时,检测多少次才会令期望的检测次数最低。

知乎上有人给出了这个问题的 答案。然而,这个答案我并不是非常地满意,他们只是考虑总人数比较多的时候,用样本概率去近似估计条件概率,有一定的近似成分在里面。能精确逼近的,为什么要用估计?我不喜欢这个。某种意义上来说,他们给出的答案是 “不对” 的。“不对” 加引号是因为,即使不对,在样本数足够大的情况下,几乎是对的。

来,我们来考虑一下这个问题。不妨假设总人数为 N N N,患病(敏感词汇,用患病替代)的人数为 M M M,假设混检的策略采用 k k k 个人一组进行混检,检出患病,这 k k k 个人则进行一次额外的检测。问,给定 N N N M M M 的情况下,总的检测次数(期望意义下)和 k k k 是什么样的一个关系?为了方便,假设下述的所有相除数量关系都是可以整除的,这个不是重要的。

如果我们以所有人数作为考虑,计算他们总检测次数的期望,你会发现,它的检测次数出现的情况非常多,小到 N / k + k N/k+k N/k+k,大到 N / k + M k N/k+Mk N/k+Mk。而要计算每个次数出现的概率,要算很多组合数,非常麻烦。因为,我们不妨换一个角度,考虑每个人消耗检测次数的期望值,再把它乘以总人数 N N N,那么就得到这个整体的检测次数的期望。

对于一个人来说,他消耗的检测次数要么是 1 / k 1/k 1/k,要么是 1 + 1 / k 1+1/k 1+1/k,只有这两种情况,相对简单多了。 1 / k 1/k 1/k 当且仅当他的这一组里面,没有人患病。它的概率是:
P ( 1 / k ) = C N − M k C N k = ∏ i = 0 k − 1 N − M − i N − i P(1/k) = \frac{C_{N-M}^k}{C_N^k}=\prod_{i=0}^{k-1}\frac{N-M-i}{N-i} P(1/k)=CNkCNMk=i=0k1NiNMi
同理,只要这一管子里面有人患病,那么他消耗的检测次数就会变成 1 + 1 / k 1+1/k 1+1/k。这种情况发生的概率为:
P ( 1 + 1 / k ) = 1 − C N − M k C N k = 1 − ∏ i = 0 k − 1 N − M − i N − i . P(1+1/k) = 1- \frac{C_{N-M}^k}{C_N^k}=1-\prod_{i=0}^{k-1}\frac{N-M-i}{N-i}. P(1+1/k)=1CNkCNMk=1i=0k1NiNMi.
那么,一个人的消耗的检测次数的数学期望为:
E ( k ) = 1 / k ∗ P ( 1 / k ) + ( 1 + 1 / k ) ∗ P ( 1 + 1 / k ) = k + 1 k + ∏ i = 0 k − 1 M − N + i N − i E(k) = 1/k*P(1/k)+(1+1/k) *P(1+1/k) =\frac{k+1}{k}+\prod_{i=0}^{k-1}\frac{M-N+i}{N-i} E(k)=1/kP(1/k)+(1+1/k)P(1+1/k)=kk+1+i=0k1NiMN+i
MMP,这个似乎没办法再化简。不是我不行,我用 MATLAB 符号计算试了一下,确实没法化简。用到的代码如下:

clc
clear
close all
syms N M 
k = 5;
Pk1 = 1;
for i = 0:k-1
    Pk1 = Pk1*(N-M-i)/(N-i);
end
Pk1_ = 1-Pk1;
E = 1/k*Pk1+(1+1/k)*Pk1_;
Esim = simplify(E)
Efac = factor(Esim);
latex(Esim)
latex(Efac)

那么,总的检测次数的数学期望就是 N ∗ E ( k ) N*E(k) NE(k),一般我们考虑 E ( k ) E(k) E(k) 就可以了。我们用两种方法来验证一下这个结果,第一个方法是找一些简单的值和手算做对比,第二个方法是用程序做一个大数据量下的仿真。

M = 1 M=1 M=1 N = 4 N=4 N=4 k = 2 k=2 k=2 时, N ∗ E ( k ) = 4 N*E(k)=4 NE(k)=4,和我们手算的结果一样。所用到的程序如下。

NE(M,N) = N*E;
NEfun = matlabFunction(NE);
NEfun(2,6)

M = 2 M=2 M=2 N = 6 N=6 N=6 k = 3 k=3 k=3 时, N ∗ E ( k ) = 6.8 N*E(k)=6.8 NE(k)=6.8,和我们手算的结果 6.5 不一样。手算的过程为, 6 6 6 个人两组,至少要做两次。两个患病的进入一个管子的概率如同时抛两枚硬币,硬币朝向是相同的概率为 0.5。故而,有 0.5 的可能要多做 3 次,有另外 0.5 的可能要多做 6 次。一次总的次数 2 + 3 ∗ 0.5 + 6 ∗ 0.5 = 6.5 2+3*0.5+6*0.5 = 6.5 2+30.5+60.5=6.5

这里的结果发生了不一致,到底是谁对谁错呢?让我们用程序仿真来模拟一下。

clc
clear
close all
M = 2;
N = 6;
k = 3;
Ms = 1:M;

s = 0;
NN = 1000000;
N_k = N/k;
for ii=1:NN
    R = reshape(randperm(N),k,[]);
    res = 0;
    for i=1:N_k
        if(intersect(R(:,i),Ms)>0)
            res = res+1;
        end
    end
    s = s+res*k+N_k;
    s/ii
end

模拟的结果是 6.8,说明我们手算的那个思路是不对的,我来看看为什么。其实很简单,2个管子,6 个人,每个管子 3 个人,2 个患病的人进入同一个管子的概率不是 1/2,而是 1 / 2 ∗ 2 / 5 ∗ 2 = 2 / 5 1/2*2/5*2=2/5 1/22/52=2/5。这个和抛硬币是不一样的,仔细想想就知道了,这里不再赘述。一言以蔽之,抛硬币没有一管三人的约束,是不一样的。

接下来,我们来看一下,在 M M M N N N 固定的情况下, E E E k k k 是什么样一个限制关系,以及 E ( k ) E(k) E(k) 的极值点在哪。上面的论述都是基于 k > 1 k>1 k>1 的时候,当 k = 1 k=1 k=1 的时候,因为就一个人,即使测出患病,也没必要再测一次。所以,需要对公式做一个修正。考虑
E ( k ) = k + 1 k + ∏ i = 0 k − 1 M − N + i N − i , k > 1 E ( k ) = 1 , k = 1. E(k) =\frac{k+1}{k}+\prod_{i=0}^{k-1}\frac{M-N+i}{N-i},k>1\\ E(k) =1,k=1. E(k)=kk+1+i=0k1NiMN+ik>1E(k)=1k=1.

事实上, E E E 关于 k k k 求导 E ′ ( k ) E'(k) E(k) 是一件非常麻烦的事情,不是初等数学可以做的。所以,我们寄希望于用 MATLAB 画一下图,再看看结果。为了把细节看清楚,我分了两张图画。
核酸检测多少人为一组混检合适?_第1张图片
从图上可以看得出来,当患病率高于 0.3 的时候,就已经不适合混检了。
核酸检测多少人为一组混检合适?_第2张图片
可以看得出来,患病率越低,可以达到的极值点越小。且随着 k k k 的增加, E ( k ) E(k) E(k) 先减后增,最后总是趋向于 1 的。当患病率低到 0.01 左右的时候,差不多 10 个人混检是比较合理的。

clc;clear;close all;
Rs = [0.05 0.04 0.02 0.011 0.01 0.005 0.001 0.0005];
%Rs = 4/100000;
for R = Rs
    N = 40000000000000;
    M = round(N*R);
    K = 50;
    for k=1:K
        y(k) = E(N,M,k);
    end
    plot(1:K,y);
    title('个人消耗检测数随混检人数 k 的变化')
    xlabel('混检人数 k')
    ylabel('每个人消耗试剂数期望 E(k)')
    hold on;
    [val,ind] = min(y);
    text_points(ind,val,val)
    %scatter(ind,val)
end
for i = 1:length(Rs)
    legends{i} = ['患病率R=' num2str(Rs(i))];
end
legend(legends)


function Ev = E(N,M,k)
if(k==1)
    Ev=1;
    return;
end
Pk1 = 1;
for i = 0:k-1
    Pk1 = Pk1*(N-M-i)./(N-i);
end
Pk1_ = 1-Pk1;
Ev = 1./k*Pk1+(1+1./k).*Pk1_;
end

function text_points(x,y,R)
sz = length(x);
if(size(x,2)>1)
    x = x.';
end
if(size(y,2)>1)
    y = y.';
end
if(size(R,2)>1)
    R = R.';
end
strs = [num2str(x) ',' num2str(R)];
text(x,y,strs);
end

还有一个问题是,考虑到北京市当前的极低的患病率,大约 4/100000,那么得到的最优的 k k k 就应该是 160。但是现在却不以这个数值执行,这是为什么呢?这是因为取这个最优值消耗的试剂虽然是少了。但是对于被检测者来说,不管是混检还是单检,做一次核酸真的就是要付出做一次核酸的成本,排一次队,刮一次鼻子,遭一次罪。混检对测试成本消耗来说,确实是 1 / k 1/k 1/k,但对于被测试这来说,他就是 1。极端情况,如果 k = 1 k=1 k=1 ,百姓只要做一次核酸,核酸免费的时代,他们当然更愿意单检。反之,如果 k k k 太大了,虽然检测次数期望达到了最优,但是一旦某个管子检测出患病,哪怕里面只有一个人患病,就要白白拉着其他 k − 1 k-1 k1 个人再做一次检测。将被检测者的感受纳入考量,本着以人为本,所以这个 k k k 不一定要取到最优,有时候牺牲一点测试成本,换来大家的轻松,也是很好的选择。

有人说,可以再采用的时候,把每个人的样本分两份,当检测出患病的时候,再把备份拿出来单独测,这样就不需要喊人来车第二次了。考虑到患病率极低,这种分两份的人工成本是极高的,已经远远超过了把一起混检的人喊来再测一次的成本,更远远超过了不采用最优参数 k k k 而采用更小的,所损失的测试成本。

你可能感兴趣的:(数学原理,数据科学与人工智能,核酸,优化,数学,决策,混检)