一 内积与正交多项式
定义1 设，是［a，b］上的权函数，记
(1)
称为函数上带权的内积。
内积具有以下性质：
① 对称性；
② 齐次性；
③ 可加性 ；
④ 非负性，且当且仅当， x∈［a，b］。
定义2 如果内积(2)则称函数f，g在［a，b］上带权正交。
例如，三角函数系是上带权≡1的正交函数系。
如果［a，b］上的连续函数系满足
（3）
则称是［a，b］上带权的正交函数系。如果为多项式系， 且 是最高项系数的n次多项式，则称为区间［a，b］上 带权的正交多项式系，并称 是［a，b］上带权的n次正交多项式。
利用Gram-Schmidt 方法可以构造出［a，b］上的带权的正交多项式系如下：
（4）
这样构造出的正交多项式系具有以下性质：
① 是最高项系数为1的n次多项式；
② 任意n次多项式均可表示为前n+1个的线性组合；
③ 对于任意i≠j，，并且与任一次数小于n的多项式都正交；
④ 在区间［a，b］ 内有n个互异的实零点。
首项系数为1的正交多项式系有下面递推关系：
(5)
其中
(6)
二 常见的正交多项式系
1. 勒让德多项式
在区间［-1，1］上权函数为≡1的正交多项式
（7）
称为勒让德(Legendre)正交多项式，显然 的首项的系数，故
表示首项系数为1的勒让德多项式。
勒让德多项式 具有以下性质：
① 正交性
（8）
② 递推关系
（9）
由递推可得
③ 奇偶性
即：当n为奇数时，为奇函数；当n为偶数时，为偶函数。
④在区间［-1，1］内有n个互异的实零点。
2.切比雪夫多项式在区间［-1，1］上权函数为的正交多项式
（10）
称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。
切比雪夫多项式具有以下性质：
① ① 正交性
（11）
② 递推关系
（12）
由递推可得
显然，的首项系数(n≥1)。
③ 奇偶性 当n为奇数时，为奇函数；当n为偶数时，为偶函数。即
④ 在区间［-1，1］内有n个互异的实零点。
三 最佳平方逼近多项式
定义3 设f(x)∈C［a，b］，若有一次数不超过n(n≤m)的多项式，使得
（1 3）
称满足式（13）的为f(x)在区间［a，b］上的n次最佳平方逼近多项式。该问题等价于求多元函数
的最小值。由多元函数求极值的必要条件，得
即
（14）
式（14）是关于的线 性方程组，用矩阵表示为
（15）
式（14）或式（15）称为正规方程组或法方程组。
可以 证明，方程组（15）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（14）中解出，从而可得最佳平方逼近多项式
若［a，b］=［0， 1］，≡1，则
方程组（15）的系数矩阵为
称为希尔伯特（Hierbert）矩阵。以后，不特别声明，均取≡1。
例1 求在区间［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。
解
得正规方程组
解得，所以
用作基，求最佳平方逼近多项式，当n 较大时，系数矩阵是病态矩阵， 求正规方程组的解，舍入误差会很大，这时选正交多项式为基，就可避免这种情况。
一般地，设
同式（14）的推导完全类似，可得应满足的正规方程组为
其中
若取，则式（16）就是式（13）；若取为区间［a，b］上的正交多项式，则式（16）的系数矩阵为对角矩阵，解为
（17）
例4 求在区间［-1,1］上的三次最佳平方逼近多项式。
解 在式（16）中，取勒让德多项式系中为基，则
得
所以
对于有限区间［a，b］，做变量替换
于是在区间［-1,1］上可用勒让德多项式为基求得最佳平方逼近多项式，从而得到在区间［a,b］的最佳平方逼近多项式，这与用（15）求得的是一致的，但用前者计算公式比较方便，不存在病态问题。