动态规划——斐波那契数列三种解法

一、基本概念

动规是非递归的一种代码可以保存下来一些过程的解
1. 把原来的为标题分解成几个相似的子问题
2. 所有的子问题都只需要解决一次
3. 储存子问题的解

动规本质：是对问题状态的定义和状态方程的定义（状态以及状态之间的递归关系）

动态规划问题一般从以下四个角度考虑：
1. 状态定义
2. 状态间的转移方程定义
3. 状态的初始化
4. 返回的结果

状态定义的要求：定义的状态一定要形成递推关系。

一句话概括：三特点四要素本质

适用场景：最大值/最小值。可不可行。是不是，方案个数。

递归的思想还是要从实际问题切入来理解，

二、斐波那契数列

这道题是剑指Offer的一道题，非常经典

描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0，第1项是1）。
$n\le 39n\le 39$

斐波那契数列

2.1 递归解法

首先，递归解法很容易理解，但是递归对n有很大的要求，太大会导致栈帧溢出，究其原因是每次返回的都是两个函数的递归，随着n的增大造成指数级增长。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0)
            return 0;
        if(n == 1 || n ==2)
            return 1;
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    }
};

这道题递归解法空间复杂度是O(2^(n-1))，时间复杂度O(N)，这道题使用动规如何解呢？

2.2 动规解法

我们列出四要素：

问题：
数列第n项的值

状态F(i)：
数列第i项的值

转移方程：
$$F(i)=F(i-1)+F(i-2)$$
初始状态至少有两项：
F(0) = 0
F(1) = 1
返回值
F(n)

我们可以用一个数组把中间某一项的值保存下来，后一项的值就等于前两项值之和

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        //时间复杂度O（n）空间复杂度O(n)
        vector<int> F(n + 1, 0);    //定义数组保存每一次的状态值
        //初始化：F[0] = 0, F[1] = 1
        F[0] = 0;
        F[1] = 1;
        //状态方程求解F[i] = F[i - 1] + F[i - 2]
        for(int i = 2; i <= n; ++i)
        {
            F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
        }
        return F[n];
};

这道题时间复杂度O（n），空间复杂度O(n)，依然可以继续优化

2.3 迭代解法

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {     
        //时间复杂度O(n),空间复杂度是O(1)
        //fn1代表f(n - 1), fn2代表f(n - 2)
        int fn1 = 1;
        int fn2 = 0;
        int fn;
        if(n <= 1)
            return n;
        for(int i = 2; i <=n; ++i)
        {
            fn = fn1 + fn2;
            fn2 = fn1;
            fn1 = fn;
        }
        return fn;
    }
};

通过迭代，这道题时间复杂度O(n),空间复杂度是O(1)