神奇的兔子序列（斐波那契数列）
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神奇的兔子序列
假设第1个月有1对刚诞生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去。那么，由1对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
注：兔子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）。1202年，他撰写了《算盘全书》（《Liber Abaci》）一书，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。
案例分析
以1对新出生小兔子为例。
第1个月：小兔子1没有繁殖能力，所以还是1对。
第2个月：小兔子1进入成熟期，还是1对。
第3个月：小兔子1生了1对小兔子2，本月共有2对兔子。
第4个月：小兔子1又生了1对小兔子3，本月共有3对兔子。
第5个月：小兔子1又生了1对小兔子4，而在第3个月出生的小兔子2也生了1对小兔子5，本月共有5对兔子。
第6个月：小兔子1,2,3各生1对小兔子，本月共有8对兔子。
。。。
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因此可以推出：
n 当月的兔子对数 = n 上月兔子对数 + n 上上月兔子对数 n_{当月的兔子对数}=n_{上月兔子对数}+n_{上上月兔子对数} n当月的兔子对数=n上月兔子对数+n上上月兔子对数
其对应的斐波那契数列如下：
1 , 1 , 2 , 3.5 , 8 , 13 , 21 , 34 , . . . (1) 1, 1, 2, 3. 5, 8, 13, 21, 34,... \tag1 1,1,2,3.5,8,13,21,34,...(1)
其对应的递归表达式为
F ( n ) = { 1 , n = 1 1 , n = 2 F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) , n > 2 (2) F(n)=\begin{cases} 1 ,\quad n=1 \\ 1 ,\quad n=2 \\ F(n-1)+F(n-2) , \quad n>2 \end{cases} \tag2 F(n)=⎩ ⎨ ⎧1,n=11,n=2F(n−1)+F(n−2),n>2(2)
根据递归公式，我们可以设计出其对应的递归算法：
//递归的方式
fib(int n)
{
if(n < 1)
{
return -1;
}
if(n == 1 || n == 2) //对应递归表达式中n=1或n=2的情况
{
return 1;
}
return fib(n -1) + fib(n - 2); //对应n>2的情况
}
下面我们分析一下它的时间复杂度，斐波那契数列的通项公式为（其推到过程可自行百度）
F ( n ) = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n ( 1 − 5 2 ) n ] (3) F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} \Bigg[ \Bigg(\frac{1+{\sqrt{5}}}{2} \Bigg)^n \Bigg(\frac{1-{\sqrt{5}}}{2} \Bigg)^n \Bigg] \tag3 F(n)=51[(21+5)n(21−5)n](3)
当n趋近于无穷的时候，根据其通项公式分析可得，上例算法的时间复杂度为 O ( ( 1 + 5 2 ) n ) O((\frac{1+{\sqrt{5}}}{2} )^n ) O((21+5)n)，属于指数阶的算法。
根据递归公式设计出来的算法时间复杂度过大，影响实际应用的效率，我们不妨从式子（1）入手，从式子（1）可以发现：数列从第三项开始，数列中的每一项都是前两项之和，那我们的算法如果不采用迭代，直接使用数组，是否可以降低其时间复杂度。
//数组的方式
int fib(int n)
{
if（ n == 1 || n == 2）
{
return 1;
}
int pre1 = 1; //记录前一项
int pre2 = 1; //记录前二项
for(int i = 3, i <= n; i++)
{
int tmp = pre2 + pre1;
pre2 = pre1;
pre1 = tmp;
}
return pre1;
}
通过上例，可以明显的发现时间算法执行得次数的高阶项只剩n，其复杂度变为 O ( n ) O(n) O(n)，时间复杂度大大降低。
我们对斐波那契序列进一步分析，根据公式（2）引入矩阵，可以归纳出公式（4）：
[ F n + 2 F n + 1 ] = [ 1 11 0 ] [ F n + 1 F n ] = [ F 2 F 1 F 1 F 0 ] [ F n + 1 F n ] (4) \left[ \begin{matrix}F_{n+2} \\F_{n+1}\end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}1 & 1 1 & 0 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} F_{n+1} F_{n}\end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}F_{2} & F_{1}F_{1} & F_{0}\end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}F_{n+1} F_{n}\end{matrix}\right] \tag4 [Fn+2Fn+1]=[1110][Fn+1Fn]=[F2F1F1F0][Fn+1Fn](4)
其中 F 0 = 0 F_0=0 F0=0（为了分析方便，我们引入 F 0 = 0 F_0=0 F0=0），那么当n=1、2、3的时候会有
n = 1 时 − − − − − − > [ F 3 F 2 ] = [ F 2 F 1 F 1 F 0 ] [ F 2 F 1 ] \\n=1时------>\left[ \begin{matrix}F_{3}F_{2}\end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix}F_{2} & F_{1} \\F_{1} & F_{0}\end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}F_{2} F_{1}\end{matrix}\right] n=1时−−−−−−>[F3F2]=[F2F1F1F0][F2F1]
n = 2 时 − − − − − − > [ F 4 F 3 ] = [ F 2 F 1 F 1 F 0 ] [ F 3 F 2 ] n=2时------>\left[ \begin{matrix}F_{4} F_{3}\end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix}F_{2} & F_{1} \\ F_{1} & F_{0}\end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}F_{3} F_{2}\end{matrix}\right] n=2时−−−−−−>[F4F3]=[F2F1F1F0][F3F2]
n = 3 时 − − − − − − > [ F 5 F 4 ] = [ F 2 F 1 F 1 F 0 ] [ F 4 F 3 ] n=3时------>\left[ \begin{matrix}F_{5} F_{4}\end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}F_{2} & F_{1} \\F_{1} & F_{0}\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}F_{4} F_{3}\end{matrix}\right] n=3时−−−−−−>[F5F4]=[F2F1F1F0][F4F3]
根据上面的式子我们可以得到
[ F n + 2 F n + 1 ] = [ 1 1 1 0 ] n [ F 1 F 1 ] = [ 1 1 1 0 ] n [ 1 1 ] (6) \left[ \begin{matrix}F_{n+2} \\F_{n+1}\end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right]^{n}\left[ \begin{matrix}F_{1} \\F_{1}\end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}1 & 1 \\1& 0\end{matrix}\right]^{n}\left[ \begin{matrix}1 \\1\end{matrix}\right]\tag6 [Fn+2Fn+1]=[1110]n[F1F1]=[1110]n[11](6)
由于 F n + 2 = F n + 1 + F n 、 F n + 1 = F n + F n − 1 F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}、F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} Fn+2=Fn+1+Fn、Fn+1=Fn+Fn−1，结合向量 [ 1 1 ] \left[ \begin{matrix} 1\\ 1 \end{matrix} \right] [11]，则有
[ F n + 2 F n + 1 ] = [ F n + 1 F n F n F n − 1 ] [ 1 1 ] (7) \left[ \begin{matrix}F_{n+2} \\F_{n+1}\end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}F_{n+1} & F_{n} \\F_{n} & F_{n-1}\end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}1 \\1\end{matrix}\right]\tag7 [Fn+2Fn+1]=[Fn+1FnFnFn−1][11](7)
结合（6），我们可以假设
[ 1 1 1 0 ] n = [ F n + 1 F n F n F n − 1 ] \left[ \begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right]^{n}=\left[ \begin{matrix}F_{n+1} & F_{n} \\F_{n} & F_{n-1}\end{matrix}\right] [1110]n=[Fn+1FnFnFn−1]
我们令 A = [ 1 1 1 0 ] A=\left[ \begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right] A=[1110]，则
A n = [ F n + 1 F n F n F n − 1 ] (8) A^n=\left[ \begin{matrix}F_{n+1} & F_{n} \\F_{n} & F_{n-1}\end{matrix}\right] \tag8 An=[Fn+1FnFnFn−1](8)
事实上，我们可以通过数学归纳法对（8）进行验证（验证过程可自行百度）我们的假设是对。那么我们可以基于（8）继续进行分析。
由（2）和（8）可得
A 2 m = A m ∗ A m = [ F 2 m + 1 F 2 m F 2 m F 2 m − 1 ] = [ F m + 1 F m F m F m − 1 ] ∗ [ F m + 1 F m F m F m − 1 ] = [ F m + 1 2 + F m 2 F m ( F m + 2 F m − 1 ) F m ( F m + 2 F m − 1 ) F m 2 + F m − 1 2 ] (9) A^{2m}=A^m*A^m =\left[ \begin{matrix}F_{2m+1} & F_{2m} \\F_{2m} &F_{2m-1}\end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}F_{m+1} & F_{m} \\F_{m} & F_{m-1}\end{matrix}\right]* \left[ \begin{matrix}F_{m+1} & F_{m} \\F_{m} & F_{m-1}\end{matrix}\right]\\=\left[ \begin{matrix}F_{m+1}^2+F_m^2 & F_{m}(F_m+2F_{m-1}) \\F_{m}(F_m+2F_{m-1}) & F_{m}^2+F_{m-1}^2\end{matrix}\right]\tag9 A2m=Am∗Am=[F2m+1F2mF2mF2m−1]=[Fm+1FmFmFm−1]∗[Fm+1FmFmFm−1]=[Fm+12+Fm2Fm(Fm+2Fm−1)Fm(Fm+2Fm−1)Fm2+Fm−12](9)
由（9）可得
F 2 m + 1 = F m + 1 2 + F m 2 (10) F_{2m+1}=F_{m+1}^2+F_m^2 \tag{10} F2m+1=Fm+12+Fm2(10)
F 2 m = F m ( F m + 2 F m − 1 ) (11) F_{2m}=F_{m}(F_m+2F_{m-1}) \tag{11} F2m=Fm(Fm+2Fm−1)(11)
因此，我们可以判断n的奇偶性，来使用不同的计算方式，对应的代码如下：
//奇偶的方式
int fib(int n)
{
if(n == 1 || n == 2)
{
return 1;
}
int k = (n & 1) == 1 ? (n + 1) /2 : n / 2;
return (n & 1) == 1 ? (fib(k) * fib(k) + fib(k - 1) * fib( k- 1))
: fib(k - 1)) : (2 * fib(k - 1) + fib(k)) * fib(k);
}
接下来我们分析一下该算法的时间复杂度，以 F ( 5 ) F(5) F(5)为例。
fib(5)
/ \
fib(3) fib(2)
/ \
fib(2) fib(1)
通过上面 F ( 5 ) F(5) F(5)的例子，我们可以看到该算法明显的降低了 F ( n ) F(n) F(n)的时间复杂度，其每次以n减半的效率迭代，因此其时间复杂度为 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)。