概率论与数理统计学习：数字特征（一）——知识总结与C语言实现案例

hello，大家好

这里是第十期的概率论与数理统计的学习，我将用这篇博客去总结知识点和用C语言实现案例的过程。

本期知识点——期望

• 离散型随机变量的期望
• 连续型随机变量的期望
• 随机变量函数的期望
• 期望的性质

期望的引入

随机变量的分布函数是对随机变量概率性质的完整的刻画，描述了随机变量的统计规律性。

但在实际问题中有时不容易确定随机变量的分布，也没那个必要，而我们只需要知道它的某些特征就行了。这些特征就是随机变量的数字特征，是由随机变量的分布所决定的常数。

例如，对一射手进行技术评定时，经常考察射击命中环数的平均值；检查一批棉花的质量时，所关心的是棉花纤维的平均长度等。也就是我们不需要了解一批东西全部的情况，那样太费时间，效率不高，而通过平均值就能看出一个整体的大概情况。这个平均值就是数学期望，简称为期望

下面开始知识总结

知识总结

☁️ 离散型随机变量的期望

定义：设离散型随机变量的概率分布为$$P\{X=x_i\}=p_{i}i=1,2,...$$
若级数$\sum _i{x}_i{p}_i$绝对收敛，即$\sum _i|x_i|p_i$收敛，则称$\sum _i{x}_i{p}_i$为随机变量$X$的期望，记为$E(X)$。即$$E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i$$

为什么要保证那个级数绝对收敛？

在$X$可列无限个值时，级数$\sum _i{x}_i{p}_i$绝对收敛可以保证级数之值不因级数各项次序的改排而变化，这样$E(X)$与$X$取的值的人为排列次序无关。

如何理解期望和均值？

期望的定义就是随机变量$X$的值乘上它表示的事件发生的概率。所以将$E(X)$成为$X$的均值更能反应这个概念的本质。

下面介绍几种常用的离散型随机变量的期望，后续都会用C语言实现

☀️ 两点分布

X	1	0
P	p	1-p

$$E(X)=1\times p+0\times (1-p)=p$$

☀️ 二项分布

设$X$~$B(n,p)$，概率分布为$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}k=0,1,2,...,n$$

$$E(X)=np$$

☀️ 泊松分布

设$X$~$P(\lambda )$，概率分布为$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }k=0,1,2,...$$
$$E(X)=\lambda$$

☁️ 连续型随机变量的期望

定义：设连续型随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，若积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$绝对收敛，即${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f(x)dx$收敛，则称积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$的值为随机变量$X$的期望，记为$E(X)$，即$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$

下面介绍几种常用的连续型随机变量的期望

☀️ 均匀分布

设$X$~$U[a,b]$，概率密度函数为$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a}a\le x\le b\\ 0其它\end{array}$$
$$E(X)={\int }_a^b\frac{x}{b-a}dx=\frac{1}{2}(a+b)$$

☀️ 指数分布

设$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，概率密度函数为$$f(x)=\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x}x\ge 0\\ 0x<0\end{array}\lambda >0$$
$$E(X)={\int }_0^{+\infty }\lambda x{e}^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$$

☀️ 正态分布

设$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$，概率密度函数为$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty$$
$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx$$
令$t=\frac{x-\mu }{\sigma }$，可得$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }(\mu +\sigma t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\mu$$
最后可得$$E(X)=\mu$$

☁️ 随机变量的期望总结

1. 离散型

• 两点分布：$E(X)=p$
• 二项分布：$E(X)=np$
• 泊松分布：$E(X)=\lambda$

2. 连续型

• 均匀分布：$E(X)=\frac{1}{2}(a+b)$
• 指数分布：$E(X)=\frac{1}{\lambda }$
• 正态分布：$E(X)=\mu$

☁️ 随机变量函数的期望

定义：设$g(x)$是连续函数，$Y$是随机变量$X$的函数：$Y=g(X)$。

1. 设$X$是离散型随机变量，概率分布为$P\{X=x_i\}=p_{i}i=1,\mathrm{2...}$，若$\sum |g(x_i)|p_i$收敛，则有$$E(Y)=E[g(X)]=\sum g(x_i)p_i$$
2. 设$X$是连续型随机变量，概率密度函数为$f(x)$，若积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }|g(x)|f(x)dx$收敛，则有$$E(Y)=E[g(x)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$$

根据上面的结论，我们可以推广到两个随机变量函数$Z=g(X,Y)$的情形：

• 对离散型，设$P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij}i=1,\mathrm{2...}j=1,\mathrm{2...}$，则有$$E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum _i\sum _{j}g(x_i,y_i)p_{ij}$$
• 对连续型，设$f(x,y)$是$(X,Y)$的概率密度函数，则$$E(Z)=E[g(X,Y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$$

☁️ 期望的性质

1. 设$c$是常数，则$E(c)=c$
2. 设$k$是常数，则$E(kX)=kE(X)$
3. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
4. 设$X$与$Y$相互独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$

C语言实现案例

1. 某种产品的次品率是0.1，检验员每天检验4次，每次随机抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数大于1，则应调整设备。设各件产品是否为次品是相互独立的，求一天中调整设备次数的期望。

题目分析：题目的要求是只要有一次检验，十件产品中次品数大于1，就需调整设备。而一天中又要检验4天，并且求的是一天中调整设备的次数。所以我们可以先求出每一次检验后需要调整设备的概率，然后就可以转化为二项分布$X$~$B(n,p)$，求得一天中四次检验需要调整设备的期望。

#include 
// The algorithm of Combination ——组合的算法
int Combination(int n,int m)
{
	int sum = 1,p = 1;
	for( ; m > 0 ; m--)
	{
		sum *= n--;
		p *= m;
	}
	return sum/p;
}
// The algorithm of Binary Distrubution ——二项分布的算法
float BinDistrubution(int n,int k,float p)
{
	float _P;
	_P = Combination(n,k);
	for(int i = 0 ; i < k ; i++)
		_P *= p;
	for(int i = 0 ; i < n - k ; i++)
		_P *= (1 - p);
	return _P;
}

int main()
{
	float P = 1;
	float p;
	int n,tol;
	printf("Please input the probability of the defective rate:");
	scanf("%f",&p);
	printf("Please input the number of testing the equipments:");
	scanf("%d",&n);
	printf("Please input the number of products per inspection:");
	scanf("%d",&tol);
	for(int X = 0 ; X <= 1 ; X++)
	{
		P -= BinDistrubution(tol,X,p);
	}
	// 每次检验后需要调整设备的概率为：
	printf("The probability of every time we need to adjust the equipments after testing them is:%.4f\n",P);
	float P_y;
	P_y = n * P;
	// 一天中调整设备的次数的期望
	printf("The expectation of the day we adjust the equipments is :%.4f",P_y);
	return 0;
}

代码分析：代码主要的难度就是在二项分布的那个公式上，需要结合组合公式的算法才行，其它的就按照做题的思路来就行了。

2. 有4只盒子，编号为1，2，3，4，现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用$X$表示其中至少有一个球的盒子的最小号码 ，求$E(X)$。

题目分析： 先来理解最后一句话，当$X=1$时表示1号盒子中至少有一个球，此时1为四个盒子中号码最小的那一个，当$X=2$时表示2号盒子中至少有一个球，此时2“应该为”最小号码，也就是说1号盒里就不会有元素了，当$X=3$时表示3号盒子中至少有一个球，此时3“应该”为最小号码，也就是说1和2号盒子里都没有球…

理解了最后一句话后这个题就简单了，每个球有4种放法，一共有3个球，也就是总共有$4^3$种方法，然后若$X=1$，则$P\{X=1\}=1-\frac{3^3}{4^3}=\frac{4^3-3^3}{4^3}$…

#include 
#include 
#include 
// The algorithm of abbreviation ——约分的算法
void Abbreviation(int *a)
{
	while(a[0] % 2 == 0 && a[1] % 2 == 0)
	{
		a[0] /= 2;
		a[1] /= 2;
	}
	
	for(int i = 3 ;i <= a[1] / 2 ; i += 2)
	{
		while(a[0] % i == 0 && a[1] % i == 0)
		{
			a[0] /= i;
			a[1] /= i;
		}
	}
}

// Add up the points ——分数相加
int* add(int* a,int* b)
{
	if(a[0] == 0)
		return b;
	if(b[0] == 0)
		return a;
	int t = a[1];
	a[1] *= b[1];
	a[0] *= b[1];
	a[0] += b[0] * t;
	Abbreviation(a);
	return a;	
}

int main()
{
	int ball,box;
	printf("Please input the number of the balls:"); // 输入球的数量
	scanf("%d",&ball);		
	printf("Please input the number of the box:");	 // 输入盒子的数量
	scanf("%d",&box);
	int E_X[2] = {0};
	// X denotes the random variable ——X表示随机变量
	for(int X = 1 ; X <= box ; X++)				// The prosibible values of X ——X可能取的值
	{
		int coe[2];
		coe[0] = pow(box - X + 1,ball) - pow(box - X,ball);
		coe[1] = pow(box,ball);
		Abbreviation(coe);
		printf("P{X=%d}=%d/%d\n",X,coe[0],coe[1]);
		// According to the formula of the Expectation ——根据期望的公式
		// x_i*p_i
		coe[0] *= X;
		int *t = add(E_X,coe);
		E_X[0] = t[0];
		E_X[1] = t[1];
	}
	printf("\n");
	printf("The expectation of X is :%d/%d",E_X[0],E_X[1]);
	return 0;
}

代码分析：还是老样子，对于一个需要用分数来表示的题，我们用一个大小为2的一维数组来分别存储它的分子和分母，然后进行相关的运算即可。

那些啥组合公式的代码、约分代码我在这类专栏的前面博客中写过，所以这里就直接拿过来用了。

3. 设二维离散型随机向量$(X,Y)$的概率分布如下表所示，求$Z=X^2+Y$的期望。

X\Y	1	2
1	0.125	0.25
2	0.5	0.125

题目分析：由题知，再结合前面总结的知识点，设$g(x,y)=x^2+y$，那么有：

• $X=1,Y=1$：$Z=g(1,1)=2$
• $X=1,Y=2$：$Z=g(1,2)=3$
• $X=2,Y=1$：$Z=g(2,1)=5$
• $X=2,Y=2$：$Z=g(2,2)=6$

则$E(Z)=2\times 0.125+3\times 0.25+5\times 0.5+6\times 0.125=4.25$

#include 
#include 
#include 
int main()
{
	// Use an array to restore the datas of probability distrubution ——用一个数组来存储概率分布中的数据
	float **D;
	D = (float **) malloc (sizeof(float *) * 2);
	for(int i = 0 ; i < 2 ; i++)
		D[i] = (float *) malloc (sizeof(float *) * 2);
	// 请按行输入概率分布的数据：
	printf("Please input the values of the probability distrubution by line:\n");
	for(int i = 0 ; i < 2 ; i++)
	{
		for(int j = 0 ; j < 2 ; j++)
		{
			scanf("%f",*(D + i) + j);	
		}
	}
	// E_X denotes the expectation of X ——E_X表示X的期望
	float E_X = 0;
	printf("\n");
	// 这个概率分布为：
	printf("The probability distrubution is :\n");
	for(int i = 0 ; i < 2 ; i++)
	{
		for(int j = 0 ; j < 2 ; j++)
		{
			printf("%.3f   ",*(*(D + i) + j));
			// According to the formula of expectation ——根据期望的公式
			// xi*pi
			E_X += (pow(i + 1,2) + j + 1) * (*(*(D + i) + j));
		}
		printf("\n");
	}
	// X的期望为：
	printf("The expectation of X is:%.2f",E_X);
	return 0;
}

代码分析：这个题的代码也十分简单，实现一下数学公式就行了。

这一期的学习就到这里了，咱们下期再见~~