树链剖分
最近刚刚讲了树链剖(pōu)分，练了几道题，也该来个小结了。
事实上，树链剖分就是把树切成几条链，再套上一个数据结构罢了。这样子有个好处，就是可以高效地完成在树上的一些操作。
剖分的方法：
-
随机剖分
-
盲目剖分
-
启发式剖分
从名字上看，明显启发式剖分是最佳选择（= =）所谓启发式剖分，就是重链剖分。
先看两个概念：
重边：树中父节点连接儿子中size（即以它为根的子树的结点个数）最大的一条边。
轻边：非重边。
重链：全部由重边组成的一条链（包括一个点）。
重链剖分就是将整颗树剖分成几条重链。
（为什么这样最优？见1.）
应用
可以用来对一条路径上的一些信息进行操作，例如单点/区间修改，第k大的查询
等，可以根据不同的操作，选择不同的数据结构（如线段树，平衡树）。
缺点
无法动态地删除/插入新的边。（如果想实现，可以用动态树）
实现
-
重链剖分：
这个有两种实现方法一种是套上一个数据结构，一种是套上几个数据结构。
这里详细介绍下第一种（由cxjyxx_me大牛自创），第二种请见Xietutu's blog.
先找到重边，过程中，如果确定出一条轻边就以其为根建成一条链，接着建成一个数据结构（例如线段树，平衡树），最后在来一次以1为根的build_chain即可。
因此这样做会建出好几颗树。不过效率会提高许多。有图为证http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problemstatus.php?id=2243&page=0
//伪代码 by Lazycal build_chain(x) k=0 while exists x save the node x update x's chain_head update x's root // such as segment tree or balanced tree x=x's child which has maximal size build_tree // segment tree or balanced tree ======================================================== dfs(k) for each edge (u,k) in V and not vis[u] dfs(k); update k.size if u.size>max.size build_chain(max) else build_chain(u)
-
查询/修改
对于u,v:
1.当u与v在同一重链时，直接在数据结构里面查询/修改，break。
2.当u与v不同重链时，先取出重链头比较靠下的（设为u），然后查询/修改u与u's chain_head, the father of u's chain_head->u。
如此往复。
1.证明如下：可以这么理解（个人浅见），设x为p的轻边所连的孩子，则x.size<p.size/2（为什么？请读者自己想想，很简单的），这样一来，任意一条链的轻边个数不超过log(n)，所以重链数自然也不会超过log(n)，于是u到v最坏情况是u走上去到某个点再折下来到v，但即使如此对于数据结构的询问次数也不超过log(n)次，而每次数据结构的询问时间为log(n)，于是复杂度便可视为O(log(n)^2)。
例题
1.bzoj1036(模板)
//linenums won't be copied
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=30000+9;
struct node
{
int lc,rc,max,sum,l,r;
node (const int a=0,const int b=0,const int c=0,
const int d=0,const int e=0,const int f=0):
lc(a),rc(b),max(c),sum(d),l(e),r(f){}
}a[N*4];
struct Point
{
int seg_root,head,value,max,d,size,p;
}p[N];
struct info
{
int next,link;
}es[N*2];
int n,q,son[N],nt,ec,t[N];
char s[10];
inline int lef(int x){return a[x].lc;}
inline int rig(int x){return a[x].rc;}
void addedge(int x,int y)
{
es[++ec].next=son[x];
son[x]=ec;
es[ec].link=y;
}
int build_tree(int l,int r)
{
++nt;
if (l==r) {
a[nt]=node(0,0,p[t[l]].value,p[t[l]].value,l,r);
return nt;
}
int index=nt,lc=build_tree(l,(l+r)/2),
rc=build_tree((l+r)/2+1,r);
a[index]=node(lc,rc,std::max(a[lc].max,a[rc].max),a[lc].sum+a[rc].sum,l,r);
return index;
}
void build_chain(int x)
{
int k=0,root=x;
while (x) {
p[x].seg_root=nt+1;
p[x].head=root;
t[++k]=x;
x=p[x].max;
}
build_tree(1,k);
}
void tr(int x,int d,int fa)
{
p[x].d=d;p[x].size=1;
for (int i=son[x];i;i=es[i].next)
if (es[i].link!=fa) {
int u=es[i].link;
tr(u,d+1,x);
p[u].p=x;
p[x].size+=p[u].size;
if (p[u].size>p[p[x].max].size) {
if (p[x].max) build_chain(p[x].max);
p[x].max=u;
}else build_chain(u);
}
}
void modify(int index,int v,int pos,int x)
{
int k=0;
while (a[index].l!=a[index].r) {
a[index].sum+=v-p[x].value;
t[++k]=index;
int mid=(a[index].l+a[index].r)>>1;
if (pos<=mid) index=a[index].lc;
else index=a[index].rc;
}
p[x].value=a[index].sum=a[index].max=v;
while (k--)
a[t[k+1]].max=std::max(a[lef(t[k+1])].max,a[rig(t[k+1])].max);
}
void seg_query(int L,int R,int &res,int tag,int index)
{
int l=a[index].l,r=a[index].r,mid=(l+r)>>1;
if (L<=l && r<=R) {
res=tag?res+a[index].sum:std::max(a[index].max,res);
return;
}
if (L<=mid) seg_query(L,R,res,tag,lef(index));
if (mid< R) seg_query(L,R,res,tag,rig(index));
}
int query(int u,int v,int tag)
{
int res=tag?0:-0x7fffffff;
while (p[u].head!=p[v].head) {
if (p[p[u].head].d<p[p[v].head].d) std::swap(u,v);
seg_query(1,p[u].d-p[p[u].head].d+1,res,tag,p[u].seg_root);
u=p[p[u].head].p;
}
if (p[u].d>p[v].d) std::swap(u,v);
seg_query(p[u].d-p[p[u].head].d+1,
p[v].d-p[p[v].head].d+1,
res,tag,p[u].seg_root);
return res;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1036.in","r",stdin);
freopen("1036.out","w",stdout);
#endif
int x,y;
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<n;++i) {
scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(x,y);addedge(y,x);
}
for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&p[i].value);
tr(1,1,0);
build_chain(1);
scanf("%d\n",&q);
while (q--) {
scanf("%s",s);
if (s[0]=='Q' && s[1]=='M') {
scanf("%d%d\n",&x,&y);
printf("%d\n",query(x,y,0));//0: max
}else if (s[0]=='Q' && s[1]=='S') {
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",query(x,y,1));//1: sum
}else {
scanf("%d%d\n",&x,&y);
modify(p[x].seg_root,y,p[x].d-p[p[x].head].d+1,x);
}
}
}
2.bzoj2243(模板，注意处理两条重链的连接处)
//linenums won't be copied
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=100000+9;
struct point
{
int value,seg_root,head,max,size,d,p;
}p[N];
struct Triple
{
int num,lcol,rcol;
Triple (const int a=0,const int b=0,const int c=0):
num(a),lcol(b),rcol(c){}
};
struct node
{
int lc,rc,tag,lcol,rcol,num,l,r;
node (const int a=0,const int b=0,const int c=0,const int d=0,
const int e=0,const int f=0,const int g=0,const int h=0):
lc(a),rc(b),tag(c),lcol(d),rcol(e),num(f),l(g),r(h){}
}a[N*2];
struct info
{
int next,link;
}es[N*2];
int n,m,nt,son[N],col,t[N],ec;
inline int lef(int index) {return a[index].lc;}
inline int rig(int index) {return a[index].rc;}
inline int getindex(int u) {return p[u].d-p[p[u].head].d+1;}
int build(int l,int r)
{
int index=++nt;
if (l==r) a[index]=node(0,0,p[t[l]].value,p[t[l]].value,p[t[l]].value,1,l,r);
else {
int lc=build(l,(l+r)>>1),rc=build(((l+r)>>1)+1,r);
a[index]=node(lc,rc,0,a[lc].lcol,a[rc].rcol,
a[lc].num+a[rc].num-(a[lc].rcol==a[rc].lcol),l,r);
}
return index;
}
void build_chain(int x)
{
int k=0,root=x;
while (x) {
p[x].seg_root=nt+1;
p[x].head=root;
t[++k]=x;
x=p[x].max;
}
build(1,k);
}
void tr(int x,int d)
{
p[x].d=d; p[x].size=1;
for (int i=son[x];i;i=es[i].next)
if (es[i].link!=p[x].p) {
int u=es[i].link;
p[u].p=x;
tr(u,d+1);
p[x].size+=p[u].size;
if (p[u].size>p[p[x].max].size) {
if (p[x].max) build_chain(p[x].max);
p[x].max=u;
}else build_chain(u);
}
}
void pushdown(int index)
{
int l=lef(index),r=rig(index);
a[l].tag=a[l].lcol=a[l].rcol=a[index].tag;
a[r].tag=a[r].lcol=a[r].rcol=a[index].tag;
a[l].num=a[r].num=1;
a[index].tag=0;
}
void tree_modify(int index,int L,int R)
{
int l=a[index].l,r=a[index].r,mid=(l+r)>>1;
if (L<=l && r<=R) {
a[index].tag=a[index].lcol=a[index].rcol=col;
a[index].num=1;
return;
}
if (a[index].tag) pushdown(index);
if (L<=mid) tree_modify(lef(index),L,R);
if (mid<R) tree_modify(rig(index),L,R);
a[index].tag=0;
l=lef(index);r=rig(index);
a[index].lcol=a[l].lcol;
a[index].rcol=a[r].rcol;
a[index].num=a[l].num+a[r].num-(a[l].rcol==a[r].lcol);
}
Triple tree_query(int index,int L,int R)
{
int l=a[index].l,r=a[index].r,mid=(l+r)>>1,lcol=-1,rcol=-1;
if (L<=l && r<=R) return Triple(a[index].num,a[index].lcol,a[index].rcol);
if (a[index].tag) pushdown(index);
int res=0,count=0;
Triple lc,rc;
if (L<=mid) {
++count;
lc=tree_query(lef(index),L,R);
res+=lc.num;
lcol=lc.lcol,rcol=lc.rcol;
}
if (mid< R) {
++count;
rc=tree_query(rig(index),L,R);
res+=rc.num;
if (lcol==-1) lcol=rc.lcol;
rcol=rc.rcol;
}
res-=(count==2 && a[lef(index)].rcol==a[rig(index)].lcol);
return Triple(res,lcol,rcol);
}
void modify(int u,int v)
{
while (p[u].head!=p[v].head) {
if (p[p[u].head].d<p[p[v].head].d) std::swap(u,v);
tree_modify(p[u].seg_root,1,getindex(u));
u=p[p[u].head].p;
}
if (p[u].d>p[v].d) std::swap(u,v);
tree_modify(p[u].seg_root,getindex(u),getindex(v));
}
int query(int u,int v)
{
int res=0,lcolu=-1,lcolv=-1;
while (p[u].head!=p[v].head) {
if (p[p[u].head].d<p[p[v].head].d) std::swap(u,v),std::swap(lcolu,lcolv);
Triple tmp=tree_query(p[u].seg_root,1,getindex(u));
res+=tmp.num-(tmp.rcol==lcolu);
//printf("%d ",res);
lcolu=tmp.lcol;
u=p[p[u].head].p;
}
if (p[u].d>p[v].d) std::swap(u,v),std::swap(lcolu,lcolv);
Triple tmp=tree_query(p[u].seg_root,getindex(u),getindex(v));
res+=tmp.num-(tmp.rcol==lcolv)-(tmp.lcol==lcolu);
//printf("%d\n",res);
return res;
}
inline void addedge(int x,int y)
{
es[++ec].next=son[x];
son[x]=ec;
es[ec].link=y;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("2243.in","r",stdin);
freopen("2243.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&m);
int x,y;
for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&p[i].value);
for (int i=1;i<n;++i) {
scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(x,y);addedge(y,x);
}
tr(1,1);
build_chain(1);
scanf("\n");
while (m--) {
char c;
scanf("%c",&c);
if (c=='C') {
scanf("%d%d%d\n",&x,&y,&col);
modify(x,y);
}else {
scanf("%d%d\n",&x,&y);
printf("%d\n",query(x,y));
}
}
}
3.bzoj1146 (区间第k大查询，有点难，需要树套树，注意二分)
//linenums won't be copied
/**************************************************************
Problem: 1146
User: lazycal
Language: C++
Result: Accepted
Time:15296 ms
Memory:49280 kb
****************************************************************/
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=80000+9;
struct node
{
int l,r,key,size,p;
node (const int a=0,const int b=0,const int c=0,
const int d=0,const int e=0):
l(a),r(b),key(c),size(d),p(e){}
}a[2000000];
struct seg_node
{
int l,r,root,lc,rc,head_index;
seg_node (const int a=0,const int b=0,const int c=0,
const int d=0,const int e=0,const int f=0):
l(a),r(b),root(c),lc(d),rc(e),head_index(f){}
}sn[N*2];
struct point
{
int d,size,time,seg_root,head,max,p;
}p[N];
struct edge
{
int link,next;
}es[N*2];
int n,q,ec,son[N],nbt,nst,t[N];
inline int lef(int x){return sn[x].lc;}
inline int rig(int x){return sn[x].rc;}
inline int getindex(int x){return p[x].d-p[p[x].head].d+1;}
inline void addchild(int p,int y,int x)
{
if (a[p].l==x) a[p].l=y;
else a[p].r=y;
}
inline void rig_rotate(int x)
{
int y=a[x].l;
a[y].p=a[x].p;
a[x].p=y;
a[a[y].r].p=x;
addchild(a[y].p,y,x);
a[x].l=a[y].r;
a[y].r=x;
a[y].size=a[x].size;
a[x].size=a[a[x].l].size+a[a[x].r].size+1;
}
inline void lef_rotate(int x)
{
int y=a[x].r;
a[y].p=a[x].p;
a[x].p=y;
a[a[y].l].p=x;
addchild(a[y].p,y,x);
a[x].r=a[y].l;
a[y].l=x;
a[y].size=a[x].size;
a[x].size=a[a[x].l].size+a[a[x].r].size+1;
}
inline void splay(int x,int par,int &root)
{
while (a[x].p!=par) {
int y=a[x].p,z=a[y].p;
if (z!=par && a[y].l==x && a[z].l==y) rig_rotate(z),rig_rotate(y);
else if (z!=par && a[y].r==x && a[z].r==y) lef_rotate(z),lef_rotate(y);
else if (a[y].l==x) rig_rotate(y);
else lef_rotate(y);
}
if (!par) root=x;
}
void insert(int x,int &root,int Index)
{
int index=root,par=0;
while (index) {
++a[index].size;
if (a[index].key<x) par=index,index=a[index].l;
else par=index,index=a[index].r;
}
a[Index]=node(0,0,x,1,par);
if (a[par].key<a[Index].key) a[par].l=Index;
else a[par].r=Index;
splay(Index,0,root);
}
int build_bal_tree(int l,int r)
{
int root=++nbt;
a[nbt]=node(nbt+1,0,-0x7fffffff,2,0);
++nbt;
a[nbt]=node(0,0,0x7fffffff,1,nbt-1);
for (int i=l;i<=r;++i)
insert(p[t[i]].time,root,++nbt);
return root;
}
int build_seg_tree(int l,int r)
{
int index=++nst;
if (l==r) {
sn[index]=seg_node(l,r,build_bal_tree(l,r),0,0,nbt+3);
return index;
}
int lc=build_seg_tree(l,(l+r)>>1),
rc=build_seg_tree(((l+r)>>1)+1,r);
sn[index]=seg_node(l,r,build_bal_tree(l,r),lc,rc,nbt+3);
return index;
}
void build_chain(int x)
{
int k=0,root=x;
while (x) {
p[x].seg_root=nst+1;
p[x].head=root;
t[++k]=x;
x=p[x].max;
}
build_seg_tree(1,k);
}
void tr(int x,int d)
{
p[x].d=d;p[x].size=1;
for (int i=son[x];i;i=es[i].next)
if (es[i].link!=p[x].p) {
int u=es[i].link;
p[u].p=x;
tr(u,d+1);
p[x].size+=p[u].size;
if (p[u].size>p[p[x].max].size) {
if (p[x].max) build_chain(p[x].max);
p[x].max=u;
}else build_chain(u);
}
}
int bal_rank(int k,int index)
{
++k;
while (k!=a[a[index].l].size+1)
if (k>a[a[index].l].size) k-=a[a[index].l].size+1,index=a[index].r;
else index=a[index].l;
return index;
}
int bal_query(int x,int index)
{
int res=0;
while (index)
if (x<a[index].key) res+=1+a[a[index].l].size,index=a[index].r;
else index=a[index].l;
--res;
return res;
}
void remove(int &root,int index)
{
splay(index,0,root);
int pred=a[index].l,succ=a[index].r;
while (a[pred].r) pred=a[pred].r;
while (a[succ].l) succ=a[succ].l;
splay(pred,0,root);splay(succ,root,root);
--a[root].size;--a[a[root].r].size;
a[a[root].r].l=0;
}
void modify(int x,int y)
{
int seg_index=p[x].seg_root,index=getindex(x);
while (seg_index) {
int &root=sn[seg_index].root;
remove(root,index-sn[seg_index].l+sn[seg_index].head_index);
insert(y,root,index-sn[seg_index].l+sn[seg_index].head_index);
//print(seg_index);
int mid=(sn[seg_index].l+sn[seg_index].r)>>1;
if (index<=mid) seg_index=sn[seg_index].lc;
else seg_index=sn[seg_index].rc;
}
p[x].time=y;
}
int seg_query(int index,int L,int R,int x)
{
int l=sn[index].l,r=sn[index].r,mid=(l+r)>>1,res=0;
if (L<=l && r<=R)
return bal_query(x,sn[index].root);
if (L<=mid) res+=seg_query(lef(index),L,R,x);
if (mid< R) res+=seg_query(rig(index),L,R,x);
return res;
}
int rank(int x,int u,int v)
{
int res=0;
while (p[u].head!=p[v].head) {
if (p[p[u].head].d<p[p[v].head].d) std::swap(u,v);
res+=seg_query(p[u].seg_root,1,getindex(u),x);
u=p[p[u].head].p;
}
if (p[u].d>p[v].d) std::swap(u,v);
res+=seg_query(p[u].seg_root,getindex(u),getindex(v),x);
return res;
}
void query(int k,int u,int v)
{
int l=-2,r=100000009;
while (l+1<r) {
int mid=(l+r)>>1;
if (rank(mid,u,v)<=k-1) r=mid;
else l=mid;
}
if (l==-2) puts("invalid request!");
else printf("%d\n",r);
}
inline void addedge(int x,int y)
{
es[++ec].next=son[x];
son[x]=ec;
es[ec].link=y;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1146.in","r",stdin);
freopen("1146.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&q);
for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&p[i].time);
int x,y,k;
for (int i=1;i<n;++i) {
scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(x,y);addedge(y,x);
}
tr(1,1);
build_chain(1);
while (q--) {
scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
if (!k) modify(x,y);
else query(k,x,y);
}
}