力扣做题记录——121.买卖股票的最佳时机&动态规划总结
这道题和之前做过的70.爬楼梯类似，都是有关动态规划的问题，因此在此总结一下动态规划相关的问题。
为什么要用动态规划？
Those who cannot remember the past are condemned to repeat it.
记不起过去的人注定要重蹈覆辙
如计算“1+1+1+1”和计算“1+1+1+1+1”时，显然在式1的基础上再加1来计算式2是比逐步计算更快的方法。上面两个式子在计算时非常快。但是，若有从1开始计算1,1+1,……,231-1个1相加的值，逐步相加的运行速度会非常慢。因此，为了加快程序的运行速度，可以使用动态规划算法。
什么是动态规划？
动态规划(Dynamic Programming，DP)是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划通常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.
简单来说，动态规划其实就是给定一个问题，我们把他拆成一个个子问题，知道子问题可以被解决。然后将子问题答案保存起来以减少重复运算。再根据子问题答案反推，得出原问题解的一种方法。
一般这些子问题很相似，可以通过函数关系式递推出来。动态规划就致力于解决每个子问题一次，减少重复计算，比如斐波那契数列就是入门级的经典动态规划问题。
动态规划核心思想
动态规划最核心的思想在于拆分子问题，记住子问题答案，减少重复计算。因为记住子问题的答案需要花费额外的储存空间，所以动态规划算法也被称为“用空间换时间”。
一个例子带你走进动态规划
在之前的文章70.爬楼梯中，有这样一道题：爬楼梯时可以每次上一阶楼梯，也可以每次上两阶楼梯，爬上一个10阶台阶的楼梯有多少种方法。
这道题直接上手的时候可能会有些懵，找不到思路，很容易就把自己绕晕。那么如果我们反过来想，按照这个规则，第10阶台阶只能由第9阶或第8阶台阶上来，第9阶台阶只能由第8阶或者第7阶台阶上来，……，第3阶台阶只能由第2阶或第1阶台阶上来。即：
f(10) = f(9) + f(8)
f(9) = f(8) + f(7)
……
f(3) = f(2) + f(1)
即通用公式为f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
我们得到了通用公式后，就可以用递归方法解决这个问题：
class Solution{
public:
int numWays(int n){
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
return numWays(n - 1) + numWays(n - 2);
}
}
但是，当我们用递归法提交时，发现运行超时了，这说明我们的程序在遇到较多台阶时运行不够快。那么不够快的原因是什么呢？让我们再来看上面的程序，在计算f(10) = f(9) + f(8)时计算过1次f(8)了，而在计算f(8) = f(7) + f(6)时又计算了一次，所以迭代法中存在大量的重复计算，降低了程序的运行速度。这时候我们从“1+1+1”的例子想到，如果我在之前计算的时候，就把f(n)的值记录下来，这样在之后的计算中不就可以直接使用了吗？
所以可以用两种动态规划的算法解决这道题：
1. 自顶向下的备忘录法
一般使用一个数组或者一个哈希表充当备忘录：
- 计算
f(10) = f(9) + f(8)，将f(9)和f(8)计算出来存入备忘录中 - 计算
f(9) = f(8) + f(7)，，此时因为f(8)已经计算过了，所以可以不计算，
……
以此类推。
带备忘录的递归算法中，子问题个数=树节点数=n，解决一个子问题的时间复杂度是O(1)，因此带备忘录的递归算法的时间复杂度是O(n)。代码如下：
class Solution{
public:
unordered_map<int, int> hash;
int climbStairs(int n) {
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 2;
auto it = mp.find(n);
if( it != mp.end() )
return it->second;
int sum = climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
mp.insert(pair<int, int> (n, sum));
return sum;
}
}
自底向上的动态规划
动态规划和带备忘录的递归解法基本思想是一致的，都可以减少重复计算，时间复杂度相差也不多，但：
- 带备忘录的递归算法是从
f(10)往f(1)方向延伸求解，所以也称为自顶向下的解法； - 动态规划则是从较小问题的解，由交叠性质逐步决策出较大问题的解，它是从
f(1)往f(10)方向求解，所以称为自底向上的解法。
动态规划有几个典型特征：最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。在爬台阶问题中：
f(n - 1)和f(n - 2)称为f(n)的最优子结构；f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)称为状态转移方程；f(1) = 1、f(2) = 2称为边界；f(10) = f(9) + f(8)、f(9) = f(8) + f(7)称为重叠子问题
动态规划的代码如下：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
long res = 0, a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++)
{
res = a + b;
a = b;
b = res;
}
return res;
}
}
什么样的问题可以使用动态规划
如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来之后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。
比如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等。
动态规划的解题思路
- 穷举分析
- 确定边界
- 找出规律，确定最优子结构
- 写出状态转移方程
按照上面的思路，我们来看一下力扣第121题，买卖股票的最佳时机。
给定一个数组prices，它的第i个元素prices[i]表示一支给定股票第i天的价格。你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回0。
示例1
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例2
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示
1 <= prices.length <= 10^50 <= prices[i] <= 10^4
思路
在某一天卖出时，其最大利润应该为当天的股票价格减去前几天中最低的股票价格，即maxProfit = prices[i] - minPrice。
- 穷举：第一天卖出，最大利润为0；第二天卖出最大利润为-6；第三天卖出，最大利润为4；第四天卖出，最大利润为2；第五天卖出，最大利润为5；第六天卖出最大利润为3。
- 边界：利润初始值为0，价格初始值为第一天的价格；
- 最优子结构：
maxProfit = prices[i] - minPrice； - 状态转移方程：每到新的一天，都要判断今天的价格是否是价格新低，然后确定新的最大利润：
minPrice = min(minPrice, prices[i])、maxProfit = max(maxProfit, (prices[i] - minPrice))。
所以代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int maxProfit = 0;
int minPrice = prices[0];
int n = prices.size();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
minPrice = min(minPrice, prices[i]);
maxProfit = max(maxProfit, (prices[i] - minPrice));
}
return maxProfit;
}
};
本文题目及部分解答来自力扣，其余参考资料见下文链接。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock
参考：
看一遍就理解：动态规划详解
算法-动态规划 Dynamic Programming–从菜鸟到老鸟